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二次函数与一元二次方程(沪科版九年级) 2

发布时间:2013-10-28 08:02:34  

22.4二次函数与 一元二次方程

复习

一元二次方程根的情况与b2 -4ac的关系

? 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?有两个不相等的实数根

? b ? b 2 ? 4ac ? x1, 2 ? . 2a 当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?有两个相等的实数根: b ? x1, 2 ? ? . 2a 当b 2 ? 4ac ? 0时, 方程ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?没有实数根
? 我们把代数式b 2 ? 4ac叫做方程ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?的 根的判别式.用" ?" 来表示.即? ? b 2 ? 4ac.

y Y=x2 -x+1 观察:下列二次函数的图 象与x轴有公共点吗?如 Y=x2 +x-2 y=x2 -6x+9 果有,公共点横坐标是多 少?当x取公共点的横坐 x 标时,函数的值是多少? 由此,你得出相应的一 元二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1 ?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

(1)设y=0得x2+x-2=0 x1=1,x2=-2 y ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公 共点,公共点的横坐标分别是1和 Y=x2 -x+1 -2,当x取公共的的横坐标的值时, y=x2 -6x+9 函数的值为0. Y=x2 +x-2 (2)设y=0得x2-6x+9=0 x (-2, 0) (1,0)(3,0) x1=x2=3 ∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点, 公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐 标的值时,函数的值为0. (3)设y=0得x2-x+1=0 ∵b2-4ac=(-1)2- 4×1×1=-3<0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点

?

?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 有两个交点
只有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相 等的实数根

一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判 别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

有两个相等 的实数根
没有实数根

二次函数与一元二次方程
?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: b2 – 4ac > 0 ?(1)有两个交点 b2 – 4ac= 0 ?(2)有一个交点 ?(3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0

例如,解方程X2-4x+3=0
就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变 量x的值. 例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解, 结论:一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)

用图象法求一元二次方程的近 似解

练习:根据下列表格的对应值:
x y=ax2+bx+c 3.23 3.24 3.25 0.03 3.26 0.09

-0.06 -0.02

判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x 的范围是( C ) A 3< X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24

C

3.24 <X< 3.25

D

3.25 <X< 3.26

(1)抛物线y ? x ? 2 x ? 3与x轴的交点个数有( C ).
2

A.0

B.1个

2个 C



3个 D.

(2).若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与 x轴交点情况是( C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定

2 (3)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则 2 一元二次方程ax+bx+c=0的解是 Y

X1=0,x2=5

0

5

X

(4)直线 y=2x+1 与抛物线 y= x2 + 4x +3 有___ _个交点.

(5)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴 上,则c=____. 16
( 6)关于x的一元二次方程 x ? x ? n ? 0没有实数根, 则
2

抛物线y ? x ? x ? n的顶点在( A ).
2

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

(7)抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为 ( C ) A、0个 B、1个 C、2个 D、无法确定

例:抛物线

1 2 y1 ? x ? 4 x ? 8 2

与直

1 线 y2 ? x ? 1 交于B、C两点。 2
(1)在同一直角坐标系中画出直线与抛物 线的图象。 (2)记抛物线的顶点为A,求△ABC的面积。

(3)X为何值时y1= y2, y1< y2, y1> y2?

y

例:已知二次函数y=-x2+2x+k+2

与x轴的公共点有两个,
(1)求k的取值范围;

(2)当k=1时,求抛物线与
x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标; (3)观察图象,当x取何值时,y=0,y>0, y<0? (4)在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使S ⊿ABP 是S ⊿ABC 的一半,若存在,求出P点的坐标,若不 存在,请说明理由.

x

5、已知二次函数y=x2-mx-m2 (1)求证:对于任意实数m,该二次函数的图像与x轴 总有公共点; (2)该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B,且A 点坐标为(1、0),求B点坐标。
(1)证明 : 令y ? 0, 得2 x ? mx ? m ? 0
2 2

? ? ? (?m) ? 4 ? 2 m ? 9m ? 0
2 2 2

? 不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
( 2) ? A(1,0)在抛物线y ? ? 0 ? 2 ?1 ? m ? 1 ? m
2 2 2

2x

2

? mx ? m 上
2

即 m ? m ? 2 ? 0, ( m ? 2)( m ? 1) ? 0 ? m1 ? ?2, m2 ? 1   B点坐标为( ?2,0) ?

?

问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考 虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时 间?

(4)球从飞出到落地要用多少时间?

解:(1)解方程 (3)解方程 h 15=20t-5t2 20.5=20t-5t2 t2 -4t+3=0 t2 -4t+4.1=0 t 1 =1, t 2 =3. ∵(-4)2 -4*4.1<0, 当球飞行1s和2s时, ∴方程无实数根 它的高度为15m。 (4)解方程 (2)解方程 0=20t-5t2 20=20t-5t2 t2 -4t=0 t2 -4t+4=0 t 1 =0, t 2 =4. t 1 = t2 =2. 当球飞行0s和4s时, 当球飞行2s时, 它的高度为20m。 它的高度为0m,即0s飞 出,4s时落回地

面。

(2、20)

t

?

利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实 数根(精确到0.1). y 方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; (-1.3、0)、(2.3、0) (3)得出方程的解. x =-1.3,x =2.3。
1

x

用你学过的一元二次方程的解法来解, 准确答案是什么?

?

小结:

本节课你有什么收获?


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