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三角形内切圆

发布时间:2013-10-30 08:03:40  

漕河镇中数学组

o.


o.

1、定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这 个三角形叫做圆的外切三角形。 2、性质: 内心到三角形三边的距离相等; 内心与顶点连线平分内角。
A

O

B

C

三角形外接圆
C

三角形内切圆
C

. o
A B B

. o
A

外接圆圆心:三角形三边 垂直平分线的交点。

内切圆圆心:三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径:交点到三 角形任意一边的垂直距离。

外接圆的半径:交点到三 角形任意一个定点的距离。

例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm, 求AF、BD、CE的长.

解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF=AE,BD=BF,CE=CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE=z(cm) 则有 x+y=9 y+z=14 x+z=13 x=4 解得 y=5 z=9

∴ AF=4(cm), BD=5(cm),

CE=9(cm).

例.如图,△ABC 中,∠C =90o,它的 内切圆O分别与边AB、 BC、CA相切 于点D、E、F,且 B BD=12,AD=8, 求⊙O的半径r.

A

D

F O E

C

三角形的内切圆的有关计算 如图,△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S. 连结OA、OB、OC、OD、OE、OF, 则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC +S△AOC = =
1 1 1 AB· OD+ 2 BC· OE+ 2AC· OF 2 1 l· r 2

A D F O

解:设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,

·
C

B

E

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S, 2S 则△ABC的内切圆的半径 r= a+b+c

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b, AB=c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求:Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解:设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F, 连结OD、OE、OF则OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD 设AD= x , BE= y ,CE= r 则有 x+r=b y+r=a x+y=c
D O F

·
B

a+b-c C 解得 r= 2 a+b-c
2

E

设Rt△ABC的直角边为a、b,斜边为c,则Rt△ABC的
内切圆的半径 r=

或r= a+b+c

ab

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4, ⊙O为 Rt△ABC的内切圆. (1)求Rt△ABC的内切圆的半径 . (2)若移动点O的位置,使⊙O保持与△ABC的边AC、 BC都相切,求⊙O的半径r的取值范围。

解:(1)设Rt△ABC的内切圆与三边相
切于D、E、F,连结OD、OE、OF则 OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 在Rt△ABC中,BC=3,AC=4, ∴AB=5 ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD

A F D O

·
B

C E 由已知可得四边形ODCE为正方形,∴CD=CE=OD

设AD= x , BE= y ,CE= r x+r=4 则有 y+r=3 解得 r=1 ∴ Rt△ABC的内切圆的 半径为1。 x+y=5

(2)如图所示,设与BC、AC 相切的最大圆与BC、AC的切 点分别为B、D,连结OB、OD, 则四边形BODC为正方形。

A

∴OB=BC=3 ∴半径r的取值范围为0<

r≤3

D

O ·

几何问题代数化是 解决几何问题的一 种重要方法。

C

B

例2 如图,在△ABC中,点O是内心, 若 ∠ABC=50°, ∠ACB=70°,求∠BOC的度数 A (1)∵点O是△ABC的内心, 1 1 ∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= ?50°= 25° 2 2 B
1 1 同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= ?70° = 35° 2 2 ∴ ∠BOC=180 °-(∠1+ ∠3)

O
2 )1 4 3(

C

= 180 °-(25°+ 35 °) =120 °


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