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全等三角形难题

发布时间:2013-09-18 14:37:07  

1.如图,已知等边△ABC,P在AC延长线上一点,以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M,连接AM,求证:(1)BP=CE; (2)试证明:EM-PM=AM.

E

2、点C为线段AB上一点,△ACM, △CBN都是等边三角形,

线段AN,MC交于点E,BM,CN交于点F。求证:

(1)AN=MB.(2)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度,如图②所示,其他条件不变,(1)中的结论是否依然成立? (3)AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。

A BB

3.已知,如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB?AC,AD?AE,?BAC??DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点. (1)求证:①BE?CD;②AM?AN;

(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180?,其他条件不变,得到

图①

4.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:

① AD=BE; ② PQ∥AE; ③ AP=BQ;

④ DE=DP; ⑤ ∠AOB=60° ⑥CP=CQ ⑦△CPQ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO平分∠AOP ⑩CO平分∠BCD A 恒成立的结论有______________(把你认为正确的序号都填上).

C

B

O E D

图②

A G

5.已知:如图,△ABC是等边三角形,过AB边上的点D作DG∥BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,E 使DE?DB,连接AE,CD. (1)求证:△AGE≌△DAC;

(2)过点E作EF∥DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断△AEF是怎样的三角形,试证明你的结论.

B

F

C

6、如图1,以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,试判断△ABC与△

AEG

F

(图1)

7、如图所示,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,且A、B、D三点共线.下列结论:①AE=CD;②BF=BG;③HB平分∠AHD;④∠AHC=60°,⑤△BFG是等边三角形;⑥FG∥AD.其中正确的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

8、在△ABC中,AB?BC?2,?ABC将△ABC绕点B顺时针旋转角?12°0,

?(0°???90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两

点.如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论;

1

A1

1E

B

A1

9. 如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:∠ADC=∠BDE.

10.如图1,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM 的平分线BF相交于点F.

? 如图14―1,当点E在AB边的中点位置时:

① 通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 ;

② 连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是

③ 请证明你的上述两猜想.

? 如图14―2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,

使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明

11、已知Rt△ABC中,AC?BC,∠C?90?,D为AB边的中点,?EDF?90° ,

?EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.

当?EDF绕D点旋转到DE?AC于E时(如图1),易证S△DEF?S△CEF?1 S△ABC.2

当?EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.

A

E

C

B E C 图2

F B E 图3 D D C F F 图1

12.等边△ABC,D为△ABC外一点,∠BDC=120°,BD=DC.∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M,射线DN与直线AC相交于点N,

①当点M、N在边AB、AC上,且DM=DN时,直接写出BM、NC、MN之间的数量关系.

②当点M、N在边AB、AC上,且DM≠DN时,猜想①中的结论还成立吗?若成立,请证明. ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时,请画出图形,并写出BM、NC、MN之间的数量关系.

13.如图1,BD是等腰RtΔABC的角平分线,∠BAC=90.

(1)求证BC=AB+AD;

(2)如图2,AF⊥BD于F,CE⊥BD交延长线于E,求证:BD=2CE;

求证:∠BAD+∠BCD=180°。

15、如图,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,AD+AB=2AE,则∠B与∠ADC互补.为什么?

D C ?ABCB 图2 C 14、已知,如图1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC。

A E B

16、如图4,在△ABC中,BD=CD,∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC.

A

B C

17.如图,在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分线交P.求证:AP是∠BAC的角平分线

图十一

18、如图在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ADC+∠ABC=180度,CE⊥AD于E,猜想AD、AE、AB之间的数量关系,并证明你的猜想,

图2 C 19、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:OE=OD

A

BC

20.如图所示,已知在△AEC中,∠E=90°,AD平分∠EAC,DF⊥AC,垂足为F,DB=DC,求证:BE=CF

21、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全

等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:

(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA

的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;

(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你

在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 M

D D P

图① N A

图② C

图③

22.已知:如图,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,且BD=CD,求证:(1)△BDE≌△CDF (2) 点D在∠A的平分线上

23、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>

BAPB-PC 24、(2007年成都)已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相交于点G。 (!)求证:BF=AC;

(2)求证:CE=1BF; 2

(3)CE与BC的大小关系如何?试证明你的结论。

25、如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分线,AF∥DC,连接AC、CF,

求证:CA是∠DCF的平分线。 A

CB

26、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.?AEF?90,且EF交正方形外角?DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.

经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE?EF.

在此基础上,同学们作了进一步的研究:

(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;

(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C

点外)的任意一点,其他条件不?

变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.

28.问题背景,如下命题:

① 如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM

② 如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点,CM为正方形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=90°,则AN=NM

③ 如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=108°,则AN=NM

E

ADA AD MMM

BB BNK图3图1图2

任务要求:

? 请你证明以上三个命题;

? 请你继续完成下面的探索:

① 如图4,在正n(n≥3)边形ABCDEF…中,N为BC边上任一点,CM为正n边形外角∠DCK的平分线,问当∠ANM等于多少度时,结论AN=NM成立(不要求证明).

② 如图5,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为∠DCN的平分线,若∠ANM=∠ABC,请问AN=NM是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

FE

ABD图5图4

29.(1)如图,已知在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N.试判定线段MD与MN的大小关系;

(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上或AB延长线上任意一点”,其余条件不变.试问(1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.

30.如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AC上的一点,BD=DC,P是BC上的任一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F为垂足.求证:PE+PF=AB.

31..如图,已知△ABC中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点D为AB的中点.

(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,则经过 后,点P与点Q第一次在

△ABC的

边上相遇?(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)

32.已知:在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE,解答下列各题:如果AB=AC,∠BAC=90°.

(i)当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图甲,线段BD,CE之间的位置关系为(ii)当点D在线段BC的延长线上时,如图乙,i)中的结论是否还成立?为什么?

33.(2012?内江)已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.

(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:①BD=CF;②AC=CF+CD;

(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;

(3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.

E

H

D C 34.在△ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC, D、E为垂足,AD与BE交与点H,BD=AD 求证:BH=AC BE⊥AD

35.如图14-1,在△ABC中,BC边在直线l上,AC⊥BC,且AC = BC.△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.(1)在图14-1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;(2)将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;(3)将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,

连结AP,BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.

(E)

l B l l F P C (F) 图14-1 图14-2

图14-3

36..如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD

的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:①AF=DE;②AF⊥DE.(不需要证明)

(1)如图2,若点E、F不是正方形ABCD

的边BC、CD

的中点,但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)

(2)如图3,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.

37.如图1,A、E、F、C在同一条直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,试说明BD平分EF;若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时,其余条件不变,BD是否还平分EF,请说明理由。

38.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.

求证:(1)AE=CD; (2)若AC=12 cm,求BD的长.

39.如图,两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起,∠DEA=∠ACB=90°,∠DAE=∠ABC=30°,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD中点M,连接ME、MC,试判断△EMC的形状,并说明理由.

40.已知BE,CF是△ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

41. 在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC的中点,DG⊥AC交AB于点G. (1)如图1,E为线段DC上任意一点,点F在线段DG上,且DE=DF,连结EF与 CF,过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H. ①求证:DG=DC

②判断FH与FC的数量关系并加以证明.

(2)若E为线段DC的延长线上任意一点,点F在射线DG上,(1)中的其他条件不变,借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形,并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论,不必证明)

A

GFD

E

C

H

B

Q

A

P

B

E

C

AD=BC,AE⊥AD,AF⊥AB,且AE=AD42、如图,AD//BC, ,AF=AB,求证:AC=EF

43.直线CD经过?BCA的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且?BEC??CFA???.

(1)若直线CD经过?BCA的内部,且E、F在射线CD

上,请解决下面两个问题: ①如图1,若?BCA?90,???90

????,则EFE?A(填“?”,“?”或“?”号); ②如图2,若0??BCA?180,若使①中的结论仍然成立,则 ??与?BCA 应满足的

关系是 ;

(2)如图3,若直线CD经过?BCA的外部,????BCA,请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给予证明.

B B B

A D D A A 图1 图2 图3

44.已知:如图,四边形ABCD中,AC平分?BAD,CE?AB 于E,且?B+?D=180?,求证:AE=AD+BE

A

1 D

E

B C

45.如图,已知E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,且∠DAE=∠FAE

求证:AF=AD-CF

46.如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,∠ADB=60°,E是AD上一点,且DE=DB,求证:AC=BE+BC

D

47、在△ABC中,BD=DC,ED⊥DF.求证:BE+CF>EF.

旋转

已知,如图,三角形ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AB的中点,直线l经过点C,分别过点A、B作l的垂线,即AD⊥CE,BE⊥CE,

(1)如图1,当CE位于点F的右侧时,求证:△ADC≌△CEB;

(2)如图2,当CE位于点F的左侧时,求证:ED=BE-AD;

(3)如图3,当CE在△ABC的外部时,试猜想ED、AD、BE之间的数量关系,并证明你的猜想.

复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:“如图①,已知在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接BQ、CP,则BQ=CP.”

小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ≌△ACP,从而证得BQ=CP之后,将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中的条件不变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图②给出证明.

5.将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片△ABC和

且△ABC≌△DEF。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合,把△DEF△DEF.

绕点B顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点O.

①当△DEF旋转至如图②位置,点B(E),C,D在同一直线上时,?AFD与?DCA的数量关系是 .

②当△DEF继续旋转至如图③位置时,(1)中的结论还成立吗?AO与DO存在怎样的数量关系?请说明理由.

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