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鲁教版七年级上册3.1探索勾股定理(1)——测量和数格子法感知

发布时间:2013-10-24 12:43:09  

第三章

勾股定理

1

探索勾股定理

1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程,了解勾 股定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些实际问 题.

这是1955年希腊为纪念一个数学学派曾经发行的邮票.

P C Q A

如图,小方格的边长为1. 正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
9
R

16



B

怎么求SR的大小?
有几种方案?

P Q C R

用“补”的方法

SR

? 49 ? 4 ? ( ? 25.

1 ? 4 ? 3) 2

P Q C R

用“割”的方法
1 SR ? 4 ? ? 4 ? 3 ? 1 2

? 25.

探究勾股定理 (1)在图中,正方形A中含
C A B

有 9 个小方格,即A的面积
是 9 个单位面积. 9 正方形B的面积是____ 个单位面积. 18 正方形C的面积是_____ 个单位面积.

(图中每个小方格代表1个单位面积)

C A B

S正方形C ? 4 ? 1 ? 3 ? 3 ? 18
(单位面积)

2

把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求

(图中每个小方格代表1个单位面积)

C

S正方形C ? 1 ? 6 ? 18 2
2

A
B

(单位面积) 把正方形C可以看成边 长为6的正方形面积的 一半

(图中每个小方格代表1个单位面积)

(2)在图2中,正方形A,
C A B
图1

B,C中各含有多少个小方
格?它们的面积各是多少?
C A B
图2

(3)你能发现图1中三个 正方形A,B,C的面积之

间有什么关系吗?图2呢?
SA+SB=SC

(图中每个小方格代表1个单位面积)

即:两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上 的正方形的面积.

【做一做】
(1)观察图1、图2,并填 写下表:
A B
图1

C

C A

B
图2

A的面积 B的面积 C的面积 (单位面积) (单位面积) (单位面积) 图1 图2 16 4 9 9

25
13

(2)右图中正方形

A,B,C的面积之间
有什么关系? SA+SB=SC
A

C

即:两条直角边上 的正方形面积之和 等于斜边上的正方 形的面积.

B 图1 A

C

B
图2

勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么

a ?b ?c
2 2

2

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a c b 勾 弦 股

中国古代把直角三角形中较短的
直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,

斜边叫做弦.
据《周髀算经》记载,西周战国 4 股 勾 ∟



5

时期(约公元前1千多年)有个叫商高
的人对周公说,把一根直尺折成直角,

3

两端连接得一个直角三角形,如果勾
是3,股是4,那么弦等于5.

人们还发现, 在直角三角形中, 勾是6, 62=36, 52=25, 股是8, 弦一定是10; 82=64, 102=100 62+82=102 122=144, 132=169 52+122=132 等.

勾是5, 股是12, 弦一定是13,

是不是所有的直角三角形都有这个性质呢?
世界上许多数学家,先后用不同方法证明了这个

结论. 我国把它称为勾股定理.

【例题】如图,一

根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆 顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高?

9 m

12 m

【解析】设旗杆顶部到折断处的距离为x m,根据勾

股定理得

9 ? 12 ? x
2 2

2

x=15, 15+9=24(m).

答:旗杆原来高24 m.

1.(义乌·中考)在直角三角形中,满足条件的三边

长可以是

.(写出一组即可)

【解析】答案不唯一,只要满足式子a2+b2=c2,且是

正整数即可.
答案:3,4,5(满足题意的均可)

2.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男
孩头顶上方3 km处,过了20 s,飞机距离这个男孩

头顶5 km.这一过程中飞机飞过的距离是多少?
C ? 5 B

3
A

【解析】在Rt△ABC中,
BC2 ? 52 ? 32 ? 16. 因为BC ? 0, 所以BC ? 4(km).

答:飞机飞过的距离是4 km.

3.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形

的面积.
【解析】设另一条直角边长是x cm.由勾股定理得: 152+ x2 =172,而x2=172-152=289–225=64, 所以 x=〒8(负值舍去), 所以另一直角边长为8 cm,
1 直角三角形的面积是: ? 8 ? 15 ? 60(cm2). 2

4.若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长的平方
是( )

(A)169
(C)13或15

(B)169或119
(D)15

【解析】选B.①若第三边是直角边,则它的平方是12252=144-25=119;②若第三边是斜边,则它的平方是 122+52=144+25=169.故选B.

5.在△ABC中,∠C=90°,若BC∶AC=3∶4,AB=10,则该三角
形的面积为________.

【解析】设AC=4k,BC=3k,则(4k)2+(3k)2=102,
解得k=2,所以AC=8,BC=6, 所以三角形的面积为 1 〓6〓8=24. 答案:24

2

拓展延伸
知识点1

运用勾股定理解决有关线段或面积的问题

【例1】如图所示,在△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC 边上的高线AD的长.

【解题探究】
(1)因为图中没有高线AD,作出高线AD,

则得△ABD和△ACD是什么样的特殊三角形?
它们的三边满足的关系式分别是什么? 直角三角形.在Rt△ABD和Rt△ACD中,关系式为 答:__________________________________________

AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2 _______________________.
(2)已知AB,AC和BC,要根据勾股定理求AD,只需求出

BD或CD 线段_______的长.

(3)因为AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共边,所以可以得
AC2-CD2 AD2=AB2-BD2,还可以得AD2=_______,进而能得到怎样

的等式?
AB2-BD2= AC2-CD2 答:_______________. 132-x2=152-(14-x)2 14-x (4)如果设BD=x,则CD=_____,可得方程_________________, 12 x=5 解方程得____,再由勾股定理得AD=___.

【互动探究】本例(4)中得到的方程整理后是什么方程?怎样

求解?
提示:整理后为一元一次方程.先化简整理为一元一次方程, 然后移项、合并同类项、化系数为1.

【跟踪训练】
1.如图,阴影部分是一个正方形,则此

正方形的面积为(
(A)32 (C)16

)
(B)64 (D)128

【解析】选B.设正方形

的边长为a,由勾股定理可得, a2=172-152=64,所以正方形的面积为64.

2.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为
5和11,则b的面积为_______.

【解析】如图,因为∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,
所以∠ACB=∠DEC.

因为∠ABC=∠CDE,AC=CE,
所以△ABC≌△CDE, 所以BC=DE, 所以,根据勾股定理的几何意义,Sb=Sa+Sc, 所以Sb=Sa+Sc=5+11=16. 答案:16

知识点2

勾股定理的变式与应用

【例2】(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,两条直角边的和为 17 cm,面积为30 cm2,试求这个直角三角形的斜边长. 【规范解答】设直角△ABC的两条直角边长分别为a,b,斜边

为c,

?????????????????1分

1 ab 由题意可得____=17,_____=30, ??????3分 a+b 2
所以c2=a2+b2= (a+b)2-2ab __________ =172-2〓60=169,??????????????5分 13 所以c=___. ????????????????7分

13 即该直角三角形的斜边长为___ cm. ??????8分

【规律总结】
勾股定理的变式应用

勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个重要定理,其
基本形式是a2+b2=c2.因此在涉及直角三角形的边之间的和、差、 积时,考虑用变式来解决问题,往往快捷方便,能达到事半功 倍的效果.其中常用的两种变式为: (1)(a+b)2-2ab=c2. (2)(a-b)2+2ab=c2.

通过本课时的学习,需要我们掌握: 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即 a2+b2=c2(a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和 斜边)


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