haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

初中数学最短路径问题

发布时间:2013-10-29 13:50:16  

八年级

上册

13.4 课题学习 最短路径问题

课件说明
? 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究,让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题,再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间,线段最短”(或“三角形两边之和大 于第三边”)问题.

课件说明
? 学习目标: 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形 的变化在解决最值问题中的作用,感悟转化思想. ? 学习重点: 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线 段最短”问题.

引入新知

引言: 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问 题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.

探索新知
问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访 海伦,求教一个百思不得其解的问题: 从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然 后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短?

B
A l

探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 问题”. 你能将这个问题抽象为数学问题吗?

B
A l

探索新知
追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?

将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线. · A· l
B

探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?

(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A, B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地 到饮马地点,再回到B 地的路程之和;

探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?

(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上 面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小(如图). B A
C l

探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? B · 追问1 对于问题2,如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处,满足直线l 上的任意一点 C,都保持CB 与CB′的长度 相等?

探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的

什么位置时,AC 与CB 的和最小? B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识,找到上问中符合条 l 件的点B′吗?

探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? B 作法: · A (1)作点B 关于直线l 的对称 点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交 于点C. 则点C 即为所求.
·

C

l

B′

探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

·

A

·

B

C

l

B′

探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不 重合),连接AC′,BC′,B′C′. B 由轴对称的性质知, · A BC =B′C,BC′=B′C′. · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′, C AC′+BC′ = AC′+B′C′. B′

探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?

证明:在△AB′C′中, AB′<AC′+B′C′, ∴ AC +BC<AC′+BC′. 即 AC +BC 最短.

·

A

·

B

C′ C

l

B′

探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时,为什么要在直线l 上 任取一点C′(与点C 不重合),证明AC +BC <AC′ +BC′?这里的“C′”的作用是什么? B · A 若直线l 上任意一点(与点 · C 不重合)与A,B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC,就说明AC + C BC 最小. B′

探索新知
追问2 回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的? B

·

A

·

C′ C

l

B′

造桥选址问题
如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在 河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平 行的直线,桥要与河垂直)
A

B

思维分析
A

1、如图假定任选位置造 桥MN,连接AM和BN,从 A到B的路径是AM+MN+BN, 那么怎样确定什么情况下最短 呢?




B

2、利用线段公理解决问题我们遇到了什 么障碍呢?

思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提 下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助 我们呢?

各抒己见
1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连. 4、把桥平移到和B相连.

学古 子有 搬愚 桥公 ,移 呵山 呵, 今 有

!

合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请 检验. 1、2两种方法改变了. 怎样调整呢? 把A或B分别向下或上平移一个桥长 那么怎样确定桥的位置呢?

问题解决
A

如图,平移A到A1,使A A1等于河宽,连接A1B 交河岸于N作桥MN,此 时路径AM+MN+BN 最短.

A1

M N

M1 N1
B

理由;另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.

由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1. AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M

1N1+BN1 转 化为AA1+A1N1+BN1. 在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B 因此AM1+M1N1+BN1> AM+MN+BN

归纳小结

(1)本节课研究问题的基本过程是什么?

(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?

布置作业

教科书复习题13第15题.


网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com