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等腰三角形判定

发布时间:2013-10-27 09:41:11  

1、等腰三角形是怎样定义的? 2、等腰三角形有哪些性质?
①等腰三角形是轴对称图形。

既是性质又 是判定

A

有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。

②等腰三角形的两个底角相等(简写成 “等边对等角”) 。

B

D

C

③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合(也称为“三线合一”).

O

SOS!SOS!

A

B

问题情境 :
如图,位于海上A、B两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B。如果这两

艘救生船以同样的速度同时出发,能不能同时赶到
出事地点(不考虑风浪因素)?

O

A

B

八年级

上册

13.3 等腰三角形 (第2课时)

? 学习目标: 1.探索等腰三角形判定定理. 2.理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简 单的证明. 3.了解等腰三角形的尺规作图. ? 学习重点: 理解和运用等腰三角形的判定定理.

探索等腰三角形的判定定理
思考1 如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边有什么关系? 这两个角所对的边相等.

探索等腰三角形的判定定理
思考2 这个命题的题设和结论又分别是什么呢? 如何证明这个命题?

题设:一个三角形有两个角相等. 结论:这两个角所对的边相等.

探索等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定方法: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对 的边也相等(简写成“等角对等边”). A 符号语言: ∵ 在△ABC 中,∠B =∠C, ∴ AB =AC. 思考: 与等腰三角形性质进 B 行比较看有什么区别? 等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是条 件和结论刚好相反。

C

等腰三角形的判定定理: 如果一个三角形有两个 角相等,那么这两个角所 对的边也相等(简写成 “等角对等边”).
注意:使用“等边对等角”前提 是---在同一个三角形中

探索等腰三角形的判定定理
已知:如图,在△ABC 中,∠B =∠C. 求证:AB =AC. 证明:过A 点作AE⊥BC,垂足为E. A 在△ABE 和△ACE 中, ∠B =∠C, ∠AEB = ∠AEC = 90°, AE = AE, ∴ △ABE ≌△ACE . ∴ AB = AC . 追问 B C

你还有其他证明方法吗?

E

巩固练习:下列两个图形是否是等腰三角形?

300

400

400

750

挑战自我
如图,已知∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,
图中有多少个等腰三角形?
A D
1 2

△ABC △ABD
C

B

△BCD

例1求证:如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形。 已知: 如图,∠CAE是△ ABC的外角,∠1=∠2,
AD∥BC。

求证:AB=AC 分析: 从求证看:要证AB=AC,需 证∠B=∠C, 从已知看:因为∠1=∠2, AD∥BC 可以找出∠B,∠C与的关系。
B A

E 1 2 D

C

证明: ∵AD∥BC,
∴∠1=∠B

(两直线平行, 同 位角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内 错角相等)。 ∵∠1=∠2,
E
A 1 2 D

∴∠B=∠C, ∴AB=AC(等角对等边)。

B

C

小试牛刀
例2:如图,上午10 时,一条船从A处出发以20海里 每小时的速度向正北航行,中午12时到达B处,从A、 B望灯塔C,测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从B处到 灯塔C的距离 解:∵∠NBC=∠A+∠C
C 80°

N北
B

∴∠C=80°- 40°= 40° ∴ ∠C = ∠A ∴ BA=BC(等角对等边)

40°
A

∵AB=20(12-10)=40
∴BC=40 答:B处到达灯塔C40海里

巩固等腰三角形的判定定理
例3 已知等腰三角形底边长为a ,底边上的高的 长为h ,求作这个等腰三角形. 作法: (1)作线段AB =a; (2)作线段AB 的垂直平分线MN,与 AB 相交于点D; (3)在MN上取一点C,使DC =h; (4)连接AC,BC,则△ABC 就是所 A 求作的等腰三角形.
a
h

M C

D
N

B

小结:
名 称
等 腰 三 角 形

图 形

概 念

性质





1.两腰相等
A 有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形 C

1.两边相等
2.等角对等边

2.等边对等角 3. 三线合一 4.是轴对称图形

B

运用等腰三角形的判定定理时,应注意在同一个三 角形中. 等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是条件 和结论刚好相反。 。

课堂小结

(1)本节课学习了哪些内容? (2)等腰三角形的判定方法有哪几种? (3)结合本节课的学习,谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系.

布置作业

教科书习题13.3第2、5题.

1、如图,∠A=36°,∠DBC=36°, ∠C=72°。分别计算∠1、∠2的度数, 并说明图中有哪些等腰三角形。 ∠1=72°,∠2=36° 等腰三角形有:△ABC,△ABD, △BCD。 2、如图,把一张矩形的纸沿对角线 C 折叠,重合部分是一个等腰三角形吗?
B

D

E

A

3、如图,AC和BD相交于点O,且 AB∥DC,OA=OB。
求证:OC=OD。

C 4、已知:如图,CD是等腰直角三 角形ABC斜边上的高,找出图中有 哪些等腰直角三角形。 等腰直角三角形有: △ABC , A D △ACD ,△BCD。 5、已知:如图,AD ∥BC,BD平分∠ABC。 证明:∵ AD ∥BC 求证:AB=AD
A D ∴∠ADB=∠DBC ∵ BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC

B

B

C

∴∠ABD=∠ADB ∴AB=AD

练习6
求证: 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半, 那么这个三角形是直角三角形.

? 7、如图,?ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,过点 O作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E,求证:BD+EC=DE

提示: ∵ DE//BC
∴∠OBC=∠DOB,∠OCB=∠EOC ∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠DBO=∠DOB=∠OBC,∠ECO=∠EOC=∠OCB D ∴BD=DO,CE=OE
(等角对等边)

A

O

E

B

C

∴BD+EC=DO+OE=DE

生活应用
上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里的速度向正北 航行,10时到达海岛B处,从A、B望灯塔C,测

得 ∠NAC=420,∠NBC=840,求从海岛B到灯塔C的距离。
解: ∵ ∠NBC=∠A+∠C
(三角形的一个外角等于 不相邻的两个内角的和)

N C B

∴∠C= 840-420=420 ∴BA=BC(等角对等边) ∵ AB=15(10-8)=30

∴BC=BA=30(海里)
A


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