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《全等三角形》单元复习

发布时间:2013-10-26 12:48:03  

12. 全等三角形
单元复习

? 学习目标: 1.复习本章的重点内容,整理本章知识,形成知识 体系. 2.巩固和运用全等三角形的相关知识解决问题,进 一步发展推理能力. ? 学习重点: 复习全等三角形判定、性质及角平分线的性质和判 定,建立本章知识结构;运用全等三角形的知识解 决问题.

第十二章 全等三角形 知识结构
全等形
解决问题 全等三角形

对应边相等 对应角相等

三角形全等的判定
(SSS、SAS、ASA、AAS、HL)

角平分线上点到两边的距离相等 到角两边的距离相等的点在角平分线 上

1.三角形全等的判定法:“SSS”

三边对应相等的两个三角形全等 (可简写为“边边边”或 “SSS”)
A

在△ABC和△DEF中 AB=DE AC=DF BC=EF ∴△ABC≌△DEF(SSS)

B

C

D

E

F

2.三角形全等的判定法:“SAS”

两边和它们的夹角对应相等的两 个三角形全等(可简写为“边角 边”或“SAS”)
A

在△ABC和△DEF中 AB=DE ∠B=∠E BC=EF ∴△ABC≌△DEF(SAS)

B

C

D

E

F

3.三角形全等的判定法:“ASA”

两角和它们的夹边对应相等的两 个三角形全等(可简写为“角边 角”或“ASA”)
A

在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F ∴△ABC≌△DEF(ASA)

B

C

D

E

F

4.三角形全等的判定法:“AAS”

两角和其中一角的对边对应相等 的两个三角形全等(可简写为 “角角边”或“AAS”)
A

在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF ∴△ABC≌△DEF(AAS)

B

C

D

E

F

5.三角形全等的判定法:“HL”

斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等(可简写为 “斜边、直角边”或“HL”)
A

在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)

B

C

D

E

F

6.角的平分线的性质

角平分线上点到两边的距离相等
A D C P

∵OC平分∠AOB, PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE
O

E

B

7.角的平分线的判定

到角两边的距离相等的点在角平 分线上
A
D

∵PD⊥OA,PE⊥OB, PD=PE ∴OC平分∠AOB
O

C P

E

B

例题选析
?例1:如图,D在AB上,E在AC上,且∠B =∠C,那么补充下列一个条件后,仍无法判 定△ABE≌△ACD的是( B )

A.AD=AE
C.BE=CD

B. ∠AEB=∠ADC
D.AB=AC

?例2:已知:如图,CD⊥AB,BE⊥AC, 垂足分别为D、E,BE、CD相交于O点, ∠1=∠2,图中全等的三角形共有( )

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

例3. 已知: AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD. 求证:BC=AD.

D A

C B

?例4:如图,在△ABC 中,AD⊥

BC,CE⊥ AB,垂足分别为D、E,
AD、CE交于点H,请你添加一个适 当的条件: BE=EH △AEH≌△CEB。 ,使

课堂练习
1.已知:BD=CD,∠ABD=∠ACD,DE、 DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F, 求证:DE=DF
证明:∵∠ABD=∠ACD(已知) ∴

∠EBD=∠FCD( 等角的补角相等) 又∵DE⊥AE,DF⊥AF(已知) ∴∠E=∠F=900(垂直的定义 ) 在△DEB和△DFC中 ∵ ì
F (已证) ??E ? ? EBD= FCD (已证) í 行 ? ? BD=CD (已知) ? ? ?

∴△DEB≌△DFC(AAS) ∴DE=DF( 全等三角形的对应边相等)

2.点A、F、E、C在同一直线上,AF=CE, BE = DF,BE∥DF,求证:AB∥CD。
? AF = CE 证明: \ AE = CF
又?

\
又?

BE ∥ DF ?1 2
BE = DF

\ \ \

D AEB ≌ D CFD ?A C A B ∥CD

3、如图:在△ABC中,∠C =900,AD 平分∠ BAC,DE⊥AB交AB于E, BC=30,BD:CD=3:2,则 DE= 12 。 c
D

A

E

B

4.如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=EC,BC= D DE,DE、BC交于点O. 求证:DE⊥BC.
证明:∵AB∥CD B ∴∠DCA=180°-∠A O =180°-90°= 90° A E C 在Rt△ABC和Rt△CED中 BC=DE AB=EC ∴Rt△ABC≌Rt△CED(HL) ∴∠B=∠DEC ∴∠ACB+∠DEC=90° ∴∠COE=90° 又∵∠A=90° ∴∠ACB+∠B=90° ∴DE⊥BC

5.如图,在△ABC中,AB=2AC,AD平分 ∠BAC且AD=BD. 求证:CD⊥AC.
(提示:过点D作DE⊥AB于E 分两步证明: ①△ADE≌△BDE; ②△ADE≌△ADC)
A

E

B

D

C

5.如图,在△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC且AD A =BD. 求证:CD⊥AC.
证明:过点D作DE⊥AB于E ∴∠AED=∠BED=90° 在Rt△ADE和Rt△BDE中 AD=BD DE=DE B ∴Rt△ADE≌Rt△BDE(HL) ∴AE=BE E

即 AB=2AE 又∵AB=2AC ∴AE=AC ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD=∠CAD

D 在△ADE和△ADC中 AE=AC ∠EAD=∠CAD AD=AD

C

∴△ADE≌△ADC(SAS)

∴∠C=∠AED=90° ∴CD⊥AC


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