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新人教版九年级数学(上)——点与圆的位置关系

发布时间:2013-10-28 13:35:43  

点与圆的位置关系 圆的第一定义:在一个平面内,线段OA绕它的一个端点O旋转一周,?则另一个端点A所形成的封闭曲线叫做__________;

圆的第二定义:圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于_______的所有点的组成的图形.

由圆的第二定义可知:圆上所有的点到圆心的距离都等于____________

共同探究:

问题1. 请你画图并想一想:当点分别在圆外和圆内时,点到圆心的距离与半径分别怎样呢?

结论归纳:如设⊙O的半径为r,点P到圆的距离为d,

则有:

点P在圆外 ? d __________r

点P在圆上 ? d __________r

点P在圆内 ? d ___ r

例1、(1)已知⊙O的直径为10cm,有一点P到圆心O的距离为3cm,求点P与圆有何位置关系?

(2)若有一点M到某圆的最大距离为8cm,最小距离为2cm,求这个圆的半径.

变式训练

⑴⊙O的半径r=5cm,圆心O到直线的AB距离d=OD=3cm.在直线AB上有P、Q、R三点,且有PD=4cm,QD>4cm,RD>4cm.P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的?

⑵Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,AB=13,AC=5,对C点为圆心,

与点A、B、D的位置关系是怎样的?

60为半径的圆13

问题2.按要求作图并归纳你的发现:

(1)过一个点(点A)作圆(你能作多少个) ;

(2)过两个点A、B作圆(你能作多少个);

(3)过三个点做圆吗?如果能,能作多少个?若不能,为什么?

A A B .

.. BC

归纳总结:

由作图⑴⑵⑶可归纳得出的结论是:

经过一点P可以作_______个圆;经过两点P、Q可以作________?个圆,?圆心在_________上;经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆,?圆心是________的交点.

1经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个. 探究发现:○

2经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.圆心叫做这个三角形的外 ○

心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

3三角形的外心就是三角形三条边中垂线的交点,它到三角形三个顶点的距离 ○

相等.

思考:随意画出四点,其中任何三点都不在同一条直线上,是否一定可以画一个圆经过这四点?请举例说明.

例1.某地出土一明代残破圆形瓷盘,如图所示.为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.

作法提示:可联想垂径定理的逆定理:弦的垂直平分线必经过____________,并平分弦所对的两条_____________.

例2

例2、已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5cm,BC=12cm,求△ABC的外接圆半径.

例3、如图,等腰△ABC中,AB=AC=13cm,BC=10cm,求△ABC外接圆的半径.

B C

仿练:如图,已知等边三角形ABC中,边长为6cm,求它的外接圆半径.

探究:过不在同一直线上的三点有且只有一个圆,那么过同一直线上的三点能不能画一个圆呢?

这个证明与我们以前学过的证明不同,它不是直接从题设推出结论,而是从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题的成立,这样的证明方法叫做反证法.

用反证法证明命题一般有下面三个步骤:

(1)假设命题的结论不成立;

(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;

(3)由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.

用反证法证明一个命题,在分析“从假设出发,经过推理论证,得出矛盾”这一步骤时,一定要注意推理的严密性,每一步都要有理论根据,并且一定要真正理解矛盾在哪里,和学过的什么矛盾.

例题:用反证法证明:一个三角形中不能有两个直角.

已知:△ABC.

求证:∠A、∠B、∠C不能有两个角是直角.

1.下列说法:

①三点确定一个圆;

②三角形有且只有一个外接圆;?

③圆有且只有一个内接三角形;

④三角形的外心是各边垂直平分线的交点;

⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等;

⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内,其中正确的个数有(? )

A.1 B.2 C.3 D.4

2.如图,Rt△ABC,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,则它的外心与顶点C的距离为( ).

A.2.5 B.2.5cm C.3cm D.4cm

C

AO

第2题图 第3题图 第4题图

D

3.如图,若△ABC内接于⊙O,AB是直径,BC=4,AC=3,CD平分∠ACB,则弦AD长为

4、(2009年甘肃庆阳)如图,⊙O的半径为5,弦AB=8,M是弦AB上的动点,则OM不

A可能为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

5. ⊙O的半径10cm,根据下列点P到圆心O的距离,判断点P和圆O的位置关系. C(1)PO=8cm (2)PO=10cm (3)PO=12cm

6. 在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,以A为圆心,使B、C、D三点中至少有一点在圆内,至少有一点在圆外,求此圆的半径R的范围.

7.如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是弧AB上一点,连结BD,并延长至E,连结AD若AB=AC,∠ADE=65°,试求∠BOC的度数.

E

D

A7题 O

8.如图,通过防治“非典”,人们增强了卫生意识,大街随地乱扔生活垃圾的人少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图所示,A、B、C?为市内的三个住宅小区,环保公

司要建一垃圾回收站,为方便起见,?要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问如果你是工程师,你将如何选址.

8题

9、(2009年江西省)在数轴上,点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )

A.当a<5时,点B在⊙A内 B.当1<a<5时,点B在⊙A内 AC.当a<1时,点B在⊙A外 D.当a>5时,点B在⊙A外 C

10、如图,点A、D、M在半圆O上,四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式正确的是( ) BA、a>b>c; B、a=b=c; C、c>a>b; D、b>c>a. OFC

11、如果点A到⊙O的最短举例是3cm,最长距离是6cm,则⊙O的半径是cm.

12、已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,则它的外心与顶点C的距离为 cm.

13、已知⊙O的半径为1,点P与圆心O的距离为为d,且方程x-2x+d=0没有实数根,则点P与⊙O的位置关系是 .

2

14、棱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:E、F、G、H四点在以O为圆心的同一个圆上.

15、如图,⊙O′经过坐标原点,点O′的坐标为(1,1),试判断p(-1,1)Q(1,0),R(2,2)与⊙O′的位置.

16、如图,直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD=4,BC=9,M为AB的中点,以CD为直径画⊙P.

⑴当CD的长取何值时,点M在⊙P外? ⑵当CD的长取何值时,点M在⊙P上?

⑶当CD的长取何值时,点M在⊙P内?

第16题图

AN的中点,17、如图,MN是⊙O的直径,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=90°,B为?

P为直径MN上一动点,求PA+PB的最小值.

一、基础知识填空

1.平面内,设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有d>r?点P在⊙O______;

d=r?点P在⊙O______;d<r?点P在⊙O______.

2.平面内,经过已知点A,且半径为R的圆的圆心P点在__________________________

_______________.

3.平面内,经过已知两点A,B的圆的圆心P点在______________________________________

____________________.

4.______________________________________________确定一个圆.

5.在⊙O上任取三点A,B,C,分别连结AB,BC,CA,则△ABC叫做⊙O的______;⊙

O叫做△ABC的______;O点叫做△ABC的______,它是△ABC___________的交点.

6.锐角三角形的外心在三角形的___________部,钝角三角形的外心在三角形的__________

___部,直角三角形的外心在________________.

7.若正△ABC外接圆的半径为R,则△ABC的面积为___________.

8.若正△ABC的边长为a,则它的外接圆的面积为___________.

9.若△ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=24cm,则它的外接圆的直径为___________.

10.若△ABC内接于⊙O,BC=12cm,O点到BC的距离为8cm,则⊙O的周长为___________.

二、解答题

11.已知:如图,△ABC

作法:求件△ABC的外接圆O.

综合、运用、诊断

一、选择题

12.已知:A,B,C,D,E五个点中无任何三点共线,无任何四点共圆,那么过其中的三

点作圆,最多能作出( ).

A.5个圆 B.8个圆 C.10个圆 D.12个圆

13.下列说法正确的是( ).

A.三点确定一个圆

B.三角形的外心是三角形的中心

C.三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点

D.等腰三角形的外心在顶角的角平分线上

14.下列说法不正确的是( ).

A.任何一个三角形都有外接圆

B.等边三角形的外心是这个三角形的中心

C.直角三角形的外心是其斜边的中点

D.一个三角形的外心不可能在三角形的外部

15.正三角形的外接圆的半径和高的比为( ).

A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3

16.已知⊙O的半径为1,点P到圆心O的距离为d,若关于x的方程x2-2x+d=0有实根,

则点P( ).

A.在⊙O的内部 B.在⊙O的外部

C.在⊙O上 D.在⊙O上或⊙O的内部

二、解答题

17.在平面直角坐标系中,作以原点O为圆心,半径为4的⊙O,试确定点A(-2,-3),

B(4,-2),C(?23,2)与⊙O的位置关系.

18.在直线y?3x?1上是否存在一点P,使得以P点为圆心的圆经过已知两点A(-3,2),2

B(1,2).若存在,求出P点的坐标,并作图.

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