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初中函数概念大全

发布时间:2013-10-24 10:44:28  

平面直角坐标系 函数

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。

其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当a?b时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。

3、不同位置的点的坐标的特征

①各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限?x?0,y?0

点P(x,y)在第二象限?x?0,y?0

点P(x,y)在第三象限?x?0,y?0

点P(x,y)在第四象限?x?0,y?0

②坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上?y?0,x为任意实数

点P(x,y)在y轴上?x?0,y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上?x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)

③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数

④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

⑤关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称?横坐标相等,纵坐标互为相反数

点P与点p’关于y轴对称?纵坐标相等,横坐标互为相反数

点P与点p’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数

⑥点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于y

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于x

22(3)点P(x,y)到原点的距离等于x?y ⑦对称性:若直角坐标系内一点P(a,b),则P关于x轴对称的点为P1(a,-b),P关于y轴对称的点为P2(-a,b),关于原点对称的点为P3(-a,-b).

⑧坐标平移:若直角坐标系内一点P(a,b)向左平移h个单位,坐标变为P(a-h,b),向右平移h个单位,坐标变为P(a+h,b);向上平移h个单位,坐标变为P(a,b+h),向下平移h个单位,坐标变为P(a,b-h).如:点A(2,-1)向上平移2个单位,再向右平移5个单位,则坐标变为A(7,1)

4、函数平移规律:左加右减、上加下减

函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。

一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 (1)解析法

两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。 (2)列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。 (3)图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤

(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值

(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点

(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。

一次函数和正比例函数

1、一次函数的概念:一般地,如果y?kx?b(k,b是常数,k?0),那么y叫做x的一次函数。

特别地,当一次函数y?kx?b中的b为0时,y?kx(k为常数,k?0)。这时,y叫做x的正比例函数。 2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线

一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是经过点(0,b)的直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标,即一次函数在y轴上的截距);正比例函数y?kx的图像是经过原点(0,0)的直线。

3、斜率:

y?y

k?tan??21

x2?x1

①直线的斜截式方程,简称斜截式: y=kx+b(k≠0) ②由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两点式:

y?kx?b?(tan?)x?b?

y2?y1

x(x?x1)?y1

x2?x1

③由直线在x轴和y

④设两条直线分别为,l1:y?k1x?b1 l2:y?k2x?若l1//l2,则有l1//l2?k1?k2且b1?b2。

⑤点P(x0,y0)到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0) 的距离

4、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用寻求解题方法)

如图:点A坐标为(x1,y1)点B坐标为(x2,y2)

则AB间的距离,即线段AB的长度为

x1?x22?y1?y22

5、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y?kx(k?0)中的常数k。确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y?kx?b(k?0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

6、(1)一次函数图象是过 两点的一条直线,|k|的值越大,图象越靠近于y轴。

(2)当k>0时,图象过一、三象限,y随x的增大而增大;从左至右图象是上升的(左低右高);

(3)当k<0时,图象过二、四象限,y随x的增大而减小。从左至右图象是下降的(左高右低);

(4)当b>0时,与y轴的交点(0,b)在正半轴;当b<0时,与y轴的交点(0,b)在负半轴。当b=0时,一次函数就是正比例函数,图象是过原点的一条直线

(5)几条直线互相平行时 ,k值相等而b不相等。

反比例函数

1、反比例函数的概念 一般地,函数y?k?1(k是常数,k?0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y?kx的形式。自变x

量x的取值范围是x?0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数,也可写成xy=k(k是常数,k≠0)

反比例函数中,两个变量成反比例关系:由xy=k,因为k为常数,k≠0,两个变量的积是定值,所以y与x成反比变化,而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系:由

2、反比例函数y=y=k (k≠0),因为k为不等于零的常数,两个变量的商是定值。 xk(k≠0)的图象的画法 画图方法:描点法。 x

由于双曲线的图象有关于原点对称的性质,所以只要描出它在一个象限内的分支,再对称地画出另一分支。一定要注意:k>0,双曲线两分支分别在第一、三象限。k<0,双曲线两分支分别在第二、四象限。(

在每一象限内,从左向右上

升).因此,它的增减性与一次函数相反.反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。 特点:y=

k

=kx-1(k≠0)中,∵x≠0,∴ y≠0,则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近x轴、yx

轴。画图时图象要体现这种性质,千万注意不要将两个分支连起来。

4、反比例函数解析式的确定

确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何的意义

如下图,过反比例函数y?

k

中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的x

k

(k?0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形PMON的面积x

S=PM?PN=y?x?xy?y?二次函数

k

,?xy?k,S?k x

1、二次函数的概念:一般地,如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0),那么y叫做x 的二次函数。

2

y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像:二次函数的图像是一条关于x??

b

对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 2a

3、二次函数图像的画法 五点法:

(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点:

当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像

4.求抛物线的顶点、对称轴的方法

2

bb4ac?b2b?4ac?b2?2

(?)(1)公式法:y?ax?bx?c?a?x?,∴顶点是,对称轴是直线x?? ??

2a2a4a2a?4a?

(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线

2

2

x?h.

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线

上两点(x1,y)、,则对称轴方程可以表示为:x?(x2,y)(及y值相同)5.抛物线y?ax2?bx?c中,a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小①当a?0时,抛物线开口向上,顶点为其最低点;当a?0时,抛物线开口向下;顶点为其最高点。 a相等,抛物线的开口大小、形状相同. a越大,图像开口越小,a越小,图像开口越大。 ② 平行于y轴(或重合)的直线记作x?h.特别地,y轴记作直线x?0.

2

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线x??

x1?x2

2

b, 2a

故:①b?0时,对称轴为y轴; ②

b

?0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧; a

b

?0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧. a

(3)c的大小决定抛物线y?ax2?bx?c与y轴交点的位置.当x?0时,y?c,∴抛物线y?ax2?bx?c与y轴有且只有一个交点(0,c):①c?0,抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴;③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则

6、二次函数的解析式有三种形式:

(1)一般式:y?ax?bx?c(a,b,c是常数,a?0) (2)顶点式:y?a(x?h)?k(a,h,k是常数,a?0)

2

(3)交点式:当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时,即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和x2存在

2

b

?0. a

2

2

时,根据二次三项式的分解因式ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2),二次函数y?ax?bx?c可转化为两根式

22

y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点,则不能这样表示。几种特殊的二次函数的图像特征如下:

7、二次函数的最值

b4ac?b2

y最值?如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x??时,。

2a4a

如果自变量的取值范围是x1?x?x2,那么,首先要看?

b

是否在自变量取值范围x1?x?x2内,若在此范围内,2a

b4ac?b2

则当x=?时,y最值?;若不在此范围内,则需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性,如果在此范围

2a4a

2

内,y随x的增大而增大,则当x?x2时,y最大?ax2?bx2?c,当x?x1时,y最小?ax12?bx1?c;如果在此范围22内,y随x的增大而减小,则当x?x1时,y最大?ax1?bx1?c,当x?x2时,y最小?ax2?bx2?c。

8、二次函数的图象

9. 抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0, c).

(2)抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方

程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式

2

2

2

??b2?4ac判定:

①有两个交点 ?(??0)?抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)?(??0)?抛物线与x轴相切;

③没有交点 ?(??0)?抛物线与x轴相离.

(3)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(2)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐

标是ax?bx?c?k的两个实数根.

(4)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图像G的交点,由方程组 2

y?kx?n

y?ax2?bx?c的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点;③方程组无解时?l与G没有交点.

2ky?ax?bx?c?a?0?的图像的交点,由方程组 反比例函数y??k?0?的图像与二次函数x

k?y?? 的解来确定。 x??y?ax2?bx?c?

(5)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1,0?,B?x2,0?,由于x1、x2是

2方程ax?bx?c?0的两个根,故x1?x2??bc,x1?x2? aa

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