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人教版八年级数学14.2.2完全平方公式课件

发布时间:2013-10-28 10:40:25  

新人教版八年级(上册)

14.2.2

完全平方公式

学习目标
1.经历探究完全平方公式的过程,并会推导完全平方公式。
2.掌握完全平方公式的结构特征。

3.会用几何图形解释完全平方公式。
4.会用完全平方公式进行多项式的乘法计算。

回顾旧知———平方差公式 2 - b2 ( a + b )( a – b )=a
那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否 也能用一个公式来表示呢?

探究

计算下列各式,你能发现什么规律?
p2+2p+1 (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = ______;

(2)(m+2)2= _________; m2+4m+4
p2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;

(4) (m-2)2 = __________. m2-4m+4

我们再来计算(a+b)2, (a-b)2 (a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

(a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2

一般地,我们有

(a+b)2=a2+2ab+b2,
两数和的平方,等于它们的平方和,加它们的积的2倍.

(a-b) 2 = a2-2ab +b2.
两数差的平方,等于它们的平方和,减它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.

完全平方公式
公式特点:

(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2

1、积为二次三项式; 2、积中两项为两数的平方和; 3、另一项是两数积的2倍,且与乘式中间的符号相同。 4、公式中的字母a,b可以表示数,单项式和多项式。

首平方,尾平方,积的2倍在中央

完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式:

b ab a

b2
ab b
2 2

(a+b)2

a2
a
2

(a ? b) ? a +2 ab +b

完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式:

b a

ab

b2

a2 ab
(a-b)2

(a ? b) ? a ? ab ? ab ? b
2

a b

2

2

? a ? 2ab ? b
2

2

例3

运用完全平方公式计算:

(1)(4m+n)2 解: (4m+n)2= (4m)2+2?(4m) ?n +n2 (a
2= +b) 2 a

+ 2 ab +

2 b

2 =16m

+8mn +n2

例3

运用完全平方公式计算:
1 2 ) 2 1 2 2) =

(2)(y解: (y(a -

2 y 2 a

-2?y ?

1 2

+(

1 )2 2

2= b)

- 2 ab +

2 b

2 -y =y

+

1 4

练习: 利用完全平方公式计算:
(1) (2x?3)2 ; (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn?a)2

使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b. 2x ?3 解:(1) (2x?3)2 = ( 2x )2 ? 2 ? 2x ? 3 + 3 2 = 4x2 ? 12x + 9 ; 做题时要边念边写: 第一数 的平方,

减去 第一数与第二数 乘积 的2倍, 加上 第二数 的平方.

例4:运用完全平方公式计算: (1) 2 = (100+2)2 解: 102 =10000+400+4 =10404 2 (2) 99 2 = (100 –1)2 解: 99 =10000 -200+1 =9801
2 102

练习 1.运用完全平方公式计算:

(1)( x ? 6)

2

(2)( y ? 5)
2

2

(3)(?2 x ? 5)

3 2 2 (4)( x ? y ) 4 3

一试身手 利用完全平方公式计算:

9.9

2

101

2

思考:

(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗?

(2) (a-b)2与(b-a)2相等吗? (3) (a-b)2与a2-b2相等吗?

拓 展 练 习
下列等式是否成立? 说明理由. (1) (?4a+1)2=(1?4a)2; 成立 (2) (?4a?1)2=(4a+1)2; 成立 (3) (4a?1)(1?4a)

=(4a?1)(4a?1)=(4a?1)2; 不成立. (4) (4a?1)(?1?4a)=(4a?1)(4a+1). 不成立.

理由: (1) 由加法交换律 ?4a+l=l?4a。 (2) ∵ ?4a?1=?(4a+1), ∴(?4a?1)2=[?(4a+1)]2=(4a+1)2.
(3) ∵ (1?4a)=?(?1+4a) =?(4a?1), 即 (1?4a)=?(4a?1) ∴ (4a?1)(1?4a)=(4a?1)· [?(4a?1)] =?(4a?1)(4a?1)=?(4a?1)2。 (4) 右边应为: ?(4a?1)(4a+1)。

巩固练习:
1.下列各式哪些可用完全平方公式计算

(1)(2a-3b)(3b-2a) (2)(2a-3b)(-3b-2a) (3)(-2m+n)(2m+n) (4)(2m+n)(-2m-n)

2.错例分析: (1)(a+b)2=a2+b2 (2)(a-b)2=a2-b2

这节课你学到了什么知识? 完全平方公式: (a+b)2= a2 +2ab+b2

(a-b)2= a2 - 2ab+b2
通过这节课的学习你有何感想与体会? 注意:项数、符号、字母及其指数。

1.注意完全平方公式和平方差公式不同: 形式不同:
结果不同:
完全平方公式的结果 是三项, 即 (a ?b)2=a2 ?2ab+b2; 平方差公式的结果 是两项, 即 (a+b)(a?b)=a2?b2.

2.在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2; 首、尾数有系数的,平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键 3.有时需要进行变形,使变形后的式子符合应用完全平方公式 的条件,即为“两数和(或差)的平方”,然后应用公式计算.


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