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二次函数 精讲

发布时间:2013-10-30 10:38:14  

二次函数

知识点一:二次函数的图像的变化

1、请比较y?1211xy?(x?2)2,y?(x?2)2

2,22的图像有什么共同特征?顶点和

对称轴有什么关系?图像之间的位置能否通过适当的变换得到?由此,你发现了什么?

(1)y?1212xy?(x?2),向左平移两个单位??2的图像?????2的图像。

(2)y?112y?(x?2)2x向右平移两个单位??22的图像?????的图像。

2(3)总结二次函数y=a(x+ m)的图象和性质.

???????

2、比较

y?11(x?2)2,y?(x?2)2?3向上平移3个单位??22的图像?????的图像 y?11(x?2)2,y?(x?2)2?322与的图像关系 当m?0时向左平移m个单位

3、刚才得到的y?121xy?(x?2)2,2的图像与2的图像之间的位置关系,由此得y?12x2先向左平移2个单位,在向上平移3个单位,就可得出:只要把抛物线

y?到函数

1(x?2)2?32的图像。 1

例题训练:

(1)

(2)填空:

①由抛物线y=2x2向 ___________平移___________个单位可得到y= 2(x+1)2 ②函数y= -5(x -4)2的图象。可以由抛物线______向 ____平移 4 个单位而得到的。

1

y??(x?4)2

34、对于二次函数,请回答下列问题:

11

y??x2y??(x?4)2

3的图像作怎样的平移变换,就能得到函数3①把函数的图

像?

1

y??(x?4)2

3②说出函数的图像的顶点坐标和对称轴。

???????

2

当m?0m个单位y?ax规律总结:(a?0)的图像

当m?0时

向左平移m个单位

???????

12y?(x?2)2

当k?0m个单位y?a(x?m)?k 的2的图像 图像。

y?a(x?m)2?k的图像的对称轴是直线x=-m,顶点坐标是(-m,k) 。

2

当k?0时

向上平移m个单位

知识点2、二次函数 y=ax2+bx+c的平移规律:

二次函数的平移大致分为两类,即为上下平移和左右平移。

(1) 上下平移

2y?ax?bx?c 若原函数为

?向上平移m个单位,则平移后函数为y?ax2?bx?c?m?2?向下平移m个单位,则平移后函数为y?ax?bx?c?m

注意:①其中m均为正数,若m为负数则将对应的加(减)号改为(减)加号即可。

②通常上述变换称为上加下减,或者上正下负。

(2) 左右平移

2y?ax?bx?c,左右平移一般第一步先将函数的一般式化为 若原函数为

2y?a(x?h)?k然后再进行相应的变形 顶点式

?若向左平移了n个单位,则平移后的函数为y?a(x?h?n)2?k?2?若向右平移了n个单位,则平移后的函数为y?a(x?h?n)?k

注意:①其中n均为正数,若n为负数则将对应的加(减)号改为(减)加号即可。

②通常上述变换称为左加右减,或者左正右负。

典型例题:

2y?x?bx?c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得例1. 抛物线

2y?x?2x?3,则b、c的值为 ( ) 图像的解析式为

A . b=2,c=2 B. b=2,c=0 C . b= -2,c=-1 D. b= -3,

c=2

例22y?x?2x?3y?(x?h)?k的形式,则2.将二次函数配方成

y=______________________.

2y??x?3x?4是由函数 y=-x2-x-6 通过如何平移得到的 ? 例3.函数

3

知识点3、二次函数的轴对称变化:

二次函数的轴对称变换包括关于x轴对称、关于y轴对称两种方式:

1、二次函数图像关于x轴对称的图像,其形状不变,但开口方向相反,因此a值为原来的相反数。顶点位置改变,只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标,即可确定其解析式。

2、二次函数图像关于y轴对称的图像,其形状和开口方向都不变,因此a值不变。但是顶点位置会改变,只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标,即可确定其解析式。

典型例题:

1、求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。

2、在平面直角坐标系中,先将抛物线y=x2+x-2关于x轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为__________.

3、已知二次函数y=(x-1)2+2。

(1)求图象关于x轴对称的图象的关系式;

(2)求图象关于y轴对称的图象的关系式

4

知识点4、二次函数的中心对称变换:

中心对称变换主要有以下三种类型

类型一:关于原点中心对称

例1、已知函数y=(x-1)2+2。

(1)求绕顶点旋转180o后的函数关系式;

(2)求绕原点旋转180o后的函数关系式。

类型二:关于顶点中心对称

例2、把抛物线y=2x2-4x-5绕顶点旋转180o,得到的新抛物线的解析式是( )

A.y=-2x2 -4x-5 B.y=-2x2+4x+5 C.y=-2x2+4x-9 D.以上都不对

类型三:关于某个点对称

例3、在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180o,所得抛物线的解析式是_______________。

【课后作业】

1. 把抛物线y??x2向左平移一个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式为( )

A. y??(x?1)2?3 B. y??(x?1)2?3

C. y??(x?1)2?3 D. y??(x?1)2?3

2.将函数y?x2?x的图像向右平移a(a?0)个单位,得到函数y?x2?3x?2的图像,则a的值为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3.已知抛物线C:y?x2?3x?10,将抛物线C平移得到抛物线C?.若两条抛物线

C、C?关于直线x=1对称,则下列平移方法正确的是( )

A. 将抛物线C向右平移5个单位 B.将抛物线C向右平移3个单位 2

C.将抛物线C向右平移5个单位 D.将抛物线C向右平移6个单位

4、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所 5

得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有(

A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-15

c=21 ) C.b=3,c=3 D.b=-9,

5.已知二次函数的图像过点(0,3),图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴,向下平移1个单位后与x轴只有一个交点,则此二次函数的解析式为 。

6.、已知a?b?c?0,a≠0,把抛物线y?ax2?bx?c向下平移1个单位,再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式。

2知识点5、会结合图像确定y= ax+bx +c(a是常数,且a≠0,b是

常数,b≠0,c是常数,c≠0)的四种符号:

a的符号:看抛物线的开口方向:开口向上,a>0;开口向下a<0;

b的符号:有对称轴的位置和的a符号确定:

对称轴是y轴,b=0; b?02a对称轴在原点的左侧:; ?

b?0对称轴在原点的右侧,2a ?

c的符号:看抛物线与y轴交点的位置:交点在原点,c=0;

交点在原点以上,c>o;交点在原点以下,c<0。

b2-4ac的符号:看抛物线与x轴交点的个数:

抛物线与x轴有两个交点

抛物线与x轴有一个交点

抛物线与x轴没有交点

b2-4ac>0; b2-4ac=0, b2-4ac<0,

6

典型例题:

例1.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的顶点坐标是______,对称轴是______,

当x=______时,y有最值______;当a>0时,若x______时,y随x增大而减小.

1y??(x?3)2?12例2.抛物线有最______点,其坐标是______.当x=______时,

y的最______值是______;当x______时,y随x增大而增大.

例3.将抛物线y?12x3向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得的抛物线的解析式为______.

2例4.一抛物线和抛物线y=-2x的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,

3),则该抛物线的解析式为( )

A.y=-2(x-1)2+3 B.y=-2(x+1)2+3

C.y=-(2x+1)2+3 D.y=-(2x-1)2+3

知识点6、x1、x2两交点间的距离:

20?,B?x2,0?,由于x1、x2是方程y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1,若抛物线

bcx?x??,x?x?1212ax2?bx?c?0的两个根,故 aa AB?x1?x2?x1?x22?x1?x22

典型例题:

1y??x2?3x?23例1、求以二次函数与坐标轴的交点为顶点的三角形的面积 b2?4ac?b?4c?4x1x2???????aaa?a? 2

例2、已知二次函数图像的顶点坐标(3,-2),且图像与x轴两交点间的距离为4,求解析式。

7

知识点7、其它一些符号的判定:

(1)、a±b+c的符号:由x=±1抛物线上点位置确定

(2)、4a±2b+c的符号:由x=±2抛物线上点位置确定

(3)、2a+b的符号:对称轴与直线x=1的位置确定

(4)、2a-b的符号:对称轴与直线x=-1的位置确定

典型例题:

2y?ax?bx?c(a?0)的图象如图所示,?则下列结论: 例1.已知二次函数

①a、b同号;②当x?1和x?3时,函数值相等;③4a?b?0;

④当y??2时,x的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2y?ax?bx?c中,b=4a,它的图象如图,有以下结论: 例2、 抛物线

2①c?0; ②a?b?c?0 ③ a?b?c?0 ④b?4ac?0

⑤abc?0; ⑥4a?c;其中正确的为( )

A.①②

B.①④ D.①③⑤ C.①②⑥

2y?ax?bx?c(a?0)经过点(一1,例3、已知抛物线0),且满足4a?2b?c?0.以

22下结论:①a?b?0;②a?c?0;③?a?b?c?0;④b?2ac?5a.其

中正确的个数有 _____ 个

【课后作业】

1y??x2?231.已知抛物线,当1?x?5时,y的最大值是( )

8

257

A.2 B.3 C.3 D.3

2.二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示,反比列函数y?

y?bx在同一坐标系内的大致图像是( )

2

a

与正比列函数x

A

B

C

D

3.抛物线y?x?

x?p(p≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标是P,那么该抛物

线的顶点坐标是( ) A.(0,?2)

19

,?

B.(24)

1919?,?,?

C.(24) D.(24)

4.已知:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中: ①abc>0;②2a+b<0;③a+b<m(am+b)(m≠1的实数); ④(a+c)2<b2;⑤a>1.其中正确的项是( ) A.①⑤ B.①②⑤ C.②⑤ D.①③④

a2

y?x?2ax? (a?0)

25.设抛物线的顶点为P,与x轴交于A、B两点,当△PAB

2

为等边三角形时,a的值为_________.

6.已知如图,抛物线开口向上,顶点P的横坐标为-1,图像 与x轴的两个交点A、B(A在左边)间的距离为4, 且∠APB=90°,求抛物线的解析式.

9

A

P

O

Bx

2y?ax?2ax?3a(a?0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B7.已知,如图,二次函数

yx两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l

:对称.

(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;

(2)求二次函数解析式.

2y?x?2(m?1)x?m?1. 8.已知二次函数

(1) 随着m的变化,该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上?如果

是,请求出该抛物线的函数表达式;如果不是,请说明理由.

2y?x?2(m?1)x?m?1图象的顶点P,求y?x?1(2) 如果直线经过二次函数

此时m的值.

10

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