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二次函数与三角形

发布时间:2013-10-25 09:37:11  

Y1+1数学辅导资料

二次函数与三角形

适用学生:杨琨、庞优悦

一、等腰三角形

1.如图,直线y?3x?3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3,0).

⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.

2.如图,一条抛物线经过原点,且顶点B的坐标(1,﹣1).

(1)求这个抛物线的解析式;

(2)设该抛物线与x轴正半轴的交点为A,求证:△OBA为等腰直角三角形;

(3)设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C,请你在抛物线位于x轴上方的图象上求两点E、F,使△ECF为等腰直角三角形,且∠ECF=90°.

3.已知:如图1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.

(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;

(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为6,那么5EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;

(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在成立,请说明理由.

二、直角三角形

1.如图,已知与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线l1的顶点为C(3,4)抛物线l2与l1关于x轴对称,顶点为C?

(1) 求抛物线l2的函数关系式

(2) 已知原点O,定点D(0,4),l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称,则当点P

运动到何处时,以点D、O、P、P?为顶点的四边形是平行四边形?

(3) 在l2上是否存在点M,使△ABM是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形?若存

在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由

x

2.已知抛物线y?ax?2 11,ax?6a(a<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)2

与y轴交于点C,且OC=2OA

(1) 求这个抛物线的函数关系式

(2) 求点A到直线BC的距离

(3) 将△ABC沿直线AC翻折,使点B与点B?重合,连结BB?,点Q是BB?的中点,

在抛物线上是否存在一点P,使△QCP是以QC为直角边的直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在;请说明理由

3.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=a(x+1)+c(a>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为y=kx-3,与x轴的交点为N,且2BO3?。(1)求抛物线的解析式; (2)在此抛物线上是否存在异于点C的BC10

点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标:若不存在,请说明理由; (3)过点A作x轴的垂线,交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

三、相似三角形

如图,平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3)线段AB垂直于y轴,垂足为B,将线段AB绕点A逆时针放心旋转90°,点B落在点C处,直线BC与x轴交于点D.

(1)试求出点D的坐标;

(2)试求出经过A、B、D三点的抛物线的表达式,并写出顶点E的坐标;

(3)在(2)中所求抛物线的对称轴上找点F,①使得以点A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似;②使得△AEF与△ACD的面积相等。

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