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等式的性质

发布时间:2013-10-24 09:40:10  

等式的性质

什么是等式?
(1) x ? 2 ? 4

知识 准备

(2)1 ? 2 ? 3

(3)m ? n ? n ? m

像这样用等号“=”表示相等关系 的式子叫等式 在等式中,等号左(右)边的式子 叫做这个等式的左(右)边

①4+x=7, ② 2x, ③ 3x+1, ④ a+b=b+a, ⑤ a2+b2 ⑥ c=2πr
⑦ 1+2=3, ⑧
2 ab, 3

⑨ S=

1 2

ah,

⑩ 2x-3y
上述这组式子中,( ①④⑥⑦⑨ )是等式, ( ②③⑤⑧⑩ ) 不是等式,为什么?

由等式1+2=3,进行判断:

? 1+2+ (4) = 3 + (4)

? 1+2 - (5) = 3 - (5)
1.上述两个问题反映出等式 具有什么性质?

等式的两边都加上(或减去)同 一个数所得的结果仍是等式.

由等式2x+3x=5x,进行判断:

? 2x+3x + (4x) = 5x + (4x)

2x+3x- (x)

= 5x - (x) ?

1.上述两个问题反映出等式 具有什么性质?

等式的两边都加上(或减去) 同一个式子,所得的结果仍是 等式.

性质 1 等式的两边都加上(或减去)同 一个数或同一个式子,所得的结 果仍是等式.
用式子的 形式怎样 表示?

?

想一想、练一练
在下面的括号内填上适当的数或者式子:

(1)因为:

所以: (2)因为: 所以:

2x ? 6 ? 6 ? 4 ? ? 6 ? 3x ? 2 x ? 8 3x ? ? ? 2 x ? ? 2 x ? 8 ? 2 x

2x ? 6 ? 4

10 (3)因为: x ? 9 ? 8 ? 6 x

10 所以: x ? 6 x ? 9 ? 9 ? 8 ? 6 x ? 6 x ? 9

? ?

? ?

由等式3m+5m=8m ,进行判断: 2×( 3m+5m) = 2× 8m ? ( 3m+5m)÷2 = 8m ÷2 ?

2.上述两个问题反映出等式 具有什么性质?

性质 2 等式两边都乘以(或除以)同 一个数(除数不为零),所得的结 果仍是等式.

用式子的 形式怎样 表示

?

等 式 的 性 质

性质1,等式两边加(或减)同一个数(或 式子),结果仍相等. 性质2,等式两边乘同一个数,或除以 同一个不为0的数,结果仍相等. 注意: (1)等式两边都要参加运 算,且是同一种运算. (2)等式两边加或减,乘或除以的 数一定是同一个数或同一个式子. (3)等式两边不能都除以0,即0 不能作除数或分母.

回答: (1)从x=y能否得到x+5=y+5?为什么?

x = y ?为什么? (2)从x=y能否得到 9 9
(3)从a+2=b+2能否得到a=b?为什么? (4)从-3a=-3b能否得到a=b?为什么?

口答练习:
(1) 怎样从等式 5x=4x+3 得到等式 x=3? (2) 怎样从等式 4x=12 得到等式 x=3?
a b ? (3) 怎样从等式 100 100

得到等式 a=b?

(4) 怎样从等式 2πR=2πr 得到等式R=r?

口答练习:
(1) 怎样从等式 5x=4x+3 得到等式 x=3? (2) 怎样从等式 4x=12 得到等式 x=3?
a b ? (3) 怎样从等式 100 100

得到等式 a=b?

(4) 怎样从等式 2πR=2πr 得到等式R=r?

用等式的性质解方程

(1) x ? 7 ? 26

?2? ? 5x ? 20

1 (3) ? x ? 5 ? 4 3

解:(1)两边减7得

x ? 7 ? 7 ? 26 ? 7
?x ? 19
(2)两边同时除以-

5得

(3)两边加5,得
1 ? x ?5?5 ? 4?5 3 1 ? x?9 化简得: 3

? 5 x 20 ? ?5 ?5 ?x ? ?4

两边同乘-3,得 x ? ?27

(4)0.3x ? 45

?5?5x ? 4 ? 0
1 2

?6? 1 x ? 2 ? 6 2

(4) 两边同除以0.3,得

(6)两边同时减2,得

0.3x ? 0.3 ? 45 ? 0.3 ?x ? 150
(5) 两边同时减4,得

x?2?2 ? 6?2 1 化简得:x ? 4 2
两边同时乘2,得

x?8

5x ? 4 ? 4 ? 0 ? 4
化简得: ? ?4 5x
4 两边同时除以5,得 x ? ? 5

经过对原方程的一系列变形(两边 同加减、乘除),最终把方程化为 最简的等式: x = a(常数) 即方程左边只一个未知数项、 且未知数项的系数是 1,右边只一 个常数项.

练习:

用适当的数或式子填空,使所得的结果

仍是等式,并说明根据等式的哪一条性质以及

怎样变形的. (1) 如果 2x+7=10 , 那么 2x=10; (2) 如果 5x=4x+7 , 那么 5x =7;如果 2a=1.5 , 那么 6a= (3) (4) 如果 -3x=18 , 那么 x= (5) 如果 -5x=5y , 那么 x= ; ; ;

(6) 如果 a+8=b+8 , 那么 a=

.

1.下列说法错误的是( C ).
x y ( A) 若 ? , 则 x ? y a a ( B ) 若x 2 ? y 2 , 则 ? 4ax 2 ? ?4ay 2 1 (C ) 若 ? x ? ?6, 则x ? 1.5 4 ( D ) 若1 ? x , 则x ? 1

2.下列各式变形正确的是( A
( B ) 由5 ? 1 ? 6得5 ? 6 ? 1 (C ) 由2( x ? 1) ? 2 y ? 1得x ? 1 ? y ? 1 ( D ) 由2a ? 3b ? c ? 6得 2a ? c ? 18b

).

( A) 由3 x ? 1 ? 2 x ? 1 得3x ? 2 x ? 1 ? 1

2x ? 1 ?1 ? x 3.等式 3

的下列变形,利用等式

性质2进行变形的是(
2x ? 1 ( A) ? x ?1 3 2x ? 1 (C ) ? x ?1 3

D ).

2x 1 ( B) ? ? 1 ? x 3 3 ( D) 2 x ? 1 ? 3 ? 3 x

快乐练习
-、填空
(1)如果x-3=6,那么x = 9 ,

依据 等式的性质1 依据等式的性质1
依据 等式的性质2



(2)如果2x=x-1,那么x = -1 ,



(3)如果-5x=20 ,那么x=-4 , 。 (4)如果- 4x=8,那么x=-10 ,

5 依据 等式的性质2



快乐练习
二、选择填空
(1) 下列各式的变形中,正确的是( )

2x ? 6 ? 0 变形为 2x ? 6 B.? 2( x ? 4) ? ?2 变形为 x ? 4 ? ?1 ? 1 y ? 4 变形为 y ? ?1 C. 3 D. ? x ? 2 ? 3 变形为 ? x ? 5
A.

快乐练习
二、选择填空
(1) 下列各式的变形中,正确的是( D )

2x ? 6 ? 0 变形为 2x ? 6 B.? 2( x ? 4) ? ?2 变形为 x ? 4 ? ?1 ? 1 y ? 4 变形为 y ? ?1 C. 3 D. ? x ? 2 ? 3 变形为 ? x ? 5
A.

快乐练习
二、选择填空
(2)如果 ma

? mb ,那么下列等式中不一定成立

的是(



A. B. C. D.

ma ? 1 ? mb ? 1 ? 1 ma ? ? 1 mb 2 2 ma ? 3 ? mb ? 3 a?b

快乐练习
二、选择填空
(2)如果 ma

? mb ,那么下列等式中不一定成立


的是( A

A. B. C. D.

ma ? 1 ? mb ? 1 ? 1 ma ? ? 1 mb 2 2 ma ? 3 ? mb ? 3 a?b

快乐练习
二、选择填空
(2)如果 ma

? mb ,那么下列等式中不一定成立

的是( B



A. B. C. D.

ma ? 1 ? mb ? 1 ? 1 ma ? ? 1 mb 2 2 ma ? 3 ? mb ? 3 a?b

快乐练习
二、选择填空
(2)如果 ma

? mb ,那么下列等式中不一定成立

的是( C



A. B. C. D.

ma ? 1 ? mb ? 1 ? 1 ma ? ? 1 mb 2 2 ma ? 3 ? mb ? 3 a?b

快乐练习
二、选择填空
(2)如果 ma

? mb ,那么下列等式中不一定成立

的是( D )

A. B. C. D.

ma ? 1 ? mb ? 1 ? 1 ma ? ? 1 mb 2 2 ma ? 3 ? mb ? 3 a?b

能力提升
若 请根据等式性质编出三个等 式,并说出你编写的依据。 (1) (2) (3)

a?b

a ?b ? 0 ? a ? ?b
a c

( ) √
(√ )

?

b × (c ? 0) (√ ) c

2、下列变形符合等式性质的是( D )
A、如果2x-3=7,那么2x=7-3 B、如果3x-2=1,那么3x=1-2 C、如果-2x=5,那么x=5+2 1 D,如果 ? x ? 1, 那么x ? ?3 3 3、依据等式性质进行变形,用得不正确的是( D )

x? y 5 D、如果x ? y ? 5, 那么 ? a a

A、如果x ? y ? 5, 那么x ? 5 ? y B、如果x ? y ? 5, 那么x ? y ? 5 ? 0 1 5 C、如果x ? y ? 5, 那么 ?x ? y ? ? 2 2

1.下列说法错误的是( C ).
x y ( A) 若 ? , 则 x ? y a a ( B ) 若x 2 ? y 2 , 则 ? 4ax 2 ? ?4ay 2 1 (C ) 若 ? x ? ?6, 则x ? 1.5 4 ( D ) 若1 ? x , 则x ? 1

4、判断下列说法是否成立,并说明理由

a b ?1?、由a ? b, 得 ? x x



) (因为x可能等于0)
) (等量代换) ) (对称性)

3 3 ?2?、由x ? y, y ? , 得x ? ( 5 5

?3?、由? 2 ? x, 得x ? ?2



a b 5、如果a ? b, 且 ? ,那么c应满足的条件是 ? o c c c

.

【等式性质1】如果a ? b,那么a ? c ? b ? c

【等式性质 2】

如果a ? b,那么ac ? bc

a b 如果a ? b?c ? 0?  , 那么 ? c c
? 注意 ?

1、等式两边都要参加运算,并且是 作同一种运算。 2、等式两边加或减,乘或除以的数一 定是同一个数或同一个式子。 3、等式两边不能都除以0,即0不能 作除数或分母.

判断以下计算过程是否正确:
把等式x2=2x变形

解:由等式性质2,两边同除以x,得 x2 2x = x x 于是
x=2


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