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2.3.1离散型随机变量的数学期望人教B版

发布时间:2013-10-29 13:50:14  

大连普兰店 邵亚莲

一、复习回顾
1. 离散型随机变量的分布列
X

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · · · · ·

P

p1

p2

pi

2. 离散型随机变量分布列的性质: (1) pi≥0,i=1,2,…; (2) p1+p2+…+pi+…=1.
3. 离散型随机变量的分布列:确定随机变量相关事件的概率。
例如,某班同学在一次数学测验中的总体水平 ---------平均分期望; 要了解某班同学数学成绩是否“两极分化” ----------方差.

一、复习引入
3.常见的离散型随机变量分布列:
(1)两点分布

X P
(2)超几何分布

1 p

0 1-p

X

0
0 n CM C N ? M n CN

1
1 n CM C N?1M ? n CN


?

m
m n C M C N? m ?M n CN

P

二、互动探索
某学校为了了解交通拥堵对学生们上学迟到的影响情 况,每天记录由于交通问题迟到的同学人数,下表是 100天中每天由于交通原因迟到人数的情况 人数 0 1 2 3

天数

30

30

20

20

那么这所学校每天平均有多少人由于交通原因迟到 呢?

计算100天中记录的迟到总和是: 0x30+1x30+2x20+3x20=130

二、互动探索
平均每天迟到的人数为:

0 ? 30 ? 1? 30 ? 2 ? 20 ? 3 ? 20 130 ? ? 1.3 100 100
上式改写成

30 30 20 20 0? ? 1? ? 2? ? 3? 100 100 100 100 ? 0 ? 0 . 3 ? 1 ? 0 . 3 ? 2 ? 0 . 2 ? 3 ? 0 .2 ? 0 .2

二、互动探索
人数和对应频率列表为 迟到人数 频率 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2

概率可以理解为频率的稳定值所以随机变 量X的概率分布列: X P 1
3 10

2
3 10

3
2 10

4
2 10

3 3 2 2 X ? 0 ? ? 1? ? 3 ? ? 3 ? ? 1.3 10 10 10 10

1、离散型随机变量取值的平均值 数学期望 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X
P
则称

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

xn

p1

p2

pi

· pn · ·

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn
为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散 型随机变量取值的平均水平.

三、例题讲解

X=1或X=0

例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,则他罚球1次的得分X的均值是多少?
X P 1 0.7 0 0.3

P(X=1)=0.7

EX ? 1? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7

一般地,如果随机变 量X服从两点分布, 那么EX=?
小结:

EX ? 1? p ? 0 ? (1 ? p) ? p
X P 1 p 0 1-p

一般地,如果随机变量X服从两点分布,



EX ? 1 ? p ? 0 ? (1 ? p) ? p

例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,他连续罚球3次; (1)求他得到的分数X的分布列; (2)求X的期望。
解:(1) X~B(3,0.7)
X P 0 1
3

2
2

3

0 .3

C 0.7 ? 0.3
1 3

C 0.7 ? 0.3
2 3 2

0 .7

3

1 (2) EX ? 0 ? 0.33 ? 1 ? C 3 0.7 ? 0.32 ? 2 ? C 32 0.7 2 ? 0.3 ? 3 ? 0.7 3

EX ? 2.1 ? 3? 0.7


例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,他连续罚球3次; (1)求他得到的分数X的分布列; (2)求X的期望。
解:(1) X~B(3,0.7)
X P 0 1
3

2
2

3

0 .3

C 0.7 ? 0.3
1 3

C 0.7 ? 0.3
2 3 2

0 .7

3

1 (2) EX ? 0 ? 0.33 ? 1 ? C 3 0.7 ? 0.32 ? 2 ? C 32 0.7 2 ? 0.3 ? 3 ? 0.7 3

EX ? 2.1 ? 3? 0.7

如果X~B(n,p),那么 EX=?

小结:

一般地,如果随机变量X服从二项分布,

即X~B(n,p),则

EX ? np

练一练: 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球次

数的数学期望是

3

.

证明:若ξ~B(n,p),则Eξ=np
证明: ? P(ξ ? k) ? C p q
k n k n ?k

(k ? 0,1,2,? ?, n) ?

? Eξ ? 0 ? C 0 p 0 q n ? 1? C1 p1q n ?1 ? ? ? ? ? n n kCk p k q n ?k ? ? ? ? ? nC n p n q 0 n n

? np(C0 ?1p 0 q n ?1 ? C1 ?1p1q n ?2 ? ? ? ? ? n n C
k ?1 n ?1

p q

k ?1 ( n?1)?( k?1)

? ??? ? C

n ?1 n ?1

p

n ?1

q )

0

? np( p ? q)
所以

n ?1

? np.

若ξ~B(n,p),则Eξ=np.

例3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球, 从中摸出3个球. (1)求得到黄球个数ξ的分布列; (2)求ξ的期望。 解:(1) ξ 服从超几何分布 ξ 0 1 2 P
0 3 C2 C3 3 C5 1 2 C2C3 3 C5 2 1 C2 C3 3 C5

小结: 一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几 何分布,则 E ? X ? ? nM
N

1 6 3 (2) E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1.2 10 10 10

1、如果随机变量X服从两点分布,
X 1 0

P

p

1-p



EX ? p

2、如果随机变量X服从二项分布,即 X~B(n,p),则

EX ? np
nM EX ? N

3、如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分
布,即X~H(n,M,N),则

例1

根据历次比赛或训练记录,甲乙两射手在同样的条件 射击,成绩的分布列如下

射手 甲 乙

8环 0.3 0.2

9环 0.1 0.5

10环 0.6 0.3

试比较甲乙两射手射击水平高低.

例题
1.从 5个红球和5个黑球中取出4个球,求其中
含红球个数的均值?

离散型随机变量X的均值求法

附加练习.某商场的促销决策:

统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利 2万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元; 如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下 雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式?
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益X万元,则X的分布列

X 10 -4 P 0.6 0.4 所以EX=10×0.6+(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.


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