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2013[1].人教版八年级数学上册课标解读

发布时间:2013-10-25 10:42:54  

一、封面设计

数学课标解读

(八年级上册)

平民初中——张彦鹏

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二、全册课程标准解读标准

本册教材的内容分析:

人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法与因式分解、分式等五章内容,学习内容包括《义务教育数学课程标准(2011年版)》中数与代数、图形与几何、综合与实践的领域。本册教学内容是初等数学的重要基础知识。

本书供八年级上学期使用,教学时间约需62课时,具体分配如下:

第11章 三角形 约8课时

第12章 全等三角形 约11课时

第13章 轴对称 约14课时

第14章 整式的乘法与因式分解 约14课时

第15章 分式 约15课时

本册教材内容概述:

三角形是最常见的一类几何图形,本册第11章“三角形”的主要内容就是介绍三角形的一些基本概念和性质,如三角形的分类,边、高、中线、角平分线的基本概念和某些性质,三角形的内角和、外角和的性质,三角形所特有的稳定性,另外也介绍多边形的基本概念和基本性质。

研究几何图形的性质常常借助于图形之间的全等关系,本册第12章“全等三角形”就介绍几何图形的全等概念、判定全等三角形的基本事实和方法,并由此研究角的平分线。本章为后续研究各种平面几何图形提供了有力工具。

几何变换是几何研究的重要内容,也是研究图形的重要工具,而轴对称变换是一种基本的几何变换。本册第13章介绍了轴对称的基础知识,并以轴对称为工具研究等腰三角形(包括更特殊的等边三角形)以及某些特殊类型的最短路径问题。

引进字母表示数,导致算术跃进到了代数,从对具体数的计算进入式的运算,与算术中的整数和分数相对应,产生了整式和分式,研究它们的运算规律成为必要。数与式的基本运算有加、减、乘、除,在本套教科书的七上中已经研究了整式的加、减,在本册第14章“整式的乘法与因式分解”着重讨论整式的乘法,并简略地涉及整式除法,第15章则讨论分式的运算。

第14章“整式的乘法与因式分解”首先介绍整式乘法的基础知识,包括幂的运算性质,即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方,单项式、多项式的乘法运算法则,乘法公式。本章还介绍和整式乘法方向相反的运算,即因式分解,本章介绍因式分解最基本的两种方法:提公因式法和公式法。由于整式除法的复杂和困难,课程标准没有对此内容提出要求,本套教科书则只涉及运算所必须的同底数幂的除法,另举例说明了某些简单情形的单项式除以单项式、多项式除以单项式的整式除法问题,对一般的整式除法问题不作系统的讨论

第15章“分式”介绍分式的概念和基本性质、分式的约分和通分、分式的四则运算,并把幂的概念推广到整数指数幂并讨论了其运算,本章最后介绍解分式方程。

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单元解读:第十一单元 三角形

(一)、本章学习目标分析:

1.理解三角形及与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)的概念,证明三角形两边的和大于第三边,了解三角形的重心的概念,了解三角形的稳定性.

2.理解三角形的内角、外角的概念,探索并证明三角形内角和定理,探索并掌握直角三角形的两个锐角互余,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形,掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

3.了解多边形的有关概念(边、内角、外角、对角线、正多边形),探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.

(二)、本单元的分析课时目标:

三角形是一种基本的几何图形.本章在线段与角、相交线与平行线的基础上介绍三角形的概念与性质,进而研究多边形的概念与性质.在本章,学生进一步学习通过推理得出数学结论的方法,提高推理能力.本章的有关内容有广泛的实际应用,也是学习各种特殊三角形(如等腰三角形、直角三角形)与平行四边形等图形知识的基础.本章教学时间约需8课时,具体分配如下(仅供参考): 11.1 与三角形有关的线段 2课时 11.2 与三角形有关的角 3课时 11.3 多边形及其内角和 2课时 数学活动

小结 1课

(三)、内容解读

本章首先介绍三角形的有关概念和性质,分为两节.

11.1节研究与三角形有关的线段.首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念,进而研究三角形的分类.对于三角形的边,证明了三角形两边的和大于第三边.接下来,给出了三角形的高、中线与角平分线的概念.结合三角形的中线介绍了三角形的重心的概念.最后结合实际例子介绍三角形的稳定性.

11.2节研究与三角形有关的角.对于三角形的内角,证明了三角形内角和定理.然后由这个定理推出直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互余.最后给出三角形的外角的概念,并由三角形内角和定理推出:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

以三角形的有关概念和性质为基础,本章11.3节接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式.三角形是多边形的一种,因而可以借助三角形介绍多边形的有关概念,如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来.三角形是最简单的多边形,因而常常将多边形分为几个三角形,利用三角形的性质研究多边形.多边形的内角和公式就是利用上述方法得到的.将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排,可以加强它们之间的联系,便于学生学习.

(四)教学提醒:

与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到理解的程度就可以了,进一步的要求可通过后续学习达到.如对于三角形的角平分线,在本章中只要知道它的定义,能够从定义得出角相等就可以了.学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点,可直接肯定这个结论,在下一章“全等三角形”中再证明这个结论.同样,三角形的三条中线交于一点的结论也可直接点明.

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在本章中,三角形的稳定性是通过实验得出的,待以后学过“三边分别相等的两个三角形全等”,可进一步明白其中的道理.证明三角形的内角和等于180°有一定的难度,只要学生了解得出结论的过程,不要在辅助线上花太多的精力,以免影响对内容本身的理解与掌握,对推理的要求应循序渐进.

单元解读:第十二单元 全等三角形

(一)、本章学习目标分析:

1、理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角,掌握并能运用全等三角形的性质。

2、经历探索三角形全等条件的过程,掌握判定三角形全等的基本事实(“边边边”“边角边”和“角边角”)和定理(“角角边”),能判定两个三角形全等。

3、能利用三角形全等证明一些结论。

4、探索并证明角平分线的性质定理,能运用角的平分线的性质。

(二)、本单元的分析课时目标:

八年级上册第12章是“全等三角形”。这一章以三角形为例,研究了两个图形间一种特殊的关系——全等,研究的内容主要包括全等三角形的性质和判定。进一步培养学生的推理论证能力也是本章的一个重要目标。本章让学生通过判定两个三角形全等来证明线段相等或角相等,并由此推出了角的平分线的性质。全章共安排了三个小节和一个选学内容,教学时间约需11课时,具体分配如下: 12.1 全等三角形 1课时 12.2 三角形全等的判定 6课时 信息技术应用 探究三角形全等的条件

12.3 角的平分线的性质 2课时 数学活动

小结 2课时

(三)、内容解读

本章以三角形为例研究全等。对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路,而且全等是一种特殊的相似,全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础。本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力,主要包括用分析法分析条件与结论的关系,用综合法书写证明格式,以及掌握证明几何命题的一般过程。由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等,所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础。

全等形在几何中处处可见,为了避免学生将全等的概念局限于全等三角形,本章从现实世界中各种各样的全等图形谈起。接着,教科书从“重合”的角度定义了全等形和全等三角形的概念,这种定义方式有利于学生借助生活经验直观地认识所定义的对象,也便于引出全等形的对应部分。

性质与判定是研究全等三角形的两个重要方面。教科书由全等三角形的定义直接导出全等三角形的性质。在研究全等三角形的判定方法时,由图形的性质与判定在命题陈述上的互逆关系出发,引出由三条边分别相等、三个角分别相等判定两个三角形全等的方法。接下来,教科书构建了一个完整的探索三角形全等条件的活动——首先提出探究的问题:由全等三角形的定义可知,满足三条边分别相等、三个角分别相等的两个三角形全等,那么能否减少条件,简捷地判定两个三角形全等呢?然后从“一个条件”开始,逐渐增加条件的数量,分别探究“一 - 4 -

个条件”“两个条件”“三个条件”??能否保证两个三角形全等。对于“三个条件”的情形,分为三条边、两条边和一个角、两个角和一条边以及三个角分别相等的情况依次进行了探究。同时,根据对各判定方法学习要求的差别设置了不同的学习方式,有的让学生通过作图实验,猜想结论,再以基本事实的形式给出判定方法,有的让学生通过举反例说明判定方法不成立,有的则由已获得的判定方法证明新的判定方法。最后,探究了判定直角三角形全等的特殊方法。

由于角的平分线的性质可以用全等三角形的知识证明,本章的最后一节安排了角的平分线的性质的内容。首先,由平分角的仪器的工作原理引出了作一个角的平分线的尺规作图,然后探究并证明了角的平分线的性质,同时总结了证明一个几何命题的一般步骤,最后给出了角的平分线的性质定理的逆定理。

本章重点研究了三角形全等的判定方法,并在其中渗透了研究几何图形的基本问题和方法。在推理论证方面,本章既有直接利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等的问题,又有通过证明两个三角形全等推出线段相等或角相等的问题,在问题的设计中还融入了平行线的性质与判定、三角形中边或角的等量关系、距离的概念、折纸情境等内容,推理论证的难度比《三角形》一章提高了。为了降低学生利用全等三角形的知识进行推理论证的难度,本章设置了多道例题做出示范,包括怎样分析条件与结论的关系,怎样书写证明格式,还总结了证明几何命题的一般步骤。

(四)教学提醒:

学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等几何图形,对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一定的认识,本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法,用几何思想贯穿全章的教学。例如,在教授本章之前,可以先让学生根据研究几何图形的经验,思考全等三角形的主要研究内容是什么。学生明确了性质和判定也是研究全等三角形的两个重要方面,不仅可以对将学习的内容做到心中有数,而且可以帮助他们从数学内部认识研究全等的目的。又如,在教学全等三角形的性质之前,可以提示学生:三角形的性质描述的是三角形的边和角所具有的共同特征,那么全等三角形的性质研究的是什么内容。而在学生学习三角形全等的判定方法之前,可以先让他们回忆图形的判定讨论的是确定某种图形需要的条件,从而明确研究全等三角形的判定就是要确定能保证两个三角形全等的条件;再让他们利用性质和判定在命题陈述上的互逆关系,得到用三条边分别相等、三个角分别相等判定两个三角形全等的方法。再如,活动2中学生独立研究筝形的性质时,要先让他们回顾研究几何图形的基本思路和方法。

单元解读:第十三单元 轴对称

(一)、本章学习目标分析:

1、通过具体实例认识轴对称、轴对称图形,探索轴对称的基本性质,理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.

2、探索简单图形之间的轴对称关系,能够按照要求画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形;认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.

3、理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

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4、了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理.

5、能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题,在观察、操作、想象、论证、交流的过程中,发展空间观念,激发学习兴趣.

(二)、本单元的分析课时目标:

八年级上册第13章是“轴对称”,主要包括轴对称和等腰三角形的有关内容。本章共安排了四个小节和两个选学内容,教学时间约需14课时,具体分配如下: 13.1 轴对称 3课时

13.2 画轴对称图形 2课时

13.3 等腰三角形 5课时

13.4 课题学习 最短路径问题 2课时

数学活动

小结 2课时

(三)、内容解读

本章的主要内容是从生活中的图形入手,学习轴对称及其基本性质,了解轴对称在现实生活中的广泛应用,并利用轴对称变换,探索等腰三角形的性质,学习等腰三角形的判定方法,并进一步学习等边三角形的性质.

轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象,是密切数学与现实联系的重要内容.在本章第1小节“轴对称”中,教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历,从观察现实生活中的对称现象开始,引出轴对称图形和图形的轴对称的概念,概括出轴对称的特征.结合探索对称点的关系,归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质,并结合这一性质的得出,讨论了垂直平分线的性质定理及其逆定理.

接下来,在第2节“画轴对称图形”中,首先通过操作对轴对称的性质进行了归纳,然后通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴的对称图形的一般方法,最后用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称.教科书从观察和实验入手,归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律,并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中画出一个图形关于x轴或y轴对称的图形.

等腰三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的所有性质外,还有许多特殊的性质.等腰三角形的许多特殊性质,又都和它是轴对称图形有关,这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因.在本章第3小节“等腰三角形”中,利用等腰三角形的轴对称性,得出了“等边对等角”“三线合一”等性质,并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法等内容.

本章第4节是“课题学习 最短路径问题”.教科书在这一节中安排了两个问题,分别是“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”,解决这两个问题的关键是通过轴对称和平移等变化把问题转化为关于“两点之间,线段最短”的问题,在解决这两个问题的过程中渗透了化归的思想.

轴对称的性质是本章的重点,轴对称的应用、用坐标表示轴对称等都是围绕这一性质进行的,要注意让学生掌握.另外,等腰三角形的性质和判定也是本章的重点,它们是证明线段和角相等的重要根据,应用也比较广泛,也要注意让学生掌握.

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按照整套教科书对于推理证明的安排,上一章“全等三角形”已经要求让学生会用符号表示推理(证明).在这一章,对于一些图形的性质(如线段垂直平分线的性质、等腰(边)三角形的性质与判定等),仍要求学生加以证明.学生刚开始接触用符号表示推理,虽然教科书控制了证明难度,但是相对于上一章,推理的依据多了,图形、题目的复杂程度也增加了,因此会使部分学生感到无处下手,这是本章教学的一个难点.要克服这个难点,关键是要加强对问题分析

(四)教学提醒:

人们生活在三维空间,丰富多彩的图形世界给“图形与几何”内容的学习提供了大量真实的素材.在本章的教学中,可以结合当地实际选择一些轴对称图形的例子,这些素材不仅应包括人们所习惯的标准几何图形,更应包括丰富多彩的现实世界中的二、三维图形,使学生欣赏现实世界中与轴对称有关的图案,并能够从中发现轴对称的特征.

单元解读:第十四单元 整式的乘法与因式分解

(一)、本章学习目标分析:

1. 掌握正整数幂的乘、除运算性质,能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算。掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘

2.会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式),了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算。

3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算,并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。

4.理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算,掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。

(二)、本单元的分析课时目标:

人教版《义务教育教科书?数学》八年级上册第14章是“整式的乘法与因式分解”。本章主要包括整式的乘法、乘法公式以及因式分解等知识。整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识,这些知识是以后进一步学习分式和根式运算、函数等知识的基础,在后续的数学学习中具有重要意义。同时,这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识. 本章共安排了3个小节,教学时间约需14课时(供参考):

14.1 整式的乘法 6课时 14.2 乘法公式 3课时 14.3 因式分解 3课时 数学活动

小结 2课时

(三)、内容解读

本章共包括4节:

14.1 整式的乘法

整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。本节分为四个小节,主要内容是整式的乘法,这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。其中,幂的运算性质,即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础,教科书把它们依次安排在前三个小节中,教学中应适当复习幂、指数、底数等概念,特别要弄清正整数指数幂的意义。

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在学生掌握了幂的运算性质后,作为它们的一个直接应用,教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。首先是单项式与单项式相乘,由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘,因此,对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上,教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘,这样使整式乘法运算的教学从简到繁,由易到难,层层递进。

整式的除法也是整式四则运算的重要组成部分,是今后学习(因式分解、整数指数幂、分式运算)必须的内容。考虑到课标没有单列条目,因此不单独成节。在讲完整式乘法后,从逆运算角度介绍同底数幂的除法、单项式除以单项式,多项式除以单项式等必须内容。对于同底数幂除法,这里只先讨论所得商仍是整式的情形,对于所得商是分式的情形将在后续内容引入负整数指数幂的概念以后再讨论。单项式除以单项式是进行多项式除以单项式等一般的整式除法的前提,教科书根据乘、除互为逆运算的关系,并以分配律、同底数幂的除法为依据,由计算具体的实例得到单项式除以单项式的除法法则。同样地,对于单项式除以单项式的除法,讨论的问题也都在被除式中字母的指数大于或等于除式中字母的指数的限制条件范围内。对于多项式除以单项式,教科书是从计算来导出运算法则的,根据是乘除法互为逆运算以及分配律。可以看出,法则的基本点是把多项式除以单项式转化为单项式的除法,而单项式除法是已经学习并掌握了的。在本章中,不讨论多项式除以多项式等一般性的问题。

14.2 乘法公式

本节分为两个小节,分别介绍平方差公式与完全平方公式。

乘法公式是整式乘法的特殊情形,是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的,运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题,教科书在本节开始首先指出了这一点。接着,在第一小节安排了平方差公式的教学,教科书首先安排了下一个“探究”栏目,安排了3个题目,让学生通过计算,总结三个题目结果的共同点,发现其中的规律。接着,教科书推证了平方差公式,并进一步借助于几何图形对公式作了直观解释,让学生能更好地理解此公式。最后,举例说明运用平方差公式进行有关的计算。第二小节教科书设计了与第一小节类似的教学过程,引进了乘法的完全平方公式。

为了满足整式运算的需要,在本小节引进了添括号法则,这也是很重要的整式运算知识。

14.3 因式分解

因式分解是解析式的一种恒等变形,因式分解不但在解方程等问题中极其重要,在数学科学其他问题和一般科学研究中也具有广泛应用,是重要的数学基础知识。因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、待定系数法等。本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法,它包括因式分解的有关概念,整式乘法与因式分解的区别与联系,因式分解的两种基本方法,即提公因式法和公式法。两种方法分别安排在第1和第2小节。

(四)教学提醒:

本章整式乘法运算性质、除法运算性质、乘法公式的得出过程,教科书是从某些具体的数与式计算,归纳得到一般的式的运算法则,是一个由特殊到一般,从具体到抽象的归纳过程。在性质和公式的教学中,要重视上述归纳过程的教学,使学生在这个过程中理解和掌握性质和公式,并能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,运用它们熟练地进行运算。应使学生在理解的基础上加以记忆,在 - 8 -

运用、练习的过程中进一步加以巩固,并加深理解。

例如,对于“平方差公式”和“完全平方公式”的教学过程,首先要体现一般到特殊的思想(某些特殊形式的多项式相乘,可以写成公式的形式,当遇到相同形式的多项式相乘时,就可以直接运用公式写出结果,以简化运算)。另外,要呈现公式学习的一般过程(与概念教学类似,经历引入、本质特征概括、给出公式、辨析公式、应用公式等过程。从“举三反一”到“举一反三”)。

单元解读:第十五单元 分式

(一)、本章学习目标分析:

1、以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,了解分式的概念,认识分式是一类应用广泛的重要代数式.

2、类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,能利用分式的基本性质进行约分和通分,了解最简分式的概念.

3、类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算法则,能进行简单的分式加、减、乘、除运算.

4、结合分式的运算,将指数的范围从正整数扩大到全体整数,了解整数指数幂的运算性质;能用科学记数法表示小于1的正数.

5、掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,体会解分式方程过程中的化归思想.

6、结合利用分式方程解决实际问题的实例,进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型.

(二)、本单元的分析课时目标:

八年级下册第15章是“分式”,本章主要研究分式和最简分式的概念,分式的基本性质,分式的约分与通分,分式的加、减、乘、除运算,整数指数幂的概念及运算性质,分式方程的概念以及可化为一元一次方程的分式方程的解法.在本章,进一步培养学生的运算能力,以及建立分式方程模型解决实际问题的能力.本章共安排了三个小节以及两个选学内容,教学时间约需15课时,具体分配如下:

15.1 分式 3课时 15.2 分式的运算 6课时 15.3 分式方程 3课时 数学活动 1课时 小结 2课时

(三)、内容解读

“15.1 分式”首先列式表示某些实际问题中的量,通过概括这些式子的共同特点,类比分数给出分式的概念.分式是不同于整式的另一类有理式,它更适合作为某些类型实际问题的数学模型,具有整式不可替代的特殊作用.本节类比分数讨论要使分式有意义分式中分母应满足的条件;类比分数的基本性质给出分式的基本性质,在此基础上,类比分数讨论分式的约分、通分等分式变形,本节内容是全章的理论基础.

引入一类新的代数式就要研究它的运算.“15.2分式的运算”讨论分式的四则运算法则.“15.2.1分式的乘除”首先通过两个实际问题说明讨论分式乘除运算的必要性;然后,类比分数的乘除法,给出分式的乘除法法则;通过例1巩固分式的乘除法法则,通过例2积累更多分式乘除运算的经验,通过例3应用 - 9 -

分式的乘除法法则来解决实际问题.“15.2.2分式的加减” 首先通过两个实际问题说明讨论分式加减运算的必要性;然后,类比分数的加减法,给出分式的加减法法则;通过例6巩固分式的加减法法则,通过例7,8积累分式四则运算的经验.分式的运算是本章的一个重点内容,分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点,克服这一难点的关键是通过一定数量的例题示范和必要的练习掌握分式的四则运算法则及运算顺序. “15.2.3整数指数幂”研究整数指数幂及其运算性质,首先将非负整数指数幂的概念推广到整数指数幂,侧重展示负整数指数幂定义的合理性;然后,从特殊到一般归纳出整数指数幂的运算性质;最后,将整数指数幂的5条运算性质归结为3条.这样,指数幂的概念就从正整数扩大到全体整数,正整数指数幂的运算性质在整数范围内仍然成立,这给运算带来了便利.本节的最后讨论用科学记数法表示小于1的正数,由此可以得到科学记数法的完整结论:任何一个正数都可以表示成,这样就构建了完整的科学记数法的知识体系.

“15.3分式方程”主要讨论分式方程的概念及其解法,本章主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程.分式方程是一类有理方程,它更适合作为某些类型实际问题的数学模型,具有整式方程不可替代的特殊作用.

本节从章引言中的实际问题出发,分析分式方程的特点,给出分式方程的概念;接着从分式方程的特点入手,引出解分式方程的基本思路,即通过去分母将分式方程化为整式方程,再解出未知数.教科书注意体现解分式方程的基本思路是自然、合理地产生的,是在原来已经认识的解方程的基本思路——使方程逐步化为的形式的想法基础上发展而得到的.这样处理既突出了分式方程解法上的特点及其算理,又反映了分式方程与整式方程在解法上的内在联系.

在强调解分式方程必须检验时,考虑到学生的知识基础和接受能力,教科书没有对解分式方程中增根的理论问题进行深入的讨论,而是通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象,并结合具体例子分析了产生增根的原因,然后归纳出检验增根的方法,这样处理是想以典型例子简要地说明检验增根的方法和依据.教科书力求做到既说明做法的合理性,有适可而止,不超越学生的实际水平.

在本章小结中,教科书通过知识结构图和思考题,再次强调了解分式方程的基本思路以及检验的问题,这又一次反映出编者不仅关注学生会解分式方程,而且还重视使学生认识解法的依据,即使学生能知其然也知其所以然.

(四)教学提醒:

1、讲解分式方程这一点知识时,要注意体现‘转化’的思想即把分式方程转化为因式方程,再者

2、分式方程求解与一元一次方程求解不同之一是先把字母去掉化分分式方程为因式方程不同之二验根结果必须写出来

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