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九年级数学中考点复习课

发布时间:2013-10-26 09:46:23  

聊城市阳谷县 侨润中学 数学教研中心
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考点一 锐角三角函数定义 a 在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,则 sinA= ,cosA c ∠A的对边 ∠A的邻边 ∠A的对边 b a b = , tanA= , cotA= , 或者根据 sinA= , cosA= , tanA= , c b a 斜边 斜边 ∠A的邻边 ∠A的邻边 cotA= . ∠A的对边

考点二特殊角的三角函数值

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考点三

用计算器求一个锐角的三角函数值或由 三角函数值求锐角

1.求已知锐角的三角函数值 方法:将角度单位状态设定为“度”(屏幕显示 D ),按所求函数的书写顺序去按键. 2.由锐角三角函数值求锐角 在屏幕显示 D 状态下,按“SHIFT”键再按相应函数及数值.

考点四 解直角三角形 1.解直角三角形的定义 由直角三角形中除直角外的已知元素, 求出所有未知元素的过程, 叫做解直角三角形. (直 .. 角三角形中,除直角外,一共有 5 个元素即 3 条边和 2 个锐角) 2.直角三角形的边角关系 在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c. 2 2 2 (1)三边之间的关系:a +b =c ; (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90° ; (3)边角之间的关系: a b a b b a b a sinA= ,cosA= ,tanA= ,cotA= ,sinB= ,cosB= ,tanB= ,cotB= . c c b a c c a b
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(1)(2010· 哈尔滨)在 Rt△ABC 中, ∠C=90° ∠B=35° AB=7, BC 的长为( , , 则 7 A.7sin35° B. C.7cos35° D.7tan35° cos35° 4 (2)(2010· 黄冈)在△ABC 中,∠C=90° ,sinA= ,则 tanB=________.( ) 5 4 3 3 4 A. B. C. D. 3 4 5 5

)

(3)(2010· 江西)计算:sin30°cos30° · -tan30° =________(结果保留根号).
【点拨】本组题主要考查锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值. BC 【解答】(1)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,cosB= , AB ∴BC=AB· cosB=7 cos35° ,故选 C. 4 BC 4 (2)∵sinA= ,∴ = ,于是设 BC=4a,AB=5a.在 Rt△ABC 中,由勾股定理,可得 5 AB 5 AC=3a. AC 3a 3 ∴tanB= = = .故选 B. BC 4a 4 1 3 3 3 (3)原式= × - =- . 2 2 3 12
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(1)(2009· 福州)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,△ABC 的三个顶点均 在格点上,请按要求完成下列各题: ①用签字笔画 AD∥BC(D 为格点),连结 CD; ... ②线段 CD 的长为________; ③请你在△ACD 的三个内角中任选一个锐角,若你所选的锐角是________,则它所对应 .. 的正弦函数值是________. ④若 E 为 BC 中点,则 tan∠CAE 的值是________.

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(2)(2009· 株州)如图, 在△ABC 中, ∠C=90° 点 D、 分别在 AC、 上, 平分∠ABC, , E AB BD 3 DE⊥AB,AE=6,cosA= . 5 求①DE、CD 的长;②tan∠DBC 的值.
【点拨】解直角三角形的关键在于灵活地选择正确的关系式,选择的标准是

关系式中既 包括已知量又包括未知量.

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【解答】(1)①如图 ② 5 ③∠CAD 5 2 5 (或∠ADC, ) 5 5 ④ 1 2

AE 6 3 ,即 = ,∴AD= AD AD 5 10.根据 勾股 定理得 DE= AD 2-AE 2 = 102-62 =8.又∵DE⊥AB,DC⊥BC, BD 平分 ∠ABC,∴DC=DE=8. AC 18 3 ②∵AC=AD+DC=10+8=18,在 Rt△ABC 中,cosA= ,即 = ,∴AB=30. AB AB 5 根据勾股定理得 BC= AB2-AC2= 302-182=24. DC 8 1 ∴在 Rt△BCD 中,tan∠DBC= = = . BC 24 3 (2)解:①∵DE⊥A, ∴∠DEA=90° Rt△AED 中,cosA= .在

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1.在 Rt△ABC 中,各边的长都扩大了 3 倍,那么锐角 A 的正弦值( A.扩大了 3 倍 B.缩小了 3 倍 C.没有变化 D.不能确定

C )

2.计算 tan 60° +2sin 45° -2cos 30° 的结果是( A.2 B. 3 C. 2 D.1

C )

3 3.如图,在△ABC 中,∠C=90° ,AB=8,cosA= ,则 AC 的长是 6. 4

(第 3 题)

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(第 4 题)

4.如图,∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角,则 cos∠AOB 的值是

2 . 2

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5.如图所示,边长为 1 的小正方形构成的网格中,半径为 1 的⊙O 的圆心 O 在格点上, 1 则∠AED 的正切值等于 . 2

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一、选择题(每小题 4 分,共 48 分)
1.(2009 中考变式题)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB 是直角,BC=1,AB=2,则下列 结论正确的是( ) 3 1 A.sinA= B.tanA= 2 2 3 C.cosB= D.tanB= 3 2

【解析】在 Rt△ABC 中,∵AB=2,BC=1,∴AC= 3, AC 3 ∴tanB= = = 3. BC 1

【答案】D
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2.(2010· 山西)在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,若将各边长度都扩大为原来的 2 倍,则∠A 的正弦值( ) A.扩大 2 倍 B.缩小 2 倍 C.扩大 4 倍 D.不变

【解析】在直角三角形中,∠A 的正弦是∠A 的对边与斜边的比值,当∠A 固定时,其 正弦值也是一个固定值,所以当直角三角形各边都扩大 2 倍时,其比值不变,故选择 D.

【答案】D

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3.(2011 中考预测题)在 Rt△ABC 中,已知 sinA= A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】∵sinA=

3 ,则锐角 A 的度数是( 2

)

3 3 ,而 sin60° = ,∴∠A=60° . 2 2

【答案】C
4.(2009 中考变式题)如果一个直角三角形的两条边分别是 6 和 8,另一个与它相似的直 角三角形边长分别是 3 和 4 及 x,那么 x 的值( ) A.只有 1 个 B.可以有 2 个 C.有 2 个以上,但有限 D.有无数个

【解析】x 可以是直角边,也可以是斜边,∴x 可以有 2 个. 【答案】B

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5.(2009 中考预测题)正方形网格中,∠AOB 如图放置,则 cos∠AOB 的值为( 5 2 5 A. B. 5 5 1 C. D.2 2

)

【解析】观察图形,cos∠AOB=

1 5 = . 5 5

【答案】A

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6.(2011 中考预测题)在△ABC 中,若|sinA- 角,则∠C 的度数是( ) A.70° B.90° C.105° D.120°

2 3 |+( -cosB) 2=0,∠A、∠B 都是锐 2 2

?sinA= 22=0

, ? 【解析】由题意得? 3 ? 2 -cosB=0, ?
∴∠C=105° .

?sinA= 22, ? 解得? 3 cosB= . ? ? 2

∴∠A=45° ,∠B=30° ,

【答案】C

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7. (2009 中考变式题)在 Rt△ABC 中, ∠C=90° ∠A=40° AB=3, AC 的长为( , , 则 3 3 A.3cos40° B.sin40° C. D. cos40° sin40°
【解析】在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,cosA= AC ,∴AC=AB· cosA=3cos40° . AB

)

【答案】A
8.(2011 中考预测题)若菱形的边长为 1 cm,其中一个内角为 60° ,则它的面积为( 3 A.2 cm2 B. 3 cm2 C. cm2 D.2 3 cm2 2
【解析】易求得菱形的高为 3 3 3 ,∴S 菱形=1× = cm2. 2 2 2

)

【答案】C

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9.(2009 中考变式题)如图,在△ABC 中,∠A=30° ,tanB= 长是( ) A.3+ 3 C.5 B.2+2 3 9 D. 2

3 ,AC=2 3,则 AB 的 2

【解析】过点 C 作 CD⊥AB 于 D,∵AC=2 3,∠A=30° ,∴CD= 3,AD=3.∵tanB 3 CD 3 3 3 = ,∴ = ,∴ = ,∴BD=2,∴AB=BD+AD=5. 2 BD 2 BD 2

【答案】C
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10.(2011 中考预测题)如图,在矩形 ABCD 中,DE⊥AC 于 E,设∠ADE=α,且 cos α 3 = ,AB=4,则 AD 的长为( 5 16 20 16 A.3 B. C. D. 3 3 5 )

3 4 【解析】∵cosα= ,∴sinα= .由题意求得∠ADE=∠DCE.在 Rt△DCE 中,sin∠DCE 5 5 16 5 DE DE 4 16 DE 3 16 = = = ,∴DE= ,在 Rt△ADE 中,cosα= ,即 = ,∴AD= . DC 4 5 5 AD AD 5 3

【答案】B

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11.(2011 中考预测题 )如图, ⊙O 是△ABC 的外接圆, 是⊙O 的直径, AD 连结 CD.若⊙O 3 的半径 r= ,AC=2,则 cosB 的值是( ) 2 3 5 A. B. 2 3 5 2 C. D. 2 3

32-22 DC 5 【解析】 ∵AD 是直径, ∴∠ACD=90° AD=3.又 AC=2, , ∴cosD= = = . AD 3 3 5 在⊙O 中,cosB=cosD= . 3

【答案】B
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12.(2011 中考预测题)如图,∠AOB=30° ,OP 平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥DB,如果 PC=6,那么 PD 等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】过点 P 作 PE⊥OA 于点 E.∵OP 平分∠AOB,PD⊥DB,∴PE=PD.在 Rt△PCE 1 中,∠ACP=∠AOB=30° ,PC=6,∴PD=PE= PC=3. 2

【答案】B

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二、填空题(每小题 4 分,共 24 分)
13.(2010· 烟台) 12-2sin60° +(π-1)0=________.
【解析】原式=2 3-2× 3 +1=2 3- 3+1= 3+1. 2

【答案】 3+1

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4 14.(2010· 广东)如图,已知 Rt△ABC 中,斜边 BC 上的高 AD=4,cosB= ,则 AC= 5 ________.

【解析】∵∠B+∠BAD=90° ,∠BAD+∠CAD=90° , AD ∴∠B=∠CAD.在 Rt△DAC 中,cos∠CAD= , AC AD AD 4 ∴AC= = = =5. cos∠CAD cosB 4 5

【答案】5

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3 15.(2010· 荆州)如图,在△ABC 中,∠B=45° ,cosC= ,AC=5a,则△ABC 的面积用 5 含 a 的式子表示是________.

3 【解析】 BC 边上的高线 AD.∵cosC= , 作 ∴CD=3a.由勾股定理得 AD=4a.∵∠B=45° , 5 1 1 ∴AD=DB=4a,∴BC=7a,∴S△ABC=

· AD= ×7a×4a=14a2. BC· 2 2

【答案】14a2

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16.(2010· 襄樊)在△ABC 中,AB=8,∠ABC=30° ,AC=5,则 BC=________. 【解析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.
【答案】4 3-3 或 4 3+3

17.(2011 中考预测题)如图, 在△ABC 中∠C=90° ∠B=30° AD 是∠BAC 的平分线. , , 已 知 AB=4 3,那么 AD=________.

【解析】 Rt△ABC 中,∠B=30° 在 ,AB=4 3,∴AC=2 3.又 AD 平分∠CAB,∠CAB AC 2 3 =60° ,∴∠CAD=30° Rt△ACD 中,cos30° .在 = ,∴AD= =4. AD 3 2 【答案】4
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3 3 ,cos210° =- ,所以 cos210° =cos(180° +30° )=- 2 2 3 2 2 cos30° =- ;因为 cos45° = ,cos225° =- ,所以 cos225° =cos(180° +45° )=-cos45° 2 2 2 2 =- ;猜想:一般地,当 α 为锐角时,有 cos(180° +α)=-cosα.由此可知 cos240° 的值等 2 于________. 18.(2010· 湛江)因为 cos30° =

1 【解析】cos240° =cos(180° +60° )=-cos60° =- . 2 【答案】- 1 2

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三、解答题(共 28 分)
19.(12 分)(2009 中考变式题) (1)sin60° -3tan30° +2cos45° ; 2 (2)cos60° + sin45° +tan30°cos30° · ; 2 (3)sin60°cos60° · +sin45°cos45° · -sin30°cos30° · ; (4)已知 tanA=3.207 8,利用计算器求锐角 A.(精确到 1′)

解:(1)原式= 2- 3 . 2

3 3 2 3 -3× +2× = - 3+ 2= 2 3 2 2

1 2 (2)原式= + × 2 2 3 1 (3)原式= × + 2 2 (4)∠A≈72° 41′

2 + 2 2 × 2

3 × 3 2 - 2

3 1 1 1 3 = + + = . 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 × = + - = . 2 2 4 2 4 2

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20.(8 分)(2011 中考预测题)请你画出一个以 BC 为底边的等腰△ABC,使底边上的高 AD=BC. (1)求 tanB 和 sinB 的值; (2)在你所画的等腰三角形△ABC 中,假设底边 BC=5 米,求腰上的高 BE. ..

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解:如图,正确画出图形.

(1)∵AB=AC,AD⊥BC,AD=BC, 1 1 ∴BD= BC= AD,即 AD=2BD. 2 2 ∴AB= BD2+AD2= 5BD. AD AD 2 5 tanB= =2,sinB= = . BD AB 5 (2)作 BE⊥AC 于点 E. 2 5 在 Rt△BEC 中,sinC=sin∠ABC= , 5 BE 2 5 BE 又∵sinC= ,∴ = ,故 BE=2 5(米). BC 5 5
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21.(8 分)(2010· 聊城)建于明洪武七年(1374 年),高度 33 米的光岳楼是目前我国现存的 最高大、最古老的楼阁之一(如图①).喜爱数学实践活动的小伟,在 30 米高的光岳楼顶楼 P 处,利用自制测角仪测得正南方向一商店 A 点的俯角为 60° ,又测得其正前方的海源阁宾馆 B 点的俯角为 30° (如图②).求商店与海源阁宾馆之间的距离.(结果保留根号)

OA ,∴OA= PO OB PO· tan30° =10 3.在 Rt△OPB 中,∠OPB=90° -30° =60° ,∴tan∠OPB= ,∴OB= PO PO· tan60° =30 3,AB=OB-OA=20 3(米). 即商店与海源阁宾馆之间的距离为 20 3米. 解:在 Rt△POA 中,PO=30,∠OPA=90° -60° =30° ,

∴tan∠OPA=

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