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圆的对称性

发布时间:2013-10-24 12:43:10  

圆 的 对 称 性

想一想P88 1

圆的对称性

? 圆是轴对称图形吗? 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴? 你是用什么方法解决上述问题的? ?圆是中心对称图形吗? 如果是,它的对称中心是什么? O 你能找到多少条对称轴? 你又是用什么方法解决这个 问题的?


想一想P88 2

圆的对称性

? 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. ?圆也是中心对称图形.


O

它的对称中心就是圆心.
用旋转的方法即可解决这个 问题.

读一读P88 3

圆的相关概念
? 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. ?以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 AB AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). ?
?

B A

经过圆心弦叫做直径(如直径AC). ? 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半 m ⌒ 圆(如弧ABC).
C D



O

小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒(用 AB 两个字母).
?

⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AmB (用三个字母).
?

做一做P89 4

垂径定理
? AB是⊙O的一条弦. ? 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
?

做一做

右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C

A

M└


O

? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B ?小明发现图中有: ③AM=BM, ?由 ① CD是直径 ⌒ ⌒ 可推得 ④AC=BC, ② CD⊥AB

D

⌒ ⑤AD=BD.



做一做P90 5

垂径定理

? 如图,小明的理由是: ? 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB,OM=OM, ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. C ∴AM=BM. A B ∴点A和点B关于CD对称. M└ ∵⊙O关于直径CD对称,


O

∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ ⌒ 重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合.

D

⌒ ⌒ ⌒ ∴AC =BC, AD =BD.



想一想 P90 6

垂径定理三种语言

? 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ? 老师提示: 如图∵ CD是直径, C ? 垂径定理是 CD⊥AB, 圆中一个重 A B M└ 要的结论,三 ∴AM=BM, O 种语言要相 ⌒ ⌒ 互转化,形成 AC =BC, 整体,才能运 ⌒ ⌒ D 用自如. AD=BD.


做一做P91 7

垂径定理的逆定理
? AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. ? 过点M作直径CD.
?

右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C

A





M


O

⌒ ⑤AD=BD. D 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.

? 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由. B ?小明发现图中有: ②CD⊥AB, ?由 ① CD是直径 ⌒ ⌒ 可推得 ④AC=BC, ③ AM=BM



想一想P91 8

垂径定理的逆定理

? 如图,在下列五个条件中:

⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,

⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出

其余三个结论.
C

A

M└


B O
? ?

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!

D

C

想一想P91 9
条件 ①② ①③ 结论 ③④⑤ ②④⑤

垂径定理及逆定理

A

M└


B
O

命题

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.

①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤

②③⑤
②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④

③④
③⑤ ④⑤

①②⑤
①②④ ①②③

平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.

A

P
O

B

5.在半径为30㎜的⊙O中,弦AB=36 ㎜,则O到AB的距离是= 24mm , ∠OAB的余弦值= 0.6 。 6.已知:如图,在以O为圆心的两个同心 圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。 你认为AC和BD有什么关系?为什么? 证明:过O作OE⊥AB,垂足为E, 则AE=BE,CE=DE。 O ∴ AE-CE=BE-DE 即 AC=BD A C E 注意:解决有关弦的问题,过圆心作 弦的垂线,或作垂直于弦的直径,也 是一种常用辅助线的添法.

.

D

B

随堂练习P9210

挑战自我垂径定理的推论
? 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相 等吗? ? 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧
O

2.两条弦在圆心的两侧
A


A C



B D

O

B D

C

垂径定理的推论

圆的两条平行弦所夹的弧相等.

试一试P93 11

挑战自我画一画
? 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
M ●O


试一试P93 12

挑战自我填一填

? 1、判断:

? ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. ( )
? ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. ( ) ? ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( ? ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. ( ) ) ) ? ⑷圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. (

试一试P93 15

挑战自我画一画
? 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H G D

B

E

· 0

F

C

试一试P93 12

挑战自我填一填
? 1、判断:

驶向胜利 的彼岸

? ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. ( ?) ? ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. (√ )

? ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.(

?



? ⑷圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平

行. ( ?)

? ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. ( √ )

E

例2:如图,圆O的弦AB=8 ㎝ , DC=2㎝,直径CE⊥AB于D, 求半径OC的长。

直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
A E

O

D B

练习2:在圆O中,直径CE⊥AB于 D,OD=4 ㎝,弦AC= 10 ㎝ , 求圆O的半径。
O

C
C

O

D A B

反思:在⊙ O中,若⊙ O的半径r、 A B 圆心到弦的距离d、弦长a中, C D 任意知道两个量,可根据 垂径 定理求出第三个量:

C

例3:如图,已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G,AE⊥CD于E, BF⊥CD于F,且圆O的半径为 A 图中相等的线段有 : 10㎝,CD=16 ㎝,求AE-BF的长。

E

G O F

B

D

A

练习3:如图,CD为圆O的直径,弦 AB交CD于E, ∠ CEB=30°, DE=9㎝,CE=3㎝,求弦AB的长。

D

E O

C

B

试一试P93 13

挑战自我画一画
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: .
C A

驶向胜利 的彼岸

? 2.已知:如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB<CD,

B M E D O

F

N

小 结
1、圆的轴对称性 2、垂径定理及其逆定理的图式

? 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦 直径平分弦(不是直径) ? 直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦=>
=>

直径平分弦

直径平分弧

=>

?

直径平分弧所对的弦

直径垂直于弧所对的弦

2. 圆对称性(2)

想一想 P90 1

垂径定理三种语言
? 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ? 老师提示: 如图∵ CD是直径, C ? 垂径定理是 CD⊥AB, 圆中一个重 A B M└ 要的结论,三 ∴AM=BM, O 种语言要相 ⌒ ⌒ 互转化,形成 AC =BC, 整体,才能运 ⌒ ⌒ D 用自如. AD=BD.


垂径定理的应用
? 例1 如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. C ?解:连接OC.
老师提示: 注意闪烁 的三角形 的特点.


想一想P91 2

E

F O

设弯路的半径为Rm, 则OF ? ( R ? 90)m. ? OE ? CD, 1 1 D ? CF ? CD ? ? 600 ? 300(m). 2 2 OC 2 ? CF 2 ? OF 2 ,即 根据勾股定理, 得
2 2 2

R ? 300 ? ?R ? 90? . 解这个方程, 得R ? 545. ? 这段弯路的半径约为545m.

随堂练习P92 3

赵州石拱桥
? 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).

你是第一 个告诉同 学们解题 方法和结 果的吗?
?

随堂练习P92 4

赵州石拱桥

解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是AB 的中点,CD就是拱高. 37.4 由题设 AB ? 37.4, CD ? 7.2, C

1 1 AD ?

AB ? ? 37.4 ? 18.7, 2 2 OD ? OC ? DC ? R ? 7.2.

7.2
A

D

B

在Rt△OAD中,由勾股定理,得

OA2 ? AD2 ? OD2 , 即R2 ? 18.72 ? ( R ? 7.2)2 .
解得 R≈27.9(m). 答:赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.

R

O

做一做P补 5

船能过拱桥吗
? 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗?
? 相信自己能独立 完成解答.

做一做P补 6

船能过拱桥吗

1 1 AD ? AB ? ? 7.2 ? 3.6, 2 2 OD ? OC ? DC ? R ? 2.4.

? 解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB的中点,CD就是拱高. 1 由题设得 AB ? 7.2, CD ? 2.4, HN ? MN ? 1.5.

2

在Rt△OAD中,由勾股定理,得

OA2 ? AD2 ? OD2 , 即R2 ? 3.62 ? ( R ? 2.4)2 .
解得 R≈3.9(m). 在Rt△ONH中,由勾股定理,得

OH ? ON 2 ? HN 2 , 即OH ? 3.92 ?1.52 ? 3.6. ? DH ? 3.6 ? 1.5 ? 2.1 ? 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.

想一想 P补 7

垂径定理三角形

已知:如图,直径CD⊥AB,垂足为E . ⑴若半径R = 2 ,AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ,OE = 1 ,求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发,你还能编出什么其他问题?
C

a 2 ⑴d + h = r ⑵ r ? d ? ( ) 2
2 2

O E A D B

在a,d,r,h中,已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.

做一做P补 8

垂径定理的应用
? 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm,求油的最大深 度.

A

O ┌ E
D
600

B

想一想P补 9

垂径定理的逆应用

? 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm,求油的最大深 度.
D

A

600

B

O ?650

C

随堂练习P补10

挑战自我

? 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决. ? 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理,并 用方程的思想来解决问题.
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h,这四个量中,只要已知其中任意两个量,就可以求出另外 两个量,如图有:
?

a

⑴d + h = r

2

h d O

a 2 ⑵ r ? d ?( ) 2
2 2

2. 圆对称性(3)

想一想P94 2

圆的对称性及特性

? 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆 心的直线,它有无数条对称轴. ?圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
?

用旋转的方法可以得到:



O

一个圆绕着它的圆心旋转任意一 个角度,都能与原来的图形重合.
?

这是圆特有的一个性质:圆的 旋转不变性
?

想一想 P94 2

圆心角
? 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). ? 弦心距 过

圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). ? 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将 其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. D

A


D′ O

A′

B

D A

D′ D B′ B

A′ A


B

B′



O

O

?

你能发现那些等量关系?说一说你的理由.

想一想 P94 3

圆心角
? 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
? 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和 ∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使 得OA和O′A′重合. A′ B′ O B A D′
● ●

A A′
O′

B B′

● ●

O′ O

?

你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.

议一议P95 4

圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
? 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的 弦相等,所对的弦的弦心距相等. A A
D D

B



O

B



O



O′

┏ A′ D′ B′ 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′

可推出

┏ A′ D′ B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′

猜一猜P95 5

拓展与深化

? 在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件: ? ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距, 你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由. A A
D D

B



O

B



O



O′

┏ A′ D′ B′

如由条件: ②AB=A′B′





可推出

┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′

③AB=A′B′ ④ OD=O′D′

猜一猜P96 6

推论

? 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两 条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对 应的其余各组量都分别相等. A A
D D

B



O

B



O



O′

┏ A′ D′ B′

如由条件: ③AB=A′B′

可推出

┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′

②AB=A′B′ ④ OD=O′D′

⌒ ⌒

随堂练习P97 7

化心动为行动

AB ? 1.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 ⌒ 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.

2.利用一个圆及若干条弦分别设计出符合下列 条件的图案: ?(1)是轴对称图形但不是中心对称图形; ?(2)即是轴对称图形又是中心对称图形. ?3.日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称 性有关,试举几例.
?


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