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二次函数专题(含答案)

发布时间:2013-10-28 12:39:45  

二次函数专题

如图,一次函数y??1.(本题满分12分,其中第(1)小题3分,第(2)小题3分,第(3)小题6分) 3x?m的图像与x轴、y轴分别相交于点A和点B,二次函数4

y??12x?bx?6的图像经过A、B两点. 4

(1)求这个一次函数的解析式;

(2)求二次函数的解析式;

(3)如果点C在这个二次函数的图像上,且点C的横坐标为5,求tan∠CAB的值.

(第24题图)

2.如图,一次函数图像交反比例函数y?6(x?0)图x像于点M、N(N在M右侧),分别交x轴、y轴于点

C、D。过点M、N作ME、NF分别垂直x轴,垂足

为E、F。再过点E、F作EG、FH平行MN直线,分别交y轴于点G、H,ME交FH于点K。 (1)如果线段OE、OF的长是方程a2- 4a+3=0的两个根,求该一次函数的解析式;

(2)设点M、N的横坐标分别为m、n,试探索四边

形MNFK面积与四边形HKEG面积两者的数量关系;

(3)求证:MD =CN。

(1)解得a1=1,a2=3,… 1’ OE=1,OF=3 … 1’ 得M(1,6),N(3,2)… 1’ 得直线MN解析式y??2x?8 … 1’

(2)说明DNFH、DMEG、DMKH为平行四边形 … 1’ SDMEG=ME·OE=6?m=6 … 1’ m

6?n=6 … 1’ ∴SMNFK=SHKEG … 1’ n

66 (3)①几何法:OE=m,OF=n,EF=n-m, ME=,NF=, … 1’ nmSDNFH= NF·OF=

6

FCNFa设FC=a,∵△CNF∽△CME ∴ ,即??n,得a=m … 2’ ECMEa?n?m6

m

再证△EGO≌△CNF,EG=MD,得MD =CN … 1’

?6?m?km?b666或②代数法:设直线MN为y=kx+b,? 得y??x?? … 1’ 6mnmn??kn?b?n

得D(0,66?) C(m+n,0)… 1’ mn

(0?m)2?(666236??)?m2?2mnmn ,DM=

636CN=(m?n?n)2?(0?)2?m2?2 … 1’ ∴DM=CN … 1’ nn

3.(本题满分12分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分3分,第(3)小题满分4分)

在平面直角坐标系xOy中(如图7),已知二次函数y?x?bx?c的图像经过点2

A(0,3)和点B(3,0),其顶点记为点C.

(1)确定此二次函数的解析式,并写出顶点C的坐标;

(2)将直线CB向上平移3个单位长度,求平移后直

线l的解析式;

(3)在(2)的条件下,能否在直线上l找一点D,

使得以点C、B、D、O为顶点的四边形是等腰梯形.若

能,请求出点D的坐标;若不能,请说明理由.

24.(本题满分12分,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分5分)

在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y?2x沿y轴向上平移1个单位,再沿x轴向右平移两个单位,平移后抛物线的顶点坐标记作A,直线x?3与平移后的抛物线相交于B,与直线OA相交于C.

(1)求△ABC面积;

(2)点P在平移后抛物线的对称轴上,如果△ABP与△ABC相似,求所有满足条件的P点坐标.

2

24.(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题8分,满分12分)

已知二次函数y??x2?4x?m的图像经过点M(1,0).

(1)求这个二次函数的解析式,并求出函数图像的顶点坐标;

(2)已知一次函数y?2x?b的图像分别与x轴、y轴相交于点A、B,(1)中所求得的二次函数的图像的对称轴与一次函数y?2x?b的图像相交于点C,并且对称轴与x轴相交于点D.如果S?AOB?

24.(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题

解:(1)∵二次函数y??x2?4x?m的图像经过点M(1,0), 1S?ADC,求b的值. 4x (第24题图)

∴?1?4?m?0.……………………………………………………………(1分) ∴m = -3.……………………………………………………………………(1分) ∴所求函数的解析式是y??x2?4x?3.…………………………………(1分) 又y??x2?4x?3??(x?2)2?1,∴顶点坐标是(2,1).………………(2分)

(2)由(1)得二次函数图像的对称轴是直线x = 2,∴D(2,0).…………(1分)

b

,0)、B(0,b)、C(2,4 + b).……………………(2分) 2

∵对称轴直线x = 2与y轴平行,

由题意得,A(?

∴△AOB∽△ADC.…………………………………………………………(1分) S?AOB?OB?b211 ∴.………………………………(1分) ?????,即2S?ADC?CD?4(b?4)4

2

4

解得 b1?4,b2??.……………………………………………………(2分)

34

经验证,b1?4,b2??都是满足条件的m的值.

3

24.如图所示,矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D、G分别在边AB、AC上,AH

为BC边上的高,AH交DG于点P,已知AH?3,BC?5.

(1)设DG的长为x,矩形DEFG面积为y,求y关于x的函数解析式及其

定义域;

(2)根据(1)中所得y关于x的函数图像,求当矩形DEFG面积最大时,DG的长为多少?

矩形DEFG面积是多少?.

第24.(本题满分12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分) 24题图

如图,已知抛物线与x轴交于点A(?2,0),B(4,

0)(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;

(2)设直线CD交x轴于点E.在线段OB存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P如果存在,求出点P24.解:(1)设该抛物线的解析式为y?ax?bx?由抛物线与y轴交于点C(0,8),可知c=8.

即抛物线的解析式为y?ax?bx?8. ………………………1分 把A(?2,0),B(4,0),代入, 得?

2

2

?4a?2b?8?0

?16a?4b?8?0

解得a??1,b?2.

∴ 抛物线的解析式为y??x?2x?8 ……………………………………………3分 ∴ 顶点D的坐标为(1,9). ……………………………………………………2分

(2)设OB的垂直平分线交x轴于点H,直线CD交线段OB的垂直平分线于点F,

直线CD的解析式为y?kx?b(k?0)

∴ b?8,k?1,即直线CD的解析式为y?x?8

∴ 点E坐标为 (-8,0), 点F坐标为 (2,10),EH=FH=10,EF=102 …2分 假设线段OB的垂直平分线上存在点P,那么令点P坐标为 (2,m),

过点P作PQ⊥CD交CD于点Q,则有OP=PQ=4?m,PF=10?m ……2分 由题意知,Rt△FPQ∽Rt△FEH. 22

PQFP∴.∴ ?EHEF4?m210?m? 1010 解得 m??83?10 ……………………………………………1分 ∴ 点P坐标为 (2,?83?10), …………………

24.(本题满分12分,每小题满分各4分)

在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(?,0),点B在第二象限,OB?,

2,一个二次函数

y?axcot?AOB?3(如图11)(1)试确定点B的坐标;

(2)求这个二次函数的解析式;

(3)设这个二次函数图像的顶点为C,△ABO时针方向旋转,点B落在y轴的正半轴上的点DE上,试求sin?ECD的值.

图11

24.已知抛物线y?ax2?4ax?c与y轴交于点A?0,3?,点B是抛物线上的点,且满足AB∥x轴,点C是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的对称轴及B点坐标;

(2)若抛物线经过点??2,0?,求抛物线的表达式;

(3)对(2)中的抛物线,点D在线段AB上,若以

点A、C、D为顶点的三角形与?AOC相似,试求点D的坐标.

24. 解(1)由题意得,x??(第24题图) ?4a,∴对称轴为直线x?2;…………………(2分) 2a

∵点A?0,3?,点B是抛物线上的点,AB∥x轴,

∴AB被直线x?2垂直平分,∴B?4,3?.………………………………………(1分)

?c?3,(2)∵抛物线经过点?0,3?,??2,0?,所以有?,……………(2分) 4a?8a?3?0?

1?12?a??,解得?4,∴抛物线的表达式为y??x?x?3.………………………(1分) 4??c?3.

(3)∵抛物线的对称轴为直线x?2,∴C?2,4?,…………………………(1分) 过点C作CE?y轴,垂足为点E,设对称轴与AB交于点F.……………(1分) ∵AB∥x轴,∴?CFA?90?,∴?CEO??CFA, CE21CF1CECF,∴?EOC∽?FAC,…………(1分) ??,?,∴?OE42AF2OEAF

∴?AOC??CAF,………………………………………………………………(1分)

AOCO当?AOC∽?DAC时,有,

?ADAC又∵

∵AO?3,CO?AC?,∴AD?3?3?,∴D?,3?;…………………(1分) 2?2?

当?AOC∽?CAD时,有AOCO, ?ACAD

∴AD?10?10?,∴D?,3?,………………………………………………………(1分)

3?3?

?3??10?综上所述满足条件的点D的坐标为?,3?或?,3?. ?2??3?

24.(本题满分12分,其中第(1)小题3分,第(2)小题4分,第(3)小题5分)

已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y?x2?bx?c(b?0)的图像经过点A(-1,b),与y轴相交于点B,且∠ABO的余切值为3.

(1)求点B的坐标;

(2)求这个函数的解析式;

(3)如果这个函数图像的顶点为C,求证:∠ACB=∠ABO.

24.解:(1)根据题意,得b=1+b+c.……………………………………………………(1分)

∴c= -1.…………………………………………………………………………(1分) ∴B(0,-1).……………………………………………………………………(1分)

(2)过点A作AH⊥y轴,垂足为点H.

∵∠ABO的余切值为3,∴cot?ABO?BH ?3.……………………………(1分)AH

而AH=1,∴BH=3.

∵BO=1,∴HO=2.………………………………………………………………(1分) ∴b=2.……………………………………………………………………………(1分) ∴所求函数的解析式为y?x2?2x?1.………………………………………(1分)

(3)由y?x2?2x?1?(x?1)2?2,得顶点C的坐标为(1,-2).…………(1分) ∴AC?25,AB?,BC?2,AO?5,BO=1.…………………(1分) ∴ACABBC ???2.………………………………………………………(1分)ABAOBO

∴△ABC∽△AOB.………………………………………………………………(1分) ∴∠ACB=∠ABO. ………………………………………………………………(1分)

24. (本题满分12分)

如图,已知△ABC为直角三角形,?ACB?90,AC?BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1

经过点B、D.

(1)用m表示点A、D的坐标;

(2)求这个二次函数的解析式;

(3)点Q为二次函数图像上点P至点B之间的一点,

?

(第24题图)

且点Q到△ABC边BC、AC的距离相等,联结PQ、BQ,

求四边形ABQP的面积.

24. 如图,抛物线y??125x?x?2与x轴相交于A、B,与y轴相交于点C,过点C作22

CD∥x轴,交抛物线点D.

(1)求梯形ABCD的面积;

(2) 若梯形ACDB的对角线AC、BD交于点E,求点E的坐标,并求经过A、B、E三点的抛物线的解析式;

(3)点P是射线CD上一点,且△PBC与△ABC相似,求符合条件的P点坐标.

24.(1) A (1, 0) 、B(4,0)、C(0,

-2)------------------------------------3

S梯形------------1

(2) 由抛物52

ENBE 过E作EN⊥AB,??OCBC3,EN?453E(,?)24

153y?(x?)2?324xE?

2

(3) 当点P在C的左侧,由题意有?PCA??BAC,

若ACAC?△PAC∽△BAC;此时CP=3,P(-3,-2); ------2 ?PCAB

ACAB55?△PAC∽△ABC;此时CP=,P(-,-2).---2 ?33PCAC若

当点P在C的左侧,由题意有?ACP??ABC??ACB??CAB,不存在。

24.(本题满分12分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分4分,第(1)小题满分5

分)

如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y?x?bx?c经过A(0,3),B(1,0)两点,顶点为M.

(1)求b、c的值;

(2)将△OAB绕点B顺时针旋转90°后,点A落到点C的位置,该抛物线沿y轴上下平移后经过点C,求平移后所得抛物线的表达式;

(3)设(2)中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A1,顶点为M1,若点P在平移后的抛物线上,且满足△PMM1的面积是△PAA1面积的3倍,求点P的坐标.

24.(本题满分12分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分)

解:(1)已知抛物线y?x?bx?c经过A(0,3),B(1,0),

∴?22?3?c, …………………………………………………………………(2分) ?0?1?b?c.

?b??4,解得?……………………………………………………………………(1分) c?3.?

∴b、c的值分别为-4,3.

(2)?A(0,3),B(1,0),∴OA?3,OB?1,

可得旋转后C点的坐标为(4,……………………………………………………(2分) 1).

当x?4时,由y?x?4x?3得y?3,

可知抛物线y?x?4x?3过点(4,3).

∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C.

∴平移后的抛物线解析式为:y?x?4x?1.…………………………………(2分)

(3)?点P在y?x?4x?1上,可设P点坐标为(x0,x0?4x0?1),

2将y?x?4x?1配方得y??x?2??3,……………(1分) ?其对称轴为x?2.222222

?S△PMM1?3S△PAA1 MM1?AA1?2 ∴x0?2.

①当0?x0?2时,?S△PMM1?3S△PAA1, 11?2??2?x0??3??2?x0, 22

32∴x0? , 此时x0?4x0?1??. 4

13∴P点的坐标为(,

?).…………………………………………………………(2分)24∴

11?2??2?x0??3??2?(?x0), 22

2∴x0??1 , 此时x0?4x0?1?6.

∴点P的坐标为(?1,……………………………………………………………(2分) 6).

13综上述,可知:点P的坐标为(,?)或(?1,6). 24②当x0?0时,同理可得

24.(本题满分12分,每小题各4分)

如图,在直角平面坐标系中,?ABC的顶点坐标分别是分别是A(1,0)、B(?3,0)、C(0,3),抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过点A、B、C,抛物线的对

称轴与BC交于点E.

(1)求抛物线的解析式及点E的坐标;

(2)联接EO,求?BEO的正切值;

(3)过点B作BP?BC,BP交抛物线于点

24.解: (1)把A(1,0)、B (-3,0)、C(0,3?a?b?c?0??9a?3b?c?0

?c?3?

?a??1?解得:?b??2

?c?3?

抛物线的解析式为y??x2?2x?3 ………………………3分 配方得:y??(x?1)2?4

所以抛物线的对称轴为直线x??1………………………1分 设直线BC的解析式为y?kx?b(k?0) 把B (-3,0)、C(0,3)代入y?kx?b中

??3k?b?0 ??b?3

?k?1解得:? c?3?

直线BC的解析式为y?x?3…………………1分 把x??1代入y?x?3,得y?2

所以点E的坐标为(-1,2) …………………1分

(2)

解法1:

? B(?3,0),C(0,3),A(1,0),E(?1,2) ∴BE?22,BO?3,BA?4,BC?32 ∴BO32BE222BEBO????,;∴ ?BC322BA42BABC

E

H 又?B??B,∴△BOE∽△BCA,…………………2分

∴?BEO??BAC…………………1分

OC∴在Rt△OBC中, tan?OAC??3 OA

∴tan?BEO?3…………………1分

解法2:过O点作OH?BC,垂足为H。………………1分 F 由题意可得,△EFB是Rt△ ,EF?BF?2,则BE?22,?EBF?45?。 ?OH?BC,BO?3,? BH?OH?

∴在Rt△EHO中, tan?BEO?322,∴EH?………………2分 22OH?3………………1分 EH

(3)

作BP?BC交y轴于点G,交抛物线于点P, 由BP?BC,可得?BEO?45?,∴OB?OG ∴点G的坐标为(0,?3)………………2分

由B(?3,0),G(0?3), H E

G

解得直线BP的解析式为y??x?3………………1分

解?x?3??x2?2x?3,解得x1??3,x2?2

?y??x2?2x?3?x1??3?x2?2,解得?,?,………………2分 ?y?0y??5y??x?3?1?2?

∴P点坐标为(2,-5) ………………1分

24.已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y?ax?bx?c?a?0?与x轴相交于A??1,0?,2

1B?3,0?两点,对称轴l与x轴相交于点C,顶点为点D,且?ADC的正切值为. 2

(1)求顶点D的坐标;

(2)求抛物线的表达式;

(3)F点是抛物线上的一点,且位于第一象限,联结AF,若?FAC??ADC,求F点的坐标.

24. 解:(1)∵抛物线与x轴相交于A??1,0?,B?3,0?两点,

∴对称轴l:直线x?1,AC?2;……………………………………(2分)

∵?ACD?90?,tan?ADC?1, 2

∴CD?4,∵a?0,∴D?1,?4?.……………………………………(2分)

(2)设y?a?x?1??4,………………………………………………(2分)

将x??1,y?0代入上式,得,a?1,…………………………………(1分)

所以,这条抛物线的表达为y?x2?2x?3. …………………………(1分)

(3)过点F作FH?x轴,垂足为点H.……………………………(1分)

设Fx,x2?2x?3,∵?FAC??ADC,∴tan?FAC?tan?ADC, ∵tan?ADC?2??1FH1,∴tan?FAC??,…………………………(1分)

2AH2

x2?2x?31∵FH?x?2x?3,AH?x?1,∴?,………………(1分) x?122

解,得x1?7?79?,x2??1(舍),∴F?,?.…………………………(1分) 2?24?

25.(本题满分14分,其中第(1)、(2)小题各4分,第(3)小题6分)

1已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y??x2?bx?c的图像经过点A3

(-1,1)和点B(2,2),该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D.

(1)求这个二次函数的解析式和它的对称轴;

(2)求证:∠ABO=∠CBO;

(3)如果点P在直线AB上,且△POB与△BCD相似,求点P的坐标.

25.解:(1)由题意,得(第25题图)

1?1???b?c,?3………………………………………………(1分) ?4?2???2b?c.3?

解得错误!未找到

源。……………………………………………………………………(1分) 引用

12∴所求二次函数的解析式为y??x2?x?2.……………………………(1分) 33

对称轴为直线x=1.……………………………………………………………(1分) 证明:(2)由直线OA的表达式y=-x,得点C的坐标为(1,-1).…………………(1分) ∵AB?,BC?,∴AB=BC.………………………………………(1分) 又∵OA?2,OC?2,∴OA=OC.………………………………………(1分) ∴∠ABO=∠CBO.………………………………………………………………(1分) 解:(3)由直线OB的表达式y=x,得点D的坐标为(1,1).………………………(1分)

14x?, 33

得直线与x轴的交点E的坐标为(-4,0).……………………………………(1分) ∵△POB与△BCD相似,∠ABO=∠CBO,∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD. 由直线AB的表达式y?

(i)当∠BOP=∠BDC时,

由∠BDC==135°,得∠BOP=135°.

∴点P不但在直线AB上,而且也在x轴上,即点P与点E重合.

∴点P的坐标为(-4,0).………………………………………………………(2分) (ii)当∠BOP=∠BCD时,

由△POB∽△BCD,得BPBD. ?BOBC

2. 5而BO?22,BD?2,BC?,∴BP?

又∵BE?2,∴PE?8. 5

作PH⊥x轴,垂足为点H,BF⊥x轴,垂足为点F.

PHPEEH∵PH∥BF,∴. ??BFBEEF

824而BF=2,EF=6,∴PH?,EH?. 55

4∴OH?. 5

48∴点P的坐标为(,).……………………………………………………(2分) 55

48综上所述,点P的坐标为(-4,0)或(,). 55

24.(本题满分12分,每小题满分4分)

已知一个二次函数的图像经过A?0,3?、B?4,3?、C?1,0?三点(如图12).

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)求tan?BAC的值;

(3)若点D在x轴上,点E在(1)中所求出的二次函数的图像上,且以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D、E的坐标.

24.(本题满分12分,每小题满分各4分)

已知:如图,直线y?x?15与x轴、y轴分别相交于点A和点B.抛物

线

1y??x2?bx?c 3

经过A、B两点.

(1)求这个抛物线的解析式;

(2)若这抛物线的顶点为点D,与x轴的另一个交点为点C.对称轴与x轴交于点H,

求△DAC

的面积;

(3)若点E是线段AD的中点.CE与DH交于点G,点P在y轴的正半轴上,△POH

是否能够与

△CGH相似?如果能,请求出点P的坐标;如果不能,请说明理由.

【正确答案】

解:(1)直线y?x?15与x轴、y轴的交点A?15,0?和点B?0,?15? (1分)

?12???15?15b?c?0?3?b?6?由已知,得?c??15,可以解得?. c??15?

(2分)

(1分)

解:(2)抛物线的解析式可变形为

(1分)

(1分) 抛物线的解析式为1y??x2?16x?153y??9,. 1?x?9?2?12, 312)以顶点坐标为(.

设y?0,则?

212?x?9??12?0, 3∴?x?9??36.

∴x1?3,x2?15,

(1分)

所以点C的坐标为(3,0). 以S△DAC?11DH?AC??12?12?7222. (1分)

解:(3)因为点E是线段AD的中点,点H是线段AC的中点,

∴点G是△DAC的重心.如图, 1DH?4, ∴GH?3

∴HO?9,CH?6. (1分) 设△POH∽△GHC时,PO:GH?HO:CH,

即PO:4?9:6

∴P1?0,6?. (2分)

△POH∽△CHG时,PO:CH?HO:GH,

即PO:6?9:4, ∴PO?27

2. ∴P?27?

2??0,2??

(1分)

∴△POH能够与△CHG相似,相似时点P的坐标为P1?0,6?或P?27?

2??0,2??.

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