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新人教版八年级上册第十三章含有30度角的直角三角形的性质

发布时间:2013-10-25 08:03:47  

13.3.2等边三角形(2)
——含有30度角的直角三角形的性质

复习巩固
一、等边三角形的性质
1、等边三角形的三条边都相等; 2、等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内 角都等于60 °; 3、等边三角形每条边上中线、高线和所对角的平分 线都三线合一. 4、等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴,且交 于一点;

二、 等边三角形的判定

1.三个边都相等的三角形是等边三角形; 2.三个角都相等的三角形是等边三角形; 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.

学习目标

? 1、理解“在直角三角形中,如果一 个锐角等于300,那么它所对的直角 边等于斜边的一半”。 ? 2、会用添加辅助线的不同方法证明 含有30度角的直角三角形的性质。


?







探究1 用直尺量一量含30°角的直角三角板的最短直角边(即300 角所对的直角边)与斜 边,记录下数据,你有什么发现?


?







猜一猜 在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?

在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那 么它所对的直角边等于斜边的一半。


?







探究2 ①当将两个同样大小的三角板(含30 °和60 °的角)摆在一起,新得到的三角形 是特殊的三角形吗?请说明理由; ②得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关系,说明理由.

验证: 我们可以用两个同样大小的三角尺
(含30 °和60 °的角)拼接起来验证
A

B

C

D

A
30°

A

数学化

B

C

D

B

C

D

可得: △ABD是等边三角形 ∵ AC ⊥BD ∴ BC=CD= 1 BD 2 ∵ BD=AB ∴ BC= 1 AB 2 60°
B

A

60°
C

D

在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那 么它所对的直角边等于斜边的一半。

证明:延长BC至D,使CD=BC,连结AD.

已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°。 1 求证:BC= AB。 2

在△ABC与△ADC中 BC=DC ∠ACB=∠ACD AC=AC ∴ △ABC≌△ADC(SAS) ∴AB=AD ∵ ∠BAC=30° ∴ ∠B=60° ∴△ABD是等边三角形

A

30°

B

C

D

1 1 ∴BC=DC= BD= AB 2 2

证明方法:倍长法

证法二:
证明:在△ACB 内部作 ∠ACD=∠A=300,交 AB于D A D

则∠DCB=∠B=600 ∴△ADC是等腰三角形, △BCD是等边三角形 ∴AD=CD=BD=BC

1 ∴ BC ? AB 2

C

B

A

证法三:
证明: 在BA上截取BE=BC,连接EC E ∵ ∠B= 60° ,BE=BC ∴ △BCE是等边三角形 ∴ ∠BEC= 60°,BE=EC ∵ ∠A= 30° B ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30° ∴ AE=EC ∴ AE=BE=BC ∴ AB=AE+BE=2BC.
1 ∴ BC ? AB 2

C

证明方法:截半法

归纳新知

含30 °角的直角三角形性质:

在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,

那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A

几何语言 ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A= 30°

30°

1

∴ BC= AB 2

B

C

判 断
1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半. 2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。 4)直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍.



1、如图,在Rt△ABC中∠C=900 ,∠B=2 ∠A, 3cm AB=6cm,则BC=________.
B

2、如图, Rt△ABC中, ∠A= 30°, 8cm AB+BC=12cm,则AB= _______. C

D

A

3、如图, Rt△ABC中, ∠A= 30°,BD平分∠ABC, 且BD=16cm,则AC= 24cm .

如图,是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁 AB的中点,立柱BC,DE 垂直于横梁AC,AB=7.4m, ∠A=30 ° ,立柱BC,DE要多长 ,立柱BC,DE要多长? 解: ∵ DE AC,BC AC, ∠A=30 °
∴ BC=
1 2

B D

1 AB, DE= 2AD

A

E

C

1 ∴ BC= 2 7.4=3.7(m) 1 1 ∵ AD= ×7.4=3.7(m) 2AB= 2 1 1 ∴ DE= 2AD= 2 3.7=1.85(m) 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长1.85m。

课堂小结
? 本节课你有何收获? ? 1、含有30度角的直角三角形的性质:在直 角三角形中,如果一个锐角等于300,那么 它所对的直角边等于斜边的一半。 ? 2、添加辅助线不同的证明方法。









已知:如图,在△ABC中, ∠ACB= 900 ∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD=
1 AB. 4
B C

D

A








D

已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20. 求:腰上的高.
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D ∵∠B=∠ACB=150(已知),
B
150

A
150

∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 ∴CD= 1 AC=
2

C

1 ×20=10 2

课堂检测
1.在△ABC中,∠C=900, ∠B=600,BC=7, 300 ,AB= 14 则∠A = ------------------2.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3, 5 若AB=10,则BC=---------C 3、如图Rt△ABC中,CD是斜边AB 上的高,若∠A=300,BD=1cm, 那么∠BCD=_____, BC=_____. 300 2cm A D

B

4、如图所示,已知△ABC中,∠ACB=900, CD⊥AB于D, ∠A=300,且AB=8cm, 4cm 300 则BC= ---------- , ∠BCD=----------, 6cm 2cm BD= ---------- ,AD= ---------- , A
A

C

D

B

5、如图△ABC是等边三角形, AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为D、E、F点, 2.5cm 则∠ADF =______, BD=______, 60° 1.25cm BE=_______.

E B D

F
C

知识反馈 布置作业
1、必做题:课本第81页练习题

2、 选做题:
如图在△ABC中,AB=AC, ∠BAC=120°,AC的垂直平分线 EF交AC于点E,交BC于点 F.求证:BF=2CF.
C A E

F

B


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