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运用公式法

发布时间:2013-10-27 11:50:40  

温故知新
x ? 25 1) ( x ? 5)( x ? 5) ? _______
2

9x ? y 2) (3x ? y )(3x ? y ) ? ______
2

2

3)

?2(m ? n) ? 1??2(m ? n) ? 1? ? _________ 4(m ? n) ? 1
2

观察以上式子是满足什么乘法公式运算? 以上式子的右边的多项式有什么共同点? 2 2 (a ? b)( a ? b) ? a ? b (整式乘法)

a ? b ? (a ? b)(a ? b) (分解因式)
2 2

整 单项式乘以单项式 与分解因式无关 式 单项式乘以多项式 乘 与分解因式有关 法 多项式乘以多项式 平方差公式 乘法 公式 完全平方公式
2-b2=(a+b)(a-b) a 2-b2 (a+b)(a-b)=a

x2-25 = x2-52=(x+5)(x-5) 9x2-y2 = (3x)2-y2=(3x+y)(3x-y)

判断下列各式能否用平方 差公式分解因式: 2+4b2 ( ) (1) a 2-4y2 ( ) (2) -x ( ) (3) x-4y2 ( ) (4) -4+0.09m2

具备什么特征的多项式是平方差式?
答:一个多项式如果是由两项组成,两部 分是两个式子(或数)的平方,并且这两 项的符号为异号.

运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分 a、b?
答:平方前符号为正,平方下的式子(数) 为a 平方前符号为负,平方下的式子(数) 为b

(1)多项式 x 和 25 ? 有什么共同特征?
2

9他们y x ?
2

2

(2)尝试将它们分别写成两个 因式的乘积,并与同伴交流.

例1:把下列各式分解因式

(1)16 ? 25 x 1 2 2 (2)4a ? b 9
2

1 2 2 (3) ? b ? 4a 9

(1)解: ? 25x 16
2

2

? 4 ? (5 x)

2

=(4+5x)(4-5x)

第一步,将两 项写成平方的 形式;找出a、b 第二步,利用 a2-b2=(a-b)(a+b) 分解因式

学会了吗?

1 ? (2a ? b)( 2a ? 3 3

1 2 (2)4a ? b 9 1 2 2 ? ( 2a ) ? ( b) 3
2

第一步,将 两项写成平 方的形式; 找出a、b 第二步,利 用a2-b2=(a1b)(a+b)分解 b) 因式

1 2 2 解: b ? 4a ? 9

当首项前有负号时. 第一步,连同符号 交换位置. 1 2 2 ? 4a ? b 第二步,将两项写 9 成平方的形式;找 1 2 2 出a、b ? (2a ) ? ( b) 第三步,利用 3 1 1 a2-b2=(a-b)(a+b)分 ? (2a ? b)(2a ? b) 解因式 3 3

例2 :把下列各式分解因式

(1)4(m ? n) ? (m ? n)
2

2

(2)3x ? 12 x
3

4-b4 (3)a

(1)解: m ? n) ? ( m ? n) 4(
2

2

? ?2(m ? n)? ? (m ? n)
2

2

? ?2(m ? n) ? (m ? n)?? ?2(m ? n) ? (m ? n)?

=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)
=(3m+n)(m+3n)

(2)解:x ? 12 x 3
3

? 3 x( x ? 2 ) ? 3 x( x ? 2)( x ? 2)
2 2

? 3 x( x ? 4)
2

有公因式先 提公因式, 然后再进一 步分解因式

通过做第(2)小题你总结出什么经验 来了吗? 分解因式时,通常先考虑是否能提 公因式,然后再考虑能否进一步分 解因式.

通过做第(2)小题你总结 出什么经验来了吗?
当多项式的各项含有公因式 时,通常先提出这个公因式,然后

再进一步分解因式.

4-b4 (3)解:a
2-b2)(a2+b2) =(a
2+b2) =(a+b)(a-b)(a

通过做第(3)小题你总结出什么吗?

分解因式一直到不能

分解为 止.所以分解后一定检查括号内是 否能继续分解.

练习: 把下列各式分解因式:
1 2 2 4 (1) a ? 4b c ; 16 4 2 2 (2)? m ? 0.01n ? 9

(3) 4(x-y)2-1;

(4) 9(m+n)2-4(m-n)2.

(5) 2x3-8x;

(4)9(m+n)2-(m-n)2

解: 9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)]2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n) =(4m+2n) (2m+4n) =4 (2m+n) (m+2n)

小 结
1.具备什么特征的多项式是平方差式?

一个多项式如果是由两项组成,两部分是两个 式子(或数)的平方,并且这两项的符号为异.
2.运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,如何区分a、b?

平方前符号为正,平方下的式子(数)为a 平方前符号为负,平方下的式子(数)为b
3.分解因式时,通常先考虑是否能提公因式,然后 再考虑能否进一步分解因式. 4.分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一 定检查括号内是否能继续分解.

思考: 把下列各式分解因式
2(m-n)-b2(n-m); (1)a

4(a-1)-a+1. (2)625x





1、今天主要学习了利用平 方差公式进行因式分解 2、当多项式的各项有公因 式时,通常先提出这个公因式, 然后进行因式分解

在多项式x2 , x2 +y2 -y2,x2 , -x2-y2 +y2 中,能利用平 方差公式分解的有( B ) A 1个 C 3个 B 2个 D 4个

判 断 正 误
(1)x2 =(x+y)(x+y) ( +y2 (2)x2 =(x+y)(x-y) ( -y2 ) )

(3)-x2 =(-x+y)(-x-y)( +y2 (4)-x2 -y2=-(x+y)(x-y)(

) )

16-x?分解因式( A.(2-x)?
B.(4+x2 )(4-x2 )

C )

C.(4+x2 )(2+x)(2-x)

D.(2+x)3 (2-x)

P49页

(4)? 16 x

? 81y 2 2 ? 81y ?16x
2

2

? (9y) ?(4x) ? (9y ?4x) (9y ?4x)
2 2

拓展 练习

ax ? ay ? x ? y
2
2 2

2

如果 4 x ? 9 y ? 31,并且 x,y都自然数,求x,y的值。

例1。下列分解因式是否正确?为什么?如果不正 确,请给出正确的结果。

x ? 16 y ? ( x ) ? (4 y )
4 4 2 2
2 2 2

2 2
2

例2

? ( x ? 4 y )( x ? 4 y ) 2 2 分解因式: (4 x ? 1) ? (3 x ? 1)
9(a ? 2b) ? 4(a ? 2b)
2 2



x ? y ? 44, x ? y ? 11,
2 2



x? y

的值

做一做
2、如图,在一块边长 为 acm 的正方形的四 角,各剪去一个边长为 bcm的正方形,求剩余 部分的面积。如果 a=3.6,b=0.8呢?
a

b

试一试
3.运用公式法分解因式:

(1) -9x2+4y2

(2) 64x2-y2z2
(4) (a+bx)2-1

(3) a2(a+2b)2-4(x+y)2 (5) (x-y+z)2-(2x-3y+4z)2

创新与应用
已知, x+ y =7, x-y =5,求 代数式 x 2- y2-2y+2x 的 值.


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