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提公因式法

发布时间:2013-10-27 11:50:38  

1.分析下列计算是整式乘法中的哪一种 并求出结果: (口答)
(1) (2) (3) (4)

3( x ? 2) ? 3x ? 6 7 x( x ? 3) ? 7 x 2 ? 21x 4 x(6 x 2 ? 3x ? 7) ? 24 x 3 ? 12 x 2 ? 28 x ? ab(8a 2b ? 12b 2c ? 1) ? ?8a 3b 2 ? 12ab3c ? ab

2. (1) 多项式 ab ? bc各项都含有相同的因式吗? (相同因式 b) 多项式 3x 2 ? x 呢? (相同因式 x) my 2 ? ny ? y呢? (相同因式 y) 多项式 (2) 动手试一试: 将 (1) 中的多项式分解因式,写成几个整式 的乘积。

ab ? bc ? b(a ? c) 3x 2 ? x ? x(3x ? 1) my 2 ? ny ? y ? y (my ? n ? 1)

观察分析:

ab ? bc ? b(a ? c) 3x 2 ? x ? x(3x ? 1) my 2 ? ny ? y ? y (my ? n ? 1)
提公因式法: 如果一个多项式的各项含有公因式 , 那么就可以把这 个公因式提出来, 从而将多项式化成两个因式乘积的形式, 这种分解因式的方法叫做提公因式法。

1.填空:(口答)
(1)

2?R ? 2?r ? 2? ( R ? r )

(2)

2?R ? 2?r ? 2? ( R ? r )

1 1 2 1 2 2 g (t12 ? t2 ) (3) gt1 ? gt 2 ? 2 2 2
(5)

1 2 1 2 1 2 (4) gt1 ? gt 2 ? g (t12 ? t 2 ) 2 2 2
(6)

3x 3 ? 6 x 2 ? 3x 2 ( x ? 2)
12 xyz ? 9 x 2 y 2 35x3 yz ? 14 x 2 y 2 z ? 21xy2 z 2

7a 2 ? 21a ? 7a ( a ? 3 )
3a 2 y ? 3ay ? 6 y
都错在哪了? 哪儿有困难?

2.把下列各式分解因式:(板演)
(1) (3) (2)

解:
(1) (2) (3)

12 xyz ? 9 x 2 y 2 ? 3xy(4 z ? 3xy) 3a 2 y ? 3ay ? 6 y ? 3 y(a 2 ? a ? 2) 35x3 yz ? 14 x 2 y 2 z ? 21xy2 z 2 ? 7 xyz(5x 2 ? 2 xy ? 3 yz )

例如: (1) 多项式 (2) (3) (4)

1.公因式的定义:一个多项式各项都含有的相 同因式, 叫做这个多项式各项的公因式.

ab ? bc 的公因式是 b 多项式 3x 2 ? 3 y 的公因式是 3 多项式 7 a 2 ? 21a 的公因式是 7a 多项式 3 x 3 ? 6 x 2 的公因式是 3x 2

是字母 是数字系数 是数字系数与字母的乘积 是数字系数与字母的乘积

2.观察上述举例,分析并猜想:
确定一个多项式的公因式时,要从 数字系数 和 字母 考虑: (1) 如何确定公因式的系数?

分别进行

公因式的系数应取各项系数的最大公约数。
(2) 如何确定公因式中的字母?那字母的指数该怎么定呢? 公因式中的字母取各项相同的字母,而且各相同字母的指数取其次数 最低的。

1.写出下列多项式各项的公因式:
(1)
(2) (3)

8x ? 72
a 2 x 2 y ? axy2

公因式

8

公因式
公因式

axy
2x 2ab
)
公因式

4 x 2 ? 2 x ? 2 x3

(4)

6a 2b ? 4a 3b3 ? 2ab

2.把下列各式分解因式:
(1) (2) (3)

12 xyz ? 9 x 2 y 2 ? 3 xy ( 4 z ? 3xy
2

3 y ( a2 ? a ? 2 ) 3a y ? 3ay ? 6 y ?
35x3 yz ? 14 x 2 y 2 z ? 21xy2 z 2 ? 7 xyz ( 5 x 2 ? 2 xy ? 3 yz )

例1. 将下列各式分解因式:
(2) 7 x 2 ? 21x 3x ? 6 3 2 3 (3) 8a b ? 12ab c ? ab (4) ? 24 x 3 ? 12 x 2 ? 28 x (1)

解: 3x ? 6 ? 3x ? 3 ? 2(找公因式:把各项写成公因式与一个单项式 (1) 的乘积的形式。)

? 3( x ? 2) (提取公因式)
(2)

7 x 2 ? 21x ? 7 x ? x ? 7 x ? 3 (找公因式) ? 7 x( x ? 3) (提取公因式)

(3)

(提取公因式) 8a 3b 2 ? 12ab3c ? ab ? ab ? 8a 2b ? ab ?12b 2c ? ab ?1 ? ab(8a 2b ? 12b 2c ? 1) (找公因式)

(4)

? 24 x3 ? 12 x 2 ? 28x ? ?(24 x3 ? 12 x 2 ? 28x) (先提出“—”号) ? ?(4 x ? 6 x 2 ? 4 x ? 3x ? 4 x ? 7) ? ?4 x(6 x 2 ? 3x ? 7)

3x ? 6 ? 3( x ? 2)
7 x 2 ? 21x ? 7 x( x ? 3)
8a 3b 2 ? 12ab3c ? ab ? ab(8a 2b ? 12b 2c ? 1) ? 24 x 3 ? 12 x 2 ? 28 x ? ?4 x(6 x 2 ? 3x ? 7)
(1) 用提公因式法分解因式后,括号里的多项式中有没有公因式? ( 不能再有公因式 )

(2) 用提公因式法分解因式后,括号里多项式的项数与原多项式的项数相 比,有没有什么变化?
( 项数相等,常利用这一点检验提公因式时是否出现“漏项”的错 误) (3) 以上4个式子从左向右的变形过程是提公因式分解因式 , 那从右向左的 变形过程是 单项式乘多项式 ,所以它们之间的关系是 互逆的 ; 因式的结果是否正确,我们可以采用什么方法呢? ( 利用单项式乘多项式的法则乘回去,进行验证 )

1. 将下列各式分解因式:
(1)

8a 3b 2 ? 12ab3c ? 4ab 2 (2a 2 ? 3bc)
3x 2 ? 6 xy ? x ? x(3x ? 6 y ? 1)

(2)
(3) (4)

? 4m3 ? 16m 2 ? 26m ? ?2m(2m2 ? 8m ? 13)
? 24 x 2 y ? 12 xy2 ? 28 y 3 ? ?4 y(6 x 2 ? 3xy ? 7 y 2 ) ? 12ab 4 ? 4ab ? 4ab(2a 2b ? 3b3 )
还 可 能 错 哪

2. 辨别正误并指明错因:
(1) 分解因式: 8a 3b 2

错因分析:由于“漏乘”所致 正确解答: 8a
3 2

b ? 12ab 4 ? 4ab ? 4ab(2a 2b ? 3b3 ? 1) ? 2 x 3 y ? x 3 (4 x ? 2 y ) ? 2 x 3 y ? 2 x 3 (2 x ? y )

(2) 分解因式: 4 x 4 正确解答:4 x 4

错因分析: 括号内还有公因式没提出来,导致分解不彻底

1. 提公因式法是最基本的分解因式的方法 之一,其一般步骤是什么?

2. 提公因式法的关键是什么? 3. 检验分解因式正误的方法有那些?

4.你还有什么新的认识与体会?


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