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3.2、圆的对称性(2) 课堂教学设计

发布时间:2013-10-27 14:01:14  

大庆65中学创新课堂教学模式

六环节课堂教学模式

大庆65中学创新课堂教学模式

2、圆的对称性 (2)

学习目标
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标

1. 理解圆的旋转不变性.

2. 利用圆的旋转不变性研 究圆心角、弧、弦之间相
等关系的定理.

拓 展 谈谈收获

预 习
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标

1、什么是轴对称、中心对称图 形?

拓 展 谈谈收获

2、 圆的旋转不变性:圆是一个中 心对称图形, 圆心是它的对称中 心.圆绕着圆心旋转任意一个角 度都能和原来的圆重合.

复习回顾: 判断下列图形,能否使用垂径定理?
B O C A D C
A O D C B
B

O E D C
A

O D

注意:定理中的两个条件(直径,垂 直于弦)缺一不可!
?

复习回顾:

已知:在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到 AB的距离为3cm,求: ⊙O的半径。
OE为O到弦AB的垂 线段
A
? ?

O
E B

若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。

若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表 示,弦长用a表示,这三者之间有怎样的 2 关系? ?a? 2 2
r ? d ?? ? ? 2?

展 示
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标
B

1、圆心角,弦心距的概念 顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心到弦的距离叫弦心距.

拓 展 谈谈收获
O

D
A

练习: 判别下列各图中的角是不是圆心角, 并说明理由。

O


O ②

O

O





圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

(1)定理:在同圆中,相等的圆心角所对的弦 相等,所对的弧相等,所对的弦心距相等。
思考定理的条件和结论分别是什么?并回答:

条件: 在等圆或同圆中 圆心角相等

结论:

演示

圆心角所对弧相等 圆心角所对弦相等 圆心角所对的弦心距相等

猜想:把圆心角相等与三个结论的任何一个 交换位置,有怎样的结果?

(2) 推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
A D B O B' D' A'

1°弧的概念:
顶点在圆心的圆心角等分成360份时,每 一份的圆心角是1°的角,整个圆周被等分成 360份,我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。 (同圆中,相等的圆心角所对的弧相等)
C 1度弧 D

结论: 圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等。
O

1度圆 心角 A n度圆 心角

n度弧 B

三、巩固应用、变式练习 1 、 判断题,下列说法正确吗?为什么? (1)如图:因为∠AOB=∠A’OB’, ︵ ︵ 所以AB=A`B`. (不对) (2)在⊙O和⊙O’中,如果 ︵ ︵ AB=A’B’,那么AB=A`B`.

B' O A' A B

(不对)

例1:如图,点O是∠EPF平分线上的一点,
以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B 和C、D 求证:AB=CD
B

证明:作OM⊥AB, ON⊥CD,M、N为垂足

, ∠MPO=∠NPO OM⊥AB

M
A P C N D · O

ON⊥CD

OM⊥AB
OM=ON AB=CD

ON⊥CD

变式1:
M

B

A N

· O

D

C

B

变式2:
已知:如图, ⊙O的弦AB,CD相交 于点P,APO=∠CPO

C
M E P N A

O ?
F

求证:AB=CD

D

变式3:
如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD.

求证:∠AMN=∠CNM

A C

M ? O

N

B
D

例2、在⊙O中,弦AB所对的
劣弧为圆的1/3,圆的半径为2 O

厘米,求AB的长

A
D

C

B
A

例3、已知 AB和CD为⊙O的两 条直径,弦CE∥AB, EC弧的度 数等于40°. 求∠BOD的度数。

O E C

B

四、课堂练习

1、在⊙O中,直径为10厘米,AB弧是 圆的1/4,求弦AB的长。 2、已知:如图,⊙O中, AB、 CD交于E, AD=BC. 求证:AB=CD.
D

A

C E O B

3、如图,⊙O中弦 AB,CD相交于P, 且AB=CD.

C B

P
O

A D

求证:PB=PD

思考题:
已知AB和CD是⊙O的两条弦,OM和ON 分别是AB和CD的弦心距,如果AB>CD, 那么OM和ON有什么关系?为什么? 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系

1、在同圆或等圆中,大弦的弦心距较小;
2、在同圆或等圆中,大弧所对的圆心角 也较大。

二、弦、弦心距之间的不等量关系

A
M O N D

已知⊙O中,弦AB>CD,OM⊥AB, ON⊥CD,垂足分别为M,N, 求证:OM<ON
C

B

重要结论: 若AB和CD是⊙O的两条弦,OM和ON 分别是AB和CD的弦心距,如果AB>CD,那 么OM<ON。

互 动
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标

你来试一试

拓 展 谈谈收获

1、一条弦把圆分成3:6两部分,则优弧所对
的圆心角为 240 °.

⌒ ⌒ ⌒ 2、A、B、C为⊙O上三点,若AB 、 、CA BC 的度数之比为1: 2: 3,则∠AOB= 60 °,
∠BOC= 120 °, ∠COA= 180 °. 3、在⊙O中,AB弧的度数为60°,AB弧的 长是圆周长的 1/6 .

4、一条弦长恰好等于半径,则此弦所对的圆 心角是 60 度。

5、弦长为24cm,这条弦的弦心距为 4 3 cm, 这条 弦所对的圆心角是 120 度,圆的半径 是 8 3cm .
C

6、如图, 弦AB所对的劣弧
为圆的 1 ,则∠AOB= 120o . ∠ACB= 60 °
A

3

O

B

例1、已知:如图,在△ABC中, ∠C=90°, ∠A=34°,以点C为圆心,CB为半径的圆交 AB于D点,求BD弧的度数.

问题:求BD弧的度数, 可转化为求什么 ?需添 辅助线吗?如何添?

A

D

C

B

例2、如图,已知:AB为⊙O的弦,
从圆上一点C引弦CD⊥AB,作∠OCD的 平分线交⊙O于P点,连结PA,PB. 求证:PA=PB.

分析:(1)要证AP=BP,有什么路径? ( 2 ) “ CP 是 ∠ DCO 的 平 分 线 C “CD⊥AB” 条件如何用? (3)有无“隐含条件”? O (4)需添辅助线吗?
A D P B

例3、(99年北京中考题)
在⊙O中,CD过圆心O,且 CD⊥AB于D,过点C任作一 弦CF交⊙O于F,交AB于E, 求证:CB2 =CE· CF
A E F

C O D

B

五、思考题:
1、如图,AB是⊙O的直径, 过AB上任一点K作与AB相 A 交成45°的弦PQ,设⊙O P 的半

径为R,求证:
KD O

Q

B

PK2+QK2为定值。


学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标



拓 展 谈谈收获

1、圆具有“旋转不变性”。即:圆绕圆 心旋转任意角度,都能与本身重合 2、圆心角、弦心距、1°的弧的定义。 3、四个量之间的等量关系。(知一推三) 证明弧相等方法的扩充: (1)等弧的定义 (2)垂径定理及推论 (3)四个量之间的等量关系及推论。 4、圆心角的度数和它所对的弧的度数的 关系。 (相等) 5、常添的辅助线:作出半径、弦心距

B?

M?

A?

O M A

B

O

B(B ?)

M?
M A ( A?)

O

O?

M A

B

A?

M?

B?

O(O?)

M (M ?)

B(B?)

A(A?)

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(二) 一、重要定理复习 1. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 2. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条 弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量也都分别相等。

根据这一定理,在同圆或等圆中,圆心 角、弧、弦、弦心距之间就可以实现等量关 系的相互转化,由知一个转为知三个,给解 题带来了转机。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
B E

O

C

D

A

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
A C
如果 ∠AOB = ∠COD

E O

F

如果 OE = OF ⌒ ⌒ AC = BD

D B

垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并 且平分弦所对的两条弧.
题设
(1)直径

结论

(2)垂直于弦





(3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧

(5)平分弦所对的劣弧

M

垂径定理
O

A

C
B N

①直线MN过圆心 ②MN⊥AB

③ AC=BC ⌒ ⌒ ④ AM= MB ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB

M

垂径定理推论1

O

A

C
B N

②MN⊥AB 推论1. ⌒ ⌒ ①直线MN过圆心 ④ AM= MB (1)平分弦(不是直径)的直径垂 ⌒ ⌒ ③ AC=BC ⑤ AN= NB 直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

M

垂径定理推论1

O

C
A N B

推论1: ①直线MN过圆心O ⌒ ⌒ ② MN⊥AB ④ AM= MB (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且 ③ AC=BC ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB 平分弦所对的两条弧;

M

垂径定理推论1

O

C
A N B

② MN⊥AB 推论1: ①直线MN过圆心O ③ AC=BC (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂 ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB ⌒ ⌒ ④ AM= MB 直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

垂径定理推论2

圆的两条平行弦所夹 的弧相等。
A


A C



O

B D

O

B
D

C

M

M

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

例2:已知:如图, AB、
A C

CD是⊙O的两条弦,OE、 OF为AB、CD的弦心距
F

E ?O

⑴如果∠AOB=∠COD, 那么OE与OF的大小有什 么关系?为什么?
D

B

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

A

C

例2:已知:如图, AB、
CD是⊙O的两条弦,OE、 OF为AB、CD的弦心距
F

E ?O

⑵如果OE=OF,那么
D

B

AB与CD的大小有什么关

系?AB与CD的大小有什 么关系?为什么? ∠AOB与∠COD呢?

2、抢答题
已知:如图,AB,CD是⊙O的两条弦, A

B

E
O D

OE、OF为AB、CD的弦心距,根据这
节课所学的定理及推论填空:
C

F

⌒ ⌒ (1)如果∠AOB=∠COD,那么 OE=OF , AB=CD , AB=CD ; ⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD (2)如果OE=OF,那么 , , ;

(3)如果AB=CD,那么 ∠AOB=∠COD, AB=CD, OE=OF;
AB=CD 。 (4)如果AB=CD,那么 ∠AOB=∠COD,OE=OF , ⌒ ⌒





达 标
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标

拓 展 谈谈收获





1.如图,在⊙O中,AB=AC,∠B=70°.

求∠C度数.

(第 1 题)

(第 2 题)





2.如图,AB是直径,BC=CD=DE, ∠BOC=40°,求∠AOE的度数 .



3.如图,在⊙O中,,∠1= ∠2, 试说明:AC= BD.
A
O A 1





C

D
2 D

B O

B

C

4.如图,已知AD=BC,试说明AB=CD.

拓 展
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标 C

1.如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线 CF∥AB,分别交⊙A于点C、D,交 ⊙B于点E、F。 求证:∠CAD=∠EBF
G ?A D E H F

拓 展 谈谈收获

?B

谈谈收获
学习目标 预 习 展 示 互 动 生成 达 标

拓 展 谈谈收获

? 对自己说,你有什么收获! ? 对教师说,你有什么疑惑! ? 对同学说,你有什么提示!


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