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人教版中职数学11.4.1用样本估计总体

发布时间:2013-10-25 11:50:47  

概 率

统计 概率
统计

11.4 用样本估计总 体

例:为了知道一颗钻石的质量,用天平进行了 多次测量,从中随机抽取5个结果为(单位:mg):

201, 203, 201, 205, 204,
如何用这5个测量结果较为准确地估计出这颗 钻石的质量?

1.用样本平均数估计总体平均数. 例1 假设我要去一家公司应聘,了解到这家公司50名员工的 月工资资料如下(单位:元): 800 801 ? 800 ? ? 800 1000 1200 1200 1500 2000 800 1000 1200 1200 1500 2000 800 1000 1200 1200 1500 2500 800 1000 1200 1200 1500 2500 1000 1000 1200 1200 1500 2500 1000 1000 1200 1200 1500 1000 1200 1200 1200 2000 1000 1200 1200 1200 2000 1000 1200 1200 1500 2000

问题1:计算这50名员工的月平均工资数,并估计这个企业员 工的平均工资. 问题2:再随机抽取50名员工的工资,计算所得的样本平均数

与例1中的一定相同吗?

问题2:再随机抽取50名员工的工资,计算所得的样本平 问题1:计算这50名员工的月平均工资数,并估计这个企 业员工的平均工资. 均数与例1中的一定相同吗?
分析:不一定.用样本平均数估计总体平均数时,

800 ? 800 ? ? ? 2500 解: ? x ? 1320 样本平均数只是总体平均数的近似值. (元) 50

小结:平均数描述了数据的平均水平,定量的反映了 由此可以估计这家大型企业员工的月平均工资为1320元. 数据的集中趋势所处的水平,样本平均数是估计总体的一 个重要指标.

例2 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛,对他们的射 击水平进行了测试,两个人在相同条件下各射击10次,命中的 环数如下: 甲:7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

(1)计算甲、乙两人射击命中环数的平均数. (2)比较两人的成绩,然后决定选择哪一人参赛.

问题2:比较两人的成绩,然后决定选择哪一人参赛. 问题1:计算甲、乙两人射击命中环数的平均数. 分析:两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个人的 解:计算得 甲 乙 水平有什么差异吗?

x ? 7, ? 7. x

2.用样本标准差估计总体标准差. 设样本的元素为x1,x2,…,xn,样本的平均数为

x

定义:

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 s2 ? n

( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ? ? ( xn ? x) s? n
2 2

2

其中s2表示样本方差,s 表示样本标准差.

例3 计算数据5,7,7,8,10,11的标准差.
解:

5 ? 7 ? 7 ? 8 ? 10 ? 11 x? ?8 6 x (xi- x )2 x i- x xi 5 8 9 -3
7 7 8 10 11
2

8 8 8 8 8

-1 -1 0 2 3

1 1 0 4 9

9 ?1?1? 0 ? 4 ? 9 s ? ?4 6

s? 4 ?2


计算标准差的步骤:



S1 算出样本数据的平均数. S2 算出每个样本数据与样本平均数的差. S3 算出S2中每个数据的平方. S4 算出S3中各平方数

的平均数,即样本方差. S5 计算S4中平均数的算术平方根,即为样本标准差.

例2 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛,对他们 的射击水平进行了测试,两个人在相同条件下各射击10次, 命中的环数如下: 甲:7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 (2)比较两人的成绩,然后决定选择哪一人参赛.
计算例2中两人射击环数的标准差,观察标准差的大小 与总体稳定程度的关系. 计算得: s甲=1.73, s乙=1.10.

由此看出,甲射击环数的标准差大,离散程度大,成 绩不稳定;乙射击环数的标准差小,离散程度较小,成绩比

甲稳定一些,可以选择乙参赛.

例4 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机抽取10只进行寿命测 试,得数据如下(单位:h): 1458 1395 1562 1614 1351 1490 1478 1382 1536 1496 使用函数型计算器求样本平均数和样本标准差.
解:
x ? 1476 2 . s ? 78.7309342

注意:我们可以用算出的样本标准差s=78.7309342 来估计 这批灯泡寿命的变化幅度的大小.但是,如果再抽取10只, 算得的标准差一般会不同,即样本标准差具有随机性.

例5 求10.3.2节从一批产品中抽取的100个钢管内径尺寸的样

本标准差,并估计这批产品的标准差.

解:按照下面的算法求样本数据的标准差.
(1)样本数据的平均值:

x1 ? x2 ? ? ? xn x? ? 25.401 n

(2)100个产品尺寸与平均值差的平方和:

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( x100 ? x) 2 ? 0.310

0.310 (3)样本标准差: s ? ? 0.056 100
用样本标准差可以估计这批产品的总体标准差0.056. 也就是每件产品对于平均数的平均波动幅度是0.056左右.

3.平均数与样本标准差和频率分布直方图的关系. 平均数是频率分布直方图的“重心”,是直方图的平衡 标准差描述了一组数据围绕平均数值的波动幅度. 点. 例如: 频率 例如: 频率/组距 平均数 组距 有70%的刚管内径尺寸落在 平均值两侧一倍的标准差的
8.33 6 6.00 5.33 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.33 0.00

9.00 8.00 7.00

0.67

[25.235,25.265) [25.265,25.295) [25.295,25.325) [25.325,25.355) [25.355,25.385) [25.385,25.415) [25.415,25.445) [25.445,25.475) [25.475,25.505) [25.505,25.535) [25.535,25.565)

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
1.67

平均数
4.33

区域内.
有95%的刚管内径尺寸落在 平均值两侧二倍的标准差的

4

1.33 0.67 0.67

区域内.
3.5 4

月均用水量/t

2s 0.5

s

x

2s 1 1.5 2 2.5 3

s

4.5

方差、标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.它
用来描述样本数据的离散程度.在实际应用中,标准差常被 理解为稳定性.

标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大; 反之,数据的离散程度越小.

●样本平均数的计算;
●用样本平均数估计总体平均数的方

法; ●样本方差和样本标准差的计算; ●用样本标准差估计总体标准差的方法; ●样本频率直方图、样本平均数、样本标准差三种方法 估计总体的差异.

教材 P 172 第4,5题.

测 试
? 一、选择题。 ? 1、一枚伍分硬币连抛3次,只有一次出现正面的概率为( )

?

A、

B、

C、

D、

? 2、在100个产品中有4件次品,从中抽取2个,则2个都是次品的概率 是( )

?

A、

B、

C、

D、

? 3、从1、2、3、4、5、6这六个数中任取两个数,它们都是偶数的概 率是( ) ? A、 B、 C、 D、

? 4、一人在某条件下射击命中目标的概率是,他连续射击两次,那么其中恰有 一次击中目标的概率是( ) ? ? ? ? A、 1/3 B、 1/4 C、1/2 D、1/8 ) 5、把以下20个数分成5组,则组距应确定为(

35 60 52 67 50 75 80 62 75 70 45 40 55 82 63 38 72 64 53 48 A、9 B、10 C、9.4 D、11

? 6、为了对生产流水线上产品质量把关,质检人员每隔5分钟抽一件产品进行 检验,这种抽样方法是( )
? 是 ? 7、对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取到的 概率为0.25, ? ? 则N=( A、150 ) B、100 C、120 D、200 A、简单随机抽样 B、系统抽样 C、分层抽样 D、以上都不

?

8、某中学有学生500人,一年级200人,二年级160人,三年 级140人,用分层抽样法从中抽取50人,则各年级分别抽取的人数为 ( )

?
20,15,15 ?

A、20,16,14

B、18,16,16

C、20,14,16

D、


9、样本:22,23,25,24,26,23,22,24,28,30的均值是(

?
? ?

A、24
A、2

B24.4
B、

C、24.5
C、3

D、24.7
) D、8

10、样本:6,7,8,8,9,10的标准差是(

?

11、把以下20个数分成5组,则组距应确定为( 35 60 52 67 50 75 80 62 75 70 45 40 55 82 63 38 72 64 53 48 A、9 B、10 C、9.4 D、11



?

?

?

?

12、为了对生产流水线上产品质量把关,质检人员每隔5分钟抽一件产品进行检验, 这种抽样方法是( ) A、简单随机抽样 B、系统抽样 C、分层抽样 D、以上都不是 13、对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取到的概 率为0.25, 则N=( A、150 ) B、100 C、120 D、200

?

?

?

?

?

14、某中学有学生500人,一年级200人,二年级160人,三年级140人,用分层抽 样法从中抽取50人,则各年级分别抽取的人数为( ) A、20,16,14 A、24 A、2 B、18,16,16 B24.4 B、 C、20,14,16 D、20,15,15 ) 15、样本:22,23,25,24,26,23,22,24,28,30的均值是( C、24.5 C、3 ) D、 D、24.7 ) 16、样本:6,7,8,8,9,10的标准差是( 17、有一样本的标准差为0,则(

?

?

?

?

?

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