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线段的比

发布时间:2013-10-29 12:42:16  

本节内容
3.2

线段的比
——3.2.1 线段的比, 成比例线段

自主探究
做一做
图3-7的(1)和(2)都是故宫某宫殿的照片,(2) 是由(1)缩小得到的,因此这两张照片是相似的. 在照片(1)中任意取两个点P,Q,在照片(2) 中找出对应的两个点P′,Q′,量出线段PQ, P′Q′的长度.计算它们的长度的比值.
Q P Q′ P′

(1)

图3-7

(2)

自主探究
一般地,如果选用同一长度单位量得两条线段 n PQ, ?Q? 的长度分别为m,n,那么把长度的比m 叫 P 作这两条线段 P?Q?与PQ的比,记作 P ?Q?????? n ,或 P?Q? :PQ = n : m, PQ m

n 其中 P?Q?,PQ分别叫作比的前项、后项,如果 m 的比值为k,那么也可写成 P ?Q??????k,或 PQ P?Q?= k · . PQ

自 主 探 究

例如,照片(1)和(2)中宫殿的上屋檐的两端点 A 分别记作A,B,A′,B′.量出线段AB, ?B? 的长度, 计算 A?B???? = . AB 照片(1)和(2)中宫殿下屋檐的两端点分别记作 C C,D,C′,D′.量出线段CD, ?D?的长度,计算 C ?D???? = . CD
A C B D A′ B′

C′

D′

(1)

图3-7

(2)

自 主 探 究

上面的线段 A?B?和AB是对应线段,C ?D?和CD也是 对应线段.在照片(2)和(1)中继续找一些对应线段,量 出它们的长度,计算对应线段的比. 你发现照片(2)和(1)中对应线段的比有什么规律?

照片(2)和(1)中对应 线段的比都等于0.5.
(1) (2) 图3-7

自主探究
A?B???? C ?D?? 在上述照片(1)和(2)的例子中,有 AB CD

一般地,在四条线段中,如果其中两条线段的 比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成 比例线段.

情境引入
1、设线段AB=2cm,AC=4cm,
1 两条线段的长度比是 2:4= 2
两 条 线 段 单 位 要 统 一

2、设线段AB=200cm,AC=4m,

两条线段的长度比是 200:400= 200:4=

1 2

知识点1

什么叫做两条线段的比呢?

如果选用同一长度单位量得两条线段 a ,b 的长度分别为m ,n ,那么两
a m 条线段的比 a∶b = m∶n 或 ? b n 其中a,b分别叫做这个线段比的前项和后 项.

m 如果把 表示成比值k , 那么 n a ? k , 或a ? k ? b. b

注意事项:线段的比
1、求两线段的比时,长度单位必须统一, 若单位不同,先应化为同一长度单位; 2、两线段的比的最后结果应约分、化简;

3、两线段的比是一个没有单位的正数;
4、两线段的比是有顺序的;

5、a:b=k,说明a是b的k倍;
6、两线段的比与选用的同一度量单位无关。

例1:如图,DE是△ABC的中位 0.5 线,则DE:BC=________.


D B

E
C

1 例2:正方形两边长之比为_________.

已知四条线段a、b、c、d , a c 如果 = , 或 a:b=c:d, b d

知识点2

那么 a、b

、c、d 叫做组成比例的项, 线段 a、d 叫做比例外项,

线段 b、c 叫做比例内项,
线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.

知识点2

如果作为比例内项的是两条相同的线段 ,
a b 即 = c , 或 a:b=b:c, b

那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项. a b = c, b 三种不同形式: a:b=b:c, b2=ac,

例题讲解
例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段:

(1)a=4,b=6,c=5,d=10; 5 1 a 4 2 c 解 (1) ∵ ? ? ? ? b 6 3 d 10 2
a c , ? ∴ b d




∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段.

例题讲解
(2)a=2,b= 5 ,c= 2 15,d=5 3 .
a 2 2 5 c 2 15 2 5 ? (2) ∵ ? ? ? b 5 d 5 3 5 5

a c ∴ ? b d




线段a、b、c、d是成比例线段.

判断四条线段是否成比例的方法有两种:
(1)把四条线段按大小排列好,判断前两条线 段的比和后两条线段的比是否相等。 (2)查看是否有两条线段的积等于其余两 条线段的积 。

巩固练习

1.判断下列线段是否是成比例线段: (1)a=2cm,b=4cm,c=3m,d=6m; (2)a=0.8,b=3,c=1,d=2.4.

知识点3

线段的比与成比例线段的异同

相同:都是线段的长度的比;

不相同:(1)数量上:线段的比是2, 成比例线段是4. (2)形式上:成比例线段可写 成“比例式”,而“比例式” 是等式。 (因而具有等式的各个性质, 此外还有一些特殊性质。)

知识点4

比例尺

1、 地图上的比例尺,表示图上距离比实际距离缩小的程度, 因此也叫缩尺。 2、用公式表示为:比例尺=图上距离/实际距离。 3、比例尺通常有三种表示方法。 (1)数字式,用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。 例如地图上1厘米代表实地距离500千米, 可写成:1∶50 000 000或写成:五千万分之一。 (2)线段式,在地图上画一条线段,并注明地图上1厘米所代表 的实际距离。 (3)文字式,在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距 离多少千米,如图上1厘米相当于地面距离10千米。 三种表示方法可以互换,必须划单位。

已知:A、B两地相距320 km,那么在比例尺1∶20, 000,000的地图上,它们 1.6 相距_____ cm.

练习

1. 你觉得甲、乙、丙、丁四个图形中,哪些图形可能 是将左图利用复印机放大或缩小得到的新图形?









答:甲、丁.

2. 图3-8是天坛公园的平面图,图中的1 cm代表实 际 长度的220 m.

图3-8

(1)此平面图的比例尺(即图上长度与实际长度的比) 是多少? 答:1:22000. (2)从最南边的昭亨门到北天门的实际距离是多少米? 答:1892 m.

图3-8

(3)从西天门到东天门的实际距离是多少米? 答:1452 m. (4)用AB,CD分别表示图3-8中西

天门与东天门的 AB 连线段,昭亨门与北天门的连线段,求 CD ?. 答: 1452???0.767. 1892

图3-8

3. 图3-9是两个户型的平面设计图.左、右两个户型 A 中,阳台的长边分别用AB, ?B? 表示,阳台的短 边分别用BC, ?C ?表示. B

A?B? B?C ? (1)求 AB , BC ; B (2)线段 A?B?,AB, ?C ?,BC是成比例线段吗?

图3-9

A?B? B?C ? (1)求 AB , BC ; A?B? ? 1.80 ? 9 ,B?C ? ? 0.85 ? 17 . 答: AB 1.60 8 BC 0.70 14

B (2)线段 A?B?,AB, ?C ?,BC是成比例线段吗?

答: A?B?,AB,B?C ?,BC 不是成比例线段.

图3-9

知识总结
两条线段的长度比叫做这两条线段的比
如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说 这四个数成比例. 我们把 a、b、c、d 这四个数成比例, 表示成

a c = , b d

或 a:b=c:d,

a、d 叫做比例外项, b、c 叫做比例内项,

判断下列各组线段是否成比例?
1、a=2,b=3,c=4,d=1; 2、a=1.1,b=2.2,c=3.3,d=4.4; 3、a=20cm,b=10cm,c=20cm,d= 40cm; 4、a

? 2,b ? 5,c ? 15,d ? 2 3; ? 2,b ? 3,c ? 2,d ? 3.

5、a

例2 已知线段a=10mm , b=6cm, c=2cm , d=3cm .
问:这四条线段是否成比例?为什么? 答:这四条线段成比例. ∵a=10mm=1cm

d 3 1 = = b 6 2

a d ? = c b

即线段a、c、d、b成比例.

想一想: 是否还可以写出其他几组成比例的线段.
答:可以.

a c = 如: d b

c b = a d

d b = a c








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