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27.2.1相似三角形判定(2)

发布时间:2013-10-29 11:44:43  

成比例 相等 1. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形, 叫做相似三角形 . 对应角相等 成比例 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
3.如何识别两三角形是否相似? ? 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延 长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
A D B E CB D O E

∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C

练习:
1.如图,在△ABC中, DG∥EH∥FI∥BC, △ADG∽△AEH∽△
AFI∽△ABC

(1)请找出图中所有的相似三角形;

(2)如果AD=1,DB=3,那么DG: A BC=_____。 1:4
D E

F
B

G H I C

2.如图,△ABC 中,DE∥BC, GF∥AB,DE、GF交于点O, 则图中与△ABC相似的三角形共 有多少个?请你写出来.
解: 与△ABC相似的三角形有3个:A

△ADE
△GFC △GOE
B D O

G E C

F

3、如图,E是平行 四边形ABCD的边BC 的延长线上一点, 连接AE交CD于F,则 图中共有相似三角 形_______对

3

A F B C

D

E

任意画一个三角形,再画一 个三角形,使它的各边长都是原 来三角形各边长的K倍,度量这 两个三角的对应角,它们相等吗? 这两个三角形相似吗?相互交流 一下,看看是否有同样的结论.

三边对应成比例
A

A’
B’

B

C

C’

A'B' B'C' A'C' = = AB BC AC 是否有△ABC∽△A’B’C’?

已知:如图△ABC和△A`B`C`中 A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ABC∽△A`B`C`

A`

证明:在△ABC的边AB(或延 长线)上截取AD=A`B`,

B` A

C`

过点D作DE∥BC交 AC于点E.
B

D

E

C

A

A’
C

B

A'B' B'C' A'C' = = AB BC AC 如果一个三角形的三组对应边的 比相等,那么这两个三角形相似.

C’ △ABC∽△A’B’C’
B’

简单地说: 三边对应成比例,两三角形相似.

类似于判定三角形全等的方法, 我们能通过两边和夹角来判断两个 三角形相似呢?

如果两个三角形的两组对应边 的比相等,并且相应的夹角相等,那 么这两个三角形相似.
类似于证明通过三边判定三角形相似 的方法,请你自己证明这个结论.

已知:如图△ABC和 A` △A`B`C`中,∠A=∠A` , ∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. C` B` 求证:△ABC∽△A`B`C`
A

D

E

B

C



思考

对于△ABC和△A’B’C’, 如果, ∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗? 试着画画看.

A

4
50°

3.2 3.2 D G
2
50°

B

C

1.6 F

E

判断图中△AEB和△FEC是否相似?
AE 54 解: ∵ = =1.5 FE 36

B

A

45 1 E 36 F ∴ AE = BE 2 FE CE 54 30 C ∵∠1=∠2

BE 45 = =1.5 CE 30

∴△AEB∽△FEC

已知:如图,在正方形ABCD中,P是BC上 的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.ΔADQ与 ΔQCP是否相似?为什么?

例1:根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’ 是否相似,并说明理由. (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.

∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.
(2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm, A’B’=12cm,B’C

’=18cm,A’C’=21cm.

AB BC AC = = , 试说明 1.如图已知, AD DE AE

∠BAD=∠CAE.

AB BC AC 解? = = AD DE AE

A

E C

D ∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE

2如图,AB?AE=AD?AC,且∠1=∠2, 求证:△ABC∽△AED.
A 1 D B 2 C

E

3.已知:如图,P为△ABC中线AD上 2 的一点,且 BD = PD AD 求证:△ADC∽△CDP.
A P B D C

如图在正方形网格上有△A和?1C1C2, 如图在正方形网格上有?A1 B1C11B A2 B2 和△A 它们相似吗?如果相似,求出相似比;如果 2B2C2,它们相似吗?如果相似,求出相 似比;如果不相似,请说明理由。 不相似,请说明理由。
答案是2:1

如果有一点E在边AC上,那么点E应该在什么 位置才能使△ADE△ABC相似呢? 此时, AE 1 C AD 1 =? =? AB 3 AC 3

B D A
E

行 = A A

要作两个形状相同的三角形框架,其中 一个三角形的三边的长分别为4、5、6, 另一个三角形框架的一边长为2,怎样 选料可使这两个三角形相似? ①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4 5

6

2

如图,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为 B、C,且AB=8,DC=6,BC=14,BC上是 否存在点P使△ABP与△DCP相似?若有, 有几个?并求出此时BP的长,若没有, 请说明理由。
8
6 14

相似三角形的判定方法

方法2: 平行于三角形一边的直线与
其他两边(或延长线)相交,所构成的三 角形与原三角形相似;

?

方法1:通过定义(不常用)

三个角对应相等 三边对应成比例

方法3: 三边对应成比例的,两三角形
相似.

方法4两边对应成比例且夹角相等,两
三角形相似.

4.如图:在△ABC中,点M是
BC上任一点, MD∥AC, BD 2 CE B ME∥AB, = , 求 . AB 5 AC
解:∵MD∥AC, ∴△BDM∽△BAC MC 3 BD BM 2 ∴ = = , BC = 5 BA BC 5 D

A E

2份 M 5份

3份

C

又∵ ME∥AB, ∴△CEM∽△CAB CE CM 3 = ∴ = 5 CA CB

1、如图,在 ABCD中,E是边BC 上的一点,且BE:EC=3:2,连接 AE 、 BD 交 于 点 F , 则 3:5A BE:AD=_____,BF:FD=_____。 3:5 2、如图,在△ABC中, ∠C的平分线交AB于D, B 过点D作DE∥BC交AC于 E , 若 AD:DB=3:2 , 则 EC:BC=______。 3:5
A F

D

E

C B

D

E

C

请你帮忙:
图纸上上有不锈钢三角架的长分别为 3cm,4cm,5cm,库存的不锈钢条有两根中,一根长 60cm,另一根长180cm,工人师傅想用其中一根做 三角架的一边,在另一根上取两截,用来做三角 架的另外两边,使做成的三角架与图纸上的形状 相同(即图形相似)。请帮他确定:共有几种不同 的做法(焊接用料略去不计)?哪一种放大的倍数 最大?最大的倍数是多少?
4cm

5cm

3cm

学以致用


A

B

C

D

如图:一条河流,在河流 的北岸点A处有一根高压电 线杆。河流的南岸点B处有 一颗大树。且电线杆在大树 的正北方向上。在大树的

正 东方的点C处有一雕像,你 能利用本节课学习的知识大 致测算出电线杆A与大树B之 间的距离吗? 若用皮尺测得:BC=40米, CD=20米,DE=60米,你能计算 出电线杆A与大树B之间的距离 吗?

E

已知:如图△ABC和△A`B`C`中 A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ABC∽△A`B`C`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E. ∴ △ADE∽△ABC ,AD:AB=AE:AC=DE:BC, ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
D B` A

A`

C`

∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
因此DE=B`C`,EA=C`A`. ∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽△ABC
B

E

C


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