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2013-2014初三数学竞赛试题

发布时间:2013-10-24 13:44:44  

2013-2014学年度竞赛试题

初三数学

考生注意:

一、选择题(本题共有5个小题,每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答

案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得5分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.)

1、如果a??2?1?1

的值为( ).

2?

13?a

(A) (B (C)2 (D)2、如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.

?ADC?30?,AD = 3,BD = 5,则CD的长为( ). (A)32 (B)4 (C)2 (D)4.5

3、如果关于x的方程x2

?px?q?0(p,q是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的

个数是( ).

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

4、D是△ABC的边AB上的一点,使得AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点,得

?ADP??ACB,则

PB

PD

的值为( ) 九年级数学试卷 第1页 (共4页)

(A) 2 (B)

2

)3

5、已知

1x?1y?z?12,1y?1z?x?13,1z?1x?y?14,则2x?3y?4z

的值为 ( ) (A)1. (B)

32. (C)2. (D)5

2

.

二、填空题(本题共有5个小题,要求直接将答案写在横线上.) 6、如果a,b,c是正数,且满足a?b?c?911110a?b?b?c?c?a?

9

,那么ab?c?bc?a?c

a?b的值为 .

7、如图,正方形ABCD的边长为,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是 . 8、设n为整数,且1≤n≤2012. 若(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除,则所有n的个数为9、设a为正整数,如果二次函数y=2x2+(2a+23)x+10-7a的反比例函数11-3ax 的图像有公共整

点(横坐标和纵坐标都是整数点)则a的取值范围和对应的公共整点 .

10、已知n是偶数,且1≤n≤100.若有唯一的正整数对(a,b)使得a2?b2?n成立,则这样的n的个数为 .

三、计算题(请写好每一个步骤,按步骤给分) 11、分解因式:a3+b3+c3-3abc.

12、分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2

九年级数学试卷 第2页 (共4页)

2013-2014学年度初三数学竞赛试题

参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档;其余各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数. 1、B 2、D 3、C 4、C 5、C 6、7 7、8 8、-2/3 9、a=39时(2,-53)(-53,2) a=12时(1,-25)(-25,1) 10、12

11、解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

=[(a+b)3+c3

]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2

-c(a+b)+c2

]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca). 12、解 9x4-3x3+7x2-3x-2 =9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2 =x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2 =(9x2-3x-2)(x2+1) =(3x+1)(3x-2)(x2+1)

13、已知三个不同的实数a,b,c满足a?b?c?3,方程x2

?ax?1?0和x2

?bx?c?0有一个相同的实根,方程x2?x?a?0和x2

?cx?b?0也有一个相同的实根.求a,b,c的值.

解 依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.

设x是方程①和方程②的一个相同的实根,则??x21?ax1?1?0,

1x2 两式相减,可解得

?1?bx1?c?0,

x?1

1?

ca?b

.……………………2分 设x?x22?x2?a?0,a?b

2是方程③和方程④的一个相同的实根,则??x2两式相减,可解得x2?。

2?cx2?b?0,

c?1所以 x1x2?1. ……………………2分

九年级数学试卷 第1页 (共4页)

又方程①的两根之积等于1,于是x2

2也是方程①的根,则x2?ax2?1?0。

又 x2

2?x2?a?0,两式相减,得 (a?1)x2?a?1. ……………………3分 若a?1,则方程①无实根,所以a?1,故x2?1.

于是 a??2,b?c??1.又a?b?c?3,解得 b??3,c?2. ……………3分 17、证明:(1)连接PE,PF,PG,因为?PDG??PEG,

所以?PDC??PEF.

又因为?PCG??PFG,所以△PDC∽△PEF, 于是有

PDPC?PEPF,?CPD??FPE,从而△PDE∽△PCF,所以PDPC?

DE

CF

.又已知DEADCF?BC,所以,ADPD

BC?

PC

. (2)由于?PDA??PGE??PCB,结合(1)知,△PDA∽△PCB,从而有PAPD

PB?PC

,?DPA??CPB,所以?APB??DPC,因此△PAB∽△PDC.

九年级数学试卷 第2页 (共4页)

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