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3.2 圆的轴对称性(2)课件(九上)

发布时间:2013-09-18 13:29:16  

教学目标 1.使学生掌握垂径定理及其推论,并会用垂径定理及其推论解 决有关证明、计算和作图问题; 2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用,培养学生把 实际问题转化为数学问题 的能力和计算能力,结合应用问题向学生进行爱国主义教育. 教学重点和难点 垂径定理的两个推论是重点;由定理推出推论1是难点. 教学方法:类比 启发

复习
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C

A

M└


B O

如图∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,

⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
D



CD平分弦AB 条件 CD为直径 CD⊥AB 结论 CD平分弧ACB

CD平分弧ADB

注意
已知:

垂径定理的逆定理

?如图,根据垂径定理,把已知条件和结论分为下列五个条件

① CD是直径,

② CD⊥AB, ⑤AD=BD.

结论: ③ AM=BM,
C

⌒ ⌒ ④AC=BC,

⌒ ⌒

A

M└


B O

只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.

D

探索规律
1. AB是⊙O的一条弦,且AP=BP.

2. 连接OP并延长,交⊙O 于C,D.
CD⊥AB,

CD是直径 AP=BP
C

⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD.

A

┗ P ●O



B

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,
D

并且平分弦所对的两条弧.

定理(1):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧
已知:CD是直径,AB是弦(不是直径), C P

并且CD平分AB
求证:CD⊥AB,AD=BD,AC=BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒

A

.

B

O

D

定理(2):平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
已知:CD是直径,AB是弦(不是直径) , 并且AD=BD
⌒ ⌒

(AC=BC)
⌒ ⌒ ⌒ ⌒





求证:CD平分AB, CD ⊥AB AC=BC (AD=BD)

例题

赵州石拱桥

?1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m,拱 高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱 的半径(精确到0.01m).

C
7.23

A
37.02

D

B

O

练习:P68 4,5 P67 1,2
P D N A M Q O B C

P68

6

挑战自我
如果圆的两条弦互相平行,

那么这两条弦所夹的弧相等吗?
1.两条弦在圆心的同侧
O

2.两条弦在圆心的两侧
A


A C



B D

O

B D

C

垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.

M A B C A A O E D B

. O
C

.

.O
D B N

小结:

解决有关弦的问题,经常是过圆心作 弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连结半 径等辅助线,为应用垂径定理创造条件。

1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和定理
定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条 弧.
定理(1):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

定理(2):平分弧的直径垂直平分弧所对的弦

2.有关弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是 一条非常重要的辅助线.

圆心到弦的距离、半径、弦长 构成直角三角形,便将问题转化为解直角三角形的问题. 3.推论

圆的两条平行弦所夹的弧相等

一、判断是非: (1)平分弦的直径,平分这条弦所对的弧。 ? (2)平分弦的直线,必定过圆心。 (3)一条直线平分弦(这条弦不是直径), 那么这条直线垂直这条弦。
A C O D A ? ?

C ?O B

C ?O A B

(1) B

(2) D

(3) D

(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

?

(5)平分弧的直线,平分这条弧所对的弦。 ? (6)弦垂直于直径,这条直径就被弦平分。 ?
C
B ?O ?O D A (5) ?O E D (6)

A

C (4)

B

C

A

B

船能过拱桥吗
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱 顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形 并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过 这座拱桥吗?

相信自己能独立完成解答.

判断
(1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
(2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且 经过圆心……………………………………..( √ ) (3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )

(4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) (5)圆内两条非直径的弦不能互相平分( √ )

挑战自我填一填
?1、判断: ? ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. ( ) ?⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一 条弧. ( ) ?⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( ) ) ) √ ?⑷圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. ( ?⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. (

挑战自我画一画
?2.已知:如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB<CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: .

挑战自我画一画
?4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H G D

B

E

· 0

F

C

讨论
(3)

(1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平 分弦所对优弧 (5)平分弦所对的劣弧 (2) (1) (4) (5) (1) (3) (2) (5) (1) (3) (4) (2)

(2) (4) (5)

(1)

(3)

(4)

(5)

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对 的两条弧 (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦, 并且平分弦所对的另一条弧


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