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九年级上数学《24.1.4圆周角 1》课件(人教新课标版)

发布时间:2013-10-24 13:44:40  

24.1.4 圆周角

1、复习提问: (1)什么是圆心角? (2)圆心角,弧,弦,弦心 距关系定理是什么?

∠ACB与 ∠AOB 有何异同点? 你知道∠ACB这一类的角名字吗?

圆周角的概念 :
顶点在圆上,两边 与圆相交的角,叫圆 周角。

C

B O A

判断下列各图形中的是不是圆周角,
并说明理由.

归纳: 一个角是圆周角的条件:①顶点在圆上; ②两边都和圆相交.

探究一:
问题:同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角 度数有什么关系?

探究一:
问题:同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角 度数有什么关系? A (1)当圆心在圆周角的一边上时, O 证明:(圆心在圆周角上)

OA ? OC ? ?C ? ?BAC
?BOC ? ?BAC ? ?C

C B 1 ? ?BAC ? ?BOC 2

结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆 周角等于它所对圆心角的一半.

2.当圆心在圆周角内部时 提示:能否转化为1的情况?
?
?

A

D C


过点B作直径BD.由1可得:
1 ∠AOD,∠CBD 2

∠ABD =

= 1∠COD, 2
B

O

∴ ∠ABC

1 = 2 ∠AOC.

结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆 周角等于它所对圆心角的一半.

3.当圆心在圆周角外部时
提示:能否转化为1的情况?
?

A
C


过点B作直径BD.由1可得:

B 1 1 ?∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 2 2

O

D

1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2

结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆 周角等于它所对圆心角的一半.

定理
在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周 角等于它所对圆心角的一半.
C

B O A

圆周角定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 都相等,等于它所对的圆心角的一半。
1 即∠BAC= ∠BOC 2
A A O C B C A

O
B

O
C

B

例 在⊙O中,AB是直径, CB = CF 弦 CG⊥AB于D,交BF于E,求证:BE=EC
C F E A B O D





G

练一练.1试找出下图中所有相等的圆周角。
D

∠2=∠7 ∠1=∠4

A

1

8 7
6
C

2 3
B

∠3=∠6

4

5

∠5=∠8

如果∠A=44°,则∠BOC=____. 如果∠BOC=44°,则∠A=____. 如果∠A=35°,则∠BDC=____.
B

A
D O C

探究二:
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度? 2. 90°的圆周角所对的弦是 C 否是直径?

A

推论: 半圆或直径所对的圆周角都相等,都 等于90°(直角).反过来也是成立的, 即90°的圆周角所对的弦是圆的直径

O

B

问题3 在半径不等的圆中,相等的两个 圆周角所对的弧相等吗?
如图,∠ABC=30°,∠A′B′C′=30°,但是 ︵
CA



A′C′

B

B'

A' A C

C'

在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等, 它们所对的弧一定相等吗?为什么?

A A′ B O B′ C′ C

结论
? 在同圆或等圆中,如果两个圆

周角相等,那么它们所对的弧 一定相等

例.如图⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长.
C O

A

B

D

例:已知, ⊙O的弦AB长等于圆的半径, 求该弦所

对的圆心角和圆周角的度数,

C

O

O

A

A B C

B

如图,在足球比赛中,甲、乙两名队 员互相配合向对方球门MN进攻,当 甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,此时自己 直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好?
(在射门时球员相对与球门的张角越大射门的成功率就越大。)

解: 过M、N、B作圆,则点A在圆外 连接M、C 因为∠A<∠MCN 而∠MCN= 2 ∠O= ∠B ∴∠A<∠B
1

因此,在点B射门为好。

练习:1,如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上 500 的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=_____ . D
O 40°

A

B

C

2. 如图OA、OB、OC都是⊙O的半径, ∠AOB=2∠BOC. 求证:∠ABC=∠BAC.
O A

B

C

3,如图所示,AB,AC是⊙O的弦,AD⊥BC 于D,交⊙O于F,AE是⊙O的直径,试问 两 弦 BE 与 CF 的 大 小 有 何 关 系 , 说 明 理 由.

4,已知:△ABC的三个顶点在⊙O上, ∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AOB.
解:有题意知:∠A、∠B、∠C是圆周角, C ∠AOB是圆心角. 又∵∠BAC=50°,∠ABC=47° ∴∠ACB=180°-(∠A+∠B) O =180°-(50°+47°) =83°. A B 1



∴ ∠AOB=2∠ACB=2×83°=166°.

?ACB ? ?AOB 2

5,求证:如果三角形一边上的中线等于这 边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 (提示:作出这条边为直径的圆)
C

A

O

B

6,如图,已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角
∠ACB、∠ADB的度数? 7,一条弦分圆为1:4两部分,求这弦所对的 圆周角的度数?
O A C B D

补充例题:

C

已知:弧AB

平分已知弧AB
E

求作:弧AB的中点

A

B

作法: ⒈ 连结AB. ⒉作AB的垂直平分线 CD,交弧AB于点E.
D ∴点E就是所求弧AB的中点。

4、在圆中,一条弧所对的圆心角和

圆周角分别为(2x+100)°和 (5x—30)°,求这条弧所对的圆 心角和圆周角的度数。

学生练习
已知:如图,AB是⊙O直径, 与CD相交于点E,已知 AE=1cm,BE=5cm, ∠DEB=600,求弦CD的长.
A C E

D

.
O

B

巩固练习
1.如图,∠A是圆O的圆周角, ∠A=40°,求∠OBC的度数。


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