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两数和的平方

发布时间:2013-10-27 11:50:36  

很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓 到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了 妖怪救出了公主。国王要赏赐他们, 这两个农夫 原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个 农夫就对国王说:“您可不可以再给我一块边 长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他,国 王问第二个农夫:“你是不是要跟他一样啊?” 第二个农夫说:“不,我只要您把我原来的那 块地的边长增加b米就好了。 国王想不通了,他说:“你们的要求不是一 样的吗?” 你认为他们的要求一样吗

看两人要求是不是一样,即 要比较下列两式是不是相等

a ?b
2
你知道

2


2

?a ? b?

2

?a ? b?

等于多少吗?

方法1:

? a ? b?

2

? ?a ? b? ?a ? b?

? a ? ab ? ab ? b
2

2

? a ? 2ab ? b
2

2

方法2

a ?b
2

2

(a ? b)
a a
2

2

b
2

a

2

a ab

b

2
2

b ab b

(a ? b) ? a2 +2ab + b2

计算下列各题

解:

(a ? b) ?a +2 a b + b
2

2

2

? 2a ? 3b ?

2

=(2a)2 + 2(2a)(3b) + (3b)2 =4a2+12ab+9b2

例1

运用公式计算:
2

1 2 ( )(4m ? n) (2)(2 xy ? x) 1 5 1 2 2 (4)(? x ? 2 y) (3)(? 2m ? n)
2

这个公式我们称为两数和的平方公式

(a ? b) ?
2

(a ? b) ? a2 +2ab + b2
2

? a ? b ? 等于多少? 解: 2 2 ? a ? b ? = ?a ? ? ?b ? ? ? ?
2

+ =a +2a(-b) (-b)
2

2

=

a ? 2ab ? b
2

2

?a ? b?
b
ab
(a-b)2

2

b2

a

a2 ab a b

(a ? b) ? a ? ab ? ab ? b
2

2

2

? a ? 2ab ? b
2

2

+2ab + b2 (a ? b) ? a 这个公式我们称为两数和的平方公式
2

2

(a ? b) ? a2 -2ab + b2
2

这个公式我们称为两数差的平方公式

+2ab + b2 (a ? b) ? a
2

2

(a ? b) ? a2 -2ab + b2
2

完全平方公式有怎样的结构特征呢?

你能用语言叙述这两个公式吗?
这两个公式我们又称为完全平方公式

计算下列各题

(a ? b) ? a -2 a b + b 解: 2 1 1? 1 2 ? a? ? +( ) = a2 - 2 a ? ? 2? ? 2 1 2
2

2

2

=a2 - a+

4

(2x - 3)2 =4x2 – 12x+9 (4x +5y)2 =16x2 + 40xy+25y2 (mn

-

2 a)

2n 2 =m



2 2amn+a

(-3b

2c)2=9b2 – 12bc + 4c2 +
2 =4b

(-2b-5)2

+ 20b + 25

计算下列各题

(a ? b) ?a +2 a b + b 解:
2

2

2

? ? a ? 2b ? =
2

1

2

(a ? b) ? a - 2 a b + b 解:
2

2

2

? ? a ? 2b ? = ? 2b ? a ?
2

2

1

2

两数和平方公式的特征:
1、左边是两数和的平方,右边可这样记: “首平方,尾平方,首尾之积的二倍放中 央,再把三项都加上,中间符号回头望”

(a ? b) ? a2 +2ab + b2
2

(a ? b) ? a -2ab + b
2
2

2

计算下列各题

(a ? b) ? a - 2 a b + b 解:
2

2

2

(? x ? 1)
2

1

2

计算下列各题

(a ? b) ?a + 2 a b + b 解:
2

2

2

(? x ? 1)
2

1

2

(1)判断: ①


? x ? 2 yz ? ? x ? 4 xyz ? 4 y z (×)
2 2 2 2

? b ? 4c ?
2

2

? b ? 16c
2
2

2

(×)

③ ? 4m ? n ? ? 16m ? 4mn ? n (× )
2



? ?2a ? b ?

2

? 4a ? 4ab ? b
2

2

( ×)

添一项使下列式子变成完全平方式
2

( )a ? 9 1

(2)a ? 2ab
2

(3)x ? 12 x 4
2

(4) 4 x ? 1 ?
2

1 (2 x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) ,其中 x ? ?1 2
2 2

练习:化简求值

(1 解方程: ? 3x) ? (2 x ? 1) ? 13( x ? 1)( x ? 1)
2 2

( x ? y ? z)

2

运用公式简便计算

() 1 105

2

(2) 198

2

2 2 (3)(9 ) 3

例1、已知a ? b ? 2,ab ? 1,求a ? b 的值。
2 2

例2、已知a ? b ? 4,ab ? 5,求a ? b 的值。
2 2

例3、已知a ? b ? 8,ab ? 2,求(a ? b) 的值。
2

例4、已知x ? y ? 2,y ? z ? 2,x ? z ? 14, 求 x ?z
2 2

1 1 2 例5、已知a ? ? 5, 求( )a ? 2 1 a a 1 2 (2)(a ? ) a


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