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第25章解直角三角形专题

发布时间:2013-10-30 09:32:51  

第25章解直角三角形专题

姓名:

一、选择题

1.(2013贵州安顺,6,3分)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行( )

A.8米 B.10米 C.12米 D.14米

2.在Rt△ABC 中, ∠C=90?,AB=4,AC=1,则cosA的值是( )

1(A

(D)4 4

?23.计算:(tan30?1)=( )

(A)1?3?1 (D)1-3 (B)3?1 (C)33

1

24.在?ABC中,?A,?B都是锐角,且sinA=, cosB=

(A)直角三角形 3,则?ABC的形状( ) 2(B)钝角三角形 (C)锐角三角形 (D)不能确定

tanB?

5.如图,在Rt△

ABC中,

(A)3 (B)4 BC?,则AC等于( ) 2(D)6 (C

【答案】:B.

【解析】如图,设大树高为AB=10m,小树高为CD=4m,过C点作CE⊥AB于E,则EBDC是矩形,连接AC,

∴EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6m,

在Rt△AEC中,AC==10m.

【方法指导】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.根据“两点之间线段最短”可知:小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所行的路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出.

6.[2013山东菏泽,7,3分]如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S

、S2,则S1+S2的值为( )

【答案】B.

【解析】根据等腰直角三角形、勾股定理先求出面积分别为S1的边唱是大正方形对角线的S2正方形的边长组成直角三角形斜边长是大正方形对角线的一半.

满分解答:边长为6的大正方形中,对角线长为6?6?62.

∴面积为S1小正方边长为62?22A.16 B.17 C.18 D.19 1,3 12=8;小正方S2= (22)?22,面积S1=3

121(62?)??9,∴S1+S2=8+9=17.故选B. 22

【方法指导】本题主要考查正方形性质.熟悉正方形有关性质是解题的关键.

7.(2013四川泸州,12,2分)如图,在等腰直角?ABC中,?ACB?90,O是斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且?DOE?90,DE交OC于点P.则下列结论:

(1)图形中全等的三角形只有两对;

(2)?ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍;

(3)CD?CE?

22??; (4)AD?BE?2OP?OC.其中正确的结论有( )

第12题图

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题(每小题3分,共24分)

sin60?

1.计算?tan45?的值是 . ?cos30

2. 用“>”或“<”号填空:sin50??cos40??

?1.(可用计算器计算) 2 B

3.在Rt△ABC中,?C?90,BC:AC?3:4,则cosA? .

4.如图,一架梯子斜靠在墙上,若梯子到墙的距离AC=3米,

3cos?BAC?,则梯子AB的长度为米. 4

5.如图,一轮船由南向北航行到O处时,发现与轮船相距40海里

的A岛在北偏东33方向.已知A岛周围20海里水域有暗礁,

如果不改变航向,轮船 (填“有”或“没有”)触暗礁

的危险.(可使用科学计算器)

6. 如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足为E,DE=6cm, ?

C

sinA?32,则菱形ABCD的面积是__________cm. 5

7. (2013江苏扬州,17,3分)矩形的两邻边长的差为2,对角线长为4,则矩形的面积为 .

【答案】6.

【解析】分析:设矩形一条边长为x,则另一条边长为x-2,然后根据勾股定理列出方程式求出x的值,继而可求出矩形的面积.

解:设矩形一条边长为x,则另一条边长为x-2.

由勾股定理得,x2+(x-2)2=42.

整理得,x2-2x-6=0. [ww&w.~z*zs#tep.co@m]来源:zzst&~ep.c#om%]

解得:x=1

或x=1

-1.则矩形的面积为:(1

-1)=6.所以应填6. [www.z#zste&*p~.co@m]

【方法指导】本题考查了勾股定理及矩形的性质,难度适中,解答本题的关键是根据勾股定理列出等式求处矩形的边长,要求同学们掌握矩形面积的求法.

【易错警示】解题时,用勾股定理可能出错,解一元二次方程可能出错.

8.(2013湖北荆门,15,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=3,则DE=______. 5

C A

(第15题)

【答案】15.

【解析】∵AB=BC=10,∴AC

8.∵D是AB的中点,∴AD=1AB=5.∵sinA2

∠ADE=∠C=90°,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB.∴DE=AD.∴DE=5.即DE=BCAC6815. 4

【方法指导】本题另一解法是利用勾股定理,即连结BE,则BE=AE.在Rt△BCE中用勾股定理求出BE的长,然后在Rt△BDE中用勾股定理求出DE的长.

9.(2013山东德州,17,4分)如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上,下列结论:①CE=CF②∠AEB=75③BE+DF=EF④S正方形ABCD=2+3,其中正确的序号是 。(把你认为正确的都填上)

【答案】①②④.

【解析】∵在正方形ABCD与等边三角形AEF中,∴AB=BC=CD=DA,AE=EF=AF,

∴△ABE≌△ADF,∴DF=BE,有DC-DF=BC-BE,即 CE=CF,①正确;∵CE=CF,∠C=90°,∴∠FEC=45°,而∠AEF=60°,∴∠AEB=180°-60°-45°=75°,②正确;根据分析BE+DF≠EF,③不正确;在等腰直角三角形CEF中,CE=CF=EF·sin45°=2.在Rt△ADF中,设

222(x?2)?2,解得,x1=AD=x,则DF=x-2,根据勾股定理可得,x?2?6, 2x2?2?62?22()=2+,④正确. (舍去). 所以正方形ABCD面积为x?22

【方法指导】本题考查正方形与等边三角形.本题涉及正方形、等边三角形相关知识,同时应用勾股定理、全等三角形等解题.具有一定的综合性.解题的关键是对所给命题运用相关知识逐一验证.

10.(2013四川凉山州,26,5分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 。

【思路分析】要使△ODP是等腰三角形时,要分情况加以讨论. 来来源中@国教育&来*~源中国教育出版网&%]

【解】由题意, 矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点, 点P在BC上运动, ∴点D的坐标为(5,0).

故设点P的坐标为

(x,4), (第26题图)

由题意得OD=5,

0P?

?

当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,可在分以下两种情况: ①当OP=5时

,,解得x=3或x=-3(舍去); ②当PD=5时,

时,解得x=2或x=8。

所以点P的坐标为(3,4)或(2,4)或(8,4)。 【方法指导】如果一个三角形是等腰三角形时,要三种情况考虑,但是本题说明了腰为长5,所以只分两种情况即可。

11. (2013广东省,14,4分)在Rt△ABC中,?ABC?90,AB=3,BC=4,则. 【答案】

4

. 5

【解析】画图,如答案图所示:

Rt△ABC中,?ABC?90,AB=3,BC=4,由勾股定理得AB=5,所以sinA=

BC4

=. AB5

【方法指导】关于三角函数的问题,通常都需要图形,如果没有图形,要自己画图. 三、解答题(本大题共52分)

1.

(本题8

45??sin60?)?

. 4

2.(本题12分)海中有一个小岛P,它的周围18海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点A测得小岛P在北偏东60°方向上,航行12海里到达B点,这时测得小岛P在北偏东45°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁危险?请说明理由.

3.(本题12分)如图,AC是某市环城路的一段,AE,BF,CD都是南北方向的街道,其与环城路AC的交叉路口分别是A,B,C.经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上,AB=2km,∠DAC=15°.

和(1)求B,D之间的距离;

F 平

路(2)求C,D之间的距离. 文

E

山路

化路

D

C

B

4.(2013四川南充,21,8分)如图,公路AB为东西走向,在点A北偏东36.5°方向上,距离5千米处是村庄M;在点A北偏东53.5°方向上,距离10千米处是村庄N(参考数据:sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.75).

(1)求M,N两村之间的距离;

(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P,使得M,N两村到站P的距离之和最短,求这个最短距离.

【答案】:解:(1)如图,过点M作CD∥AB,NE⊥AB.

在Rt△ACM中,∠CAM=36.5°,AM=5, 来源:%中教网#&]

∴sin36.5°=CM=0.6, 5

中%#国教育出版网~]∴CM=3,AC=4. 在Rt△ANE中,∠NAE=90°-53.5°=36.5°,AN=10,

NE∴sin36.5°==0.6, 10

∴NE=6,AE=8.中国教@育出#~版&网

在Rt△MND中,MD=5,ND=2,

∴MN=5?2?2229(km).

(2)作点N关于AB的对称点G,连接MG交AB于点P.

点P即为站点.

∴PM+PN=PM+PG=MG. 来源:^zz&step.co@~m%]

在Rt△MDG中,MG=5?10??55(km). ∴最短距离为5km.

【解析】(1)过点M作CD∥AB,NE⊥AB,在Rt△ACM中求出CM,AC,在Rt△ANE中求出NE,AE,继而得出MD,ND的长度,在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的长度. 22

(2)作点N关于AB的对称点G,连接MG交AB于点P,点P即为站点,求出MG的长度即可.

【方法指导】本题考查了解直角三角形的知识,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角函数值求解相关线段的长度,难度较大.

四、附加题

现代家居设计的“推拉式”钢窗,运用了轨道滑行技术,纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性,操作步骤如下:

(1)将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后,纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽(如图1).

(2)将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽(如图2).

(3)将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗,同时下边框嵌入窗框的下轨道槽(如图3). 在装卸纱窗的过程中,如图所示??的值不得小于81,否则纱窗受损.现将高96cm的矩形纱窗恰好安装在上、下槽深分别为0.9cm,高96cm(上、下槽底间的距离)的窗框上.试求合理安装纱窗时

的最大整数值.(下表提供的数据可供使用) ?

图1 图2 图3

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