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3.3圆周角和圆心角的关系(第1课时)ppt

发布时间:2013-10-29 10:44:47  

3.3 圆周角和圆心角的关系

圆周角定理(1)

一、温故知新:
1.圆心角的定义?
O

答:顶点在圆心的角叫圆心角.
B

.
C

2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的 关系?

答:相 等.

课堂测验
111.如图,⊙O中,∠AOB=100o ,则AB弧的度数为 n ______,AnB弧的度数为______。 260o 100o 2 O
A B 2.圆的一条弦把圆分为度数的比为1∶5的两条弧,如 果 3 3 圆的半径为6,那么这弦的弦心距等于______,弦长等 6 于___。 3

课堂测验
3 (1.相等的圆心角所对的弧相等 (× ) (2、等弦对等弧( × ) (3 、等弧对等弦( √ ) (4 、长度相等的两条弧是等弧( × ) (5、平分弦的直径垂直于弦( × )

二、探索新知:

探索1:

·

·

思考: 两个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位 置?角的两边和圆是什么关系?

圆 周 角
在射门游戏中(如图), 球员射中球门的难易程度 与他所处的位置B对球门AC 的张角(∠ABC)有关.
A B


A

C

O

B

C

思考: 图中的∠ABC的顶点A各在 圆的什么位置?∠ABC的两边 和圆是什么关系?

圆 周 角

探索2:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?

圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边 都和圆相交的角叫圆周角.
B

A

O C

.

特征: ①角的顶点在圆上.
②角的两边都与圆相交.

练习:
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角,并说明理由。

不是
图1 图2

不是
图3



不是
图4

不是
图5

类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中, 相等的弧所对的圆周角有什么关系?

为了解决这个问题,我们先探究一条弧所 对的圆周角和圆心角之间有的关系.

圆周角和圆心角的关系
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与

圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?
说说你的想法,并与同伴交流.

教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.

圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况: 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周 角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.

∵∠AOC是△ABO的外角, C ∴∠AOC=∠B+∠A. 老师期望: O 你可要理 ∵OA=OB, 解并掌握 ∴∠A=∠B. B 这个模型. ∴∠AOC=2∠B. 1 一条弧所对的圆 即 ∠ABC = 2∠AOC. 周角等于它所对的圆 你能写出这个命题吗? 心角的一半.


A

圆周角和圆心角的关系
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 老师提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: 1 1 ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 2 2
A D O C



1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2

B

你能写出这个命题吗?

一条弧所对的圆 周角等于它所对的圆 心角的一半.

圆周角和圆心角的关系
如果圆

心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 老师提示:能否也转化为1的情况?
A C B


过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD =

O

1 一条弧所对的圆 ∴∠ABC = ∠AOC. 周角等于它所对的圆 2 你能写出这个命题吗? 心角的一半.

1 ∠AOD,∠CBD 2

1 = ∠COD, 2

圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A O B

1 即 ∠ABC = ∠AOC. A 2
C

A

C

C






O

B

O

B

老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.

做做看,收获知多少?
一、判断

1、顶点在圆上的角叫圆周角。( × )
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。( √ ) 二、计算 1、半径为R的圆中,有一弦分圆周成1:2两部分,则 弦所对的圆周角的度数是 60°或120°。
O

.

130° 2.如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=___。

O A
C
3、 如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D为半 圆上的两点,∠COD=500,则∠CAD=_________

B

做做看,收获知多少?
三、求圆中角x的度数
D C C O A 120°

.
B A

70° x

O x

.
B

分析:AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB. 则∠ACB= 2 ∠AOB.

习题1.如图:OA、OB、OC都是⊙O的半径 ∠AOB=2∠BOC. 1 求证:∠ACB=2∠BAC. ___ ⌒
1 ⌒ BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC= ___∠BOC

证明:∠ACB= 1 ∠AOB 2 1 ∠BAC= 2 ∠BOC ∠AOB=2∠BOC

2

O C B

A ∠ACB=2∠BAC
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同 www.1230.org 初中数学资源网 弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理

猜一猜

拓展 化心动为行动
D B C E A


1.如图(1),在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
A



O

B

D



O C

O

B

C (1)

A

(2)

(3)

2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么 关系?为什么? 3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗? www.1230.org 初中数学资源网

想一想

问题1:如图,在⊙ O 中,∠ ABC ,∠ ADC ,∠ AEC 的大小有 什么关系?为什么?
D
B


问题讨论

O C

E

∠ABC = ∠ADC= ∠AEC ⌒ ⌒

A

连接BE,若AB=AC,则∠BEA与∠ADC 的大小又有什么关系?
若已知∠BEA与∠ADC,你又会得到什么 结论?为什么?www.1230.org 初中数学资源网

想一想

问题讨论

问题2:如图1,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任一 点,你能确定∠BAC的度数吗? ∠BAC =90o 问题3:如图2,圆周角∠BAC =90o ,弦BC经过 圆心O吗?为什么?
A B
A O

O
图1

C

B



C

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图2

想一想

问题解答

1、圆周角定理的推论1:

用于找相 等的角

同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角

所对的弧也相等。

2、圆周角定理的推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径。

用于找相 等的弧

用于判断某个 用于判断某 圆周角是否是 条线是否过 www.1230.org 初中数学资源网 直角 圆心

1 如图,以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则OC与AD的 OC⊥AD 位置关系是_______。
OC∥BD OC与BD的位置关系是________。

2 在上题中,若AC = 2cm,则AD = __cm。 4
D

C A O O 1
B

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例1:如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延 长BD到C,使AC=AB. BD与CD的大小有什么关系? 为什么?
A O

E
C D

B

解:BD=CD. 理由是: 连接AD. ∵ AB是⊙O的直径, ∴ ∠ADB=90°, 即 AD⊥BC. 又∵ AC=AB, ∴ BD=CD.
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温故知新

圆周角定理

圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

A O

1 即 ∠ABC = ∠AOC. A 2
C
● ●

A

C
O B


C O

B

B

老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视. www.1230.org 初中数学资源网

思考题:如图,在⊙O中,DE=2BC,
∠ EOD=64°,求∠ A的度数。





E
C

A
B

O

D

一 、这节课主要学习了两个知识点: 1、圆周角定义。 2、圆周角定理及其定理及推论和应用。 二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透 了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思 想方法。 三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛,也 是中考的一个重要考点,望同学们灵活运用

4、AB、AC为⊙O的两条弦,延长CA到D, 使AD=AB,如果∠ADB=350,求∠BOC的度数。 ⌒ ⌒ 5、如图,在⊙O中,BC=2DE, ∠ BOC=84°,求∠ A的度数。


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