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圆锥侧面展开图

发布时间:2013-10-28 11:41:49  

第二十四章



24.4圆锥的侧面及全面积
第2课时

陵县实验中学3521高效课题组

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学习概念
圆锥:是由一个底面和一个侧面围成的. 母线:我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫做圆锥的母线.如图中的l A . 高:从圆锥的顶点到圆锥底面圆 心之间的距离是圆锥的高h. 底面半径:图中的r. 母线l、高h、底面半径r 的关 系是: l2= h2+ r 2 F B O D C E

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动画演示圆锥的形成

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圆锥的侧面展开图
如图,设圆锥的母线长为l,底面半 径为r,那么,这个扇形的半径(R) 为 ,扇形的弧长(L)为 ,因此 l 圆锥的侧面积(S侧)为 ;若 A 圆锥的底面半径为r,母线长为l, 则它的侧面积(S侧) .

2πr

S侧 ? ?rl 2 S全 ? ?rl ? ?r

F

D r

E

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题型一 计算长度型

已经圆锥的母线长13 cm,高12 cm,求它 A 的底面半径.
解:l =13, h =12, ∵ l 2 = h2+ r2, ∴r=
2 2 2 2

B

l ? h ? 13 ? 12 ? 5(cm)

O

C

答:圆锥的底面半径是5 cm.

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变式:已知一个圆锥的轴截面△ABC是等边三角形, 它的表面积为 75? cm 2 ,求这个圆锥的底面半径 和母线的长。 A 解:∵圆锥轴截面△ABC是正三角形 ∴l=2r ∴πr×2r+πr2=75π B ∴r=5,l=10

O

C

答:圆锥的底面半径为5cm,母线长为10cm。
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题型二 计算面积型

已知圆锥的轴截面是正三角形,圆锥的高

l?2 ? 线为 62rr cm,求圆锥的表面积。 ll ? 2 r3
解:由正三角形可得 l=2r 2 2 2 2 2 2 ?l ? r ? h ? ? ll 22 ? r2 2 ? 2h 2 ? l = rr + ? h ∵ h
2 2 2 22 2 22

P

2

? r ? 6, l ? 2r ? 12. . ? s ? s ? s ? ?rl ? ?r 2 2? ? ? 6 ? 12 ? ? ? s表 ? s侧 ? s底 ? ? rl ? ?2rr2 ? ? ? 6 ? 12 ? ? s表 ? s? ? s底 ? ? rl ? ? ? ? ? 6 ? 12 ? ? 表 底 2 2 ?rl ? ?r ? ? ? 6 ? 12 ? ? ? 6 ? 108? (cm )
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? r ? ((6 3 ) ? 48 r ) 2 ? r ? (6 3) ? (2 r ? 6 3) ? 48 ? ? r ? 6, l ? 2r2r1212. ? r ? 6, l ? ? ? .

h A O r

l B

圆锥侧面展开图的圆心角θ的度数
n?r 弧长公式:c= 180
l r

180c 计算圆心角n的度数: ? n ?r
180c 180 ? 2?r r ?? ? ? ? 360 ?l ?l l

l

θ
2πr
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题型三 计算圆心角型

已知圆锥的底面半径为2cm ,高线长为1.5cm。
求这个圆锥的侧面(表)展开图的圆心角度数。 解:由勾股定理 得l ? 2 2 ? 1.5 2 ? 2.5cm

∴圆锥侧面展开图圆心角的度数为

r 2 ? ? ? 360? ? ? 360? ? 288? l 2.5 ? r 1 2 2 s圆锥侧 ? s扇形 ? 陵县实验中学3521高效课题组· ?l

? ?rl  l ? · ? · ? 360

变式:根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆 心角(r、h、l分别是圆锥的底面半径、高线、 母线长) (1) l = 2,r = 1 (2) h=3, r=4 (3) l = 10, h = 8
r 1 ? = ? 360? = ? 360 = 180? l 2
r 4 ? = ? 360? = ? 360 = 288? l 5
h r l

r 6 ? = ? 360? = ? 360 = 216? l 10
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变式:一个圆锥的侧面展开图是半径是18cm, 圆心角为2400的扇形,求这个圆锥的高。 解:∵l=18,θ =2400
r ∴ 18 ? 360 ? 240

∴r=12 ∴h= l 2 ? r 2 ? 182 ? 122 ? 6 5
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变式:如图,圆锥的底面半径为1,母线长为3,
一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面

爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上,问它爬
行的最短路线是多少? A 将圆锥沿AB展开成扇形ABB’

B

C
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1.本节的主要内容
两个直用公式:圆锥的侧面积、全面积计算公式.

s圆锥侧=πrl. s圆锥全= s圆锥侧+ s圆锥底= πrl+πr2
两个简洁公式:

l2=

h2+

r

2,?

r ? ? 360 (度) l

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