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新人教版数学八年级 上册 整数指数幂第一课时

发布时间:2013-10-31 08:03:29  





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(1)a m ? a n
n

正整数指数幂的运算性质:
m? n

( ? aa ? 0 m n mn (2)(a ) ? a (a ? 0
(4)a
m

m, n为正整数)
m, n为正整数)

n (a,n ? 0 m, n为正整数) (3)(ab) ? a b b

?a ? a
n
n

m?n
n

(a ? 0 m, n为正整数且m ? n)

a ?a? (5)? ? ? n b ?b? 0 (6)a ? 1

(a, b ? 0 m, n为正整数)
(a ? 0 , 零指数幂的运算)

根据上述性质,计算下列问题:
? 1 ? ? 1 ? 1 (1) ? ? ? ? ? 4 (2) ? 10 ? ? 10 ? 10
3

? ?3
6

2

?

2

81
2

(3) ? ? 2a ? ? ? ? b ?

5

32a (4) ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? 81 ? 5 ? ? ? ? 16 b ? 2? ? 2?
5

(5)

(-x2 y)3

? x 6 y 3 (6)

(π- 3.14)0

1

15.2.3 整数指数幂

必须要求 m﹥n,当m=n 或 m﹤n 时会如何? 计算下列各题,观察结果,你能得出什么结论?

观察第四条性质 a m ? a n

?a

m?n

思考是否

(1)

3 ?3
4
4
m

4 (2)
7

2 ?2
5


7

(3) a (4)

?a

(a ? 0)
(a ? 0, m是正整数)

a ?a

m?2

2 1 (2) 2 ? 2 ? 7 ? 2 2 2 5-7 -2 =2 =2 4 a 1 4 7 (3)a ? a = 7 ? 3 a a 4?7 ?3 ?a ?a
5 7

5

→2 } → }

-2

1 ? 2 2

a

?3

1 ? 3 a
?2

(4) a

m

?a

m? 2

a 1 ? m? 2 ? 2 a a m ? ( m ? 2) ?2 ?a ?a

m

→ }

a

1 ? 2 a

观察以上结论,你能得到什么?
负整数指数幂的意义:

a

?n

1 ? n a
?n

(a≠0,且n为正整数)
n

这就是说,

a (a ? 0) 是 a

的倒数

例1、根据负整数指数幂的意义,计算下 列各题: 1 1 1 (1) 2-1= 2 , 3-1= 3 , x-1= x , 1 1 1 ? 3 ? ? (2)(-2)-3= 8 ,(-3)-3= 27 ,(-x)-3= x ,
(3)

1 4-2= 16 ,
?1

1 (-4)-2= 16,

1 ? -4-2= 16 ,

?1? (4)? ? ? 2 , ?2?

16 ? 3? ?? ? ? 9 ? 4?
, ,

?2

? b? ? a ?? ? ? b ? a?

?1

负整数指数幂的意义:

a
?5

?n

1 ? n a

(a≠0,且n为正整数)

1 a ? 5 a

1 ?? ?5 a

1 ?? ?4 m 1 ? a5

a 1

?5

( ? m)

?4

??

1 n ?a ?n a

1 ?? ?4 ?m

例2、把下列各式转化为只含有正整数指 数幂的形式

1、a-3

1 3 a

2、x3y-2

x 2 y

3

1 ?2 4、 x 3 5、 1

1 3x 2

3、2(m+n)-2
2 2 (m ? n) 2 2?m ? n ?
1

3x ?2 ( 6、 3 x )

?2

x 3

2

1 2 9x

例3、 利用负整数指数幂把下列各式化成 丌含分母的式子:
(1)

1 x ? 3 y
2

x y

2

?3

(2)

y ? 4 xa
2m ?5 ( a ? b)

? yx a

?1

?4

(3)

2 m( a ? b )

5

正整数指数幂的运算性质是否适合负整数指数呢?

a ?a
3 3

5 -5

即 a ?a a
3

5? 3?5

a ?a
a
?3

即 a ? a
3

-5

?a

3?( ?5 )

?a

-5

即 a ? a

?3

-5

?a

?3?( ?5 )

am· an=am+n (a≠0,m、n为正整数) am· an=am+n 扩展到 (a≠0,m、n为整数)

整数指数幂有以下运算性质:

(1

)am· an=am+n

a ?3 ? a ?9 (a≠0,m、n为整数)

(2)(am)n=amn (a≠0、m、n为整数)

(3)(ab)n=anbn (a,b≠0、n为整数)

?a ? ?a b ?
2 ?3

2 3 ?2
8

(4)am÷an=am-n (a≠0、m、n为整数)
n n n

a ?a
4

a a (5)( ) ? (b≠0、n为整数) b b

(6)当a≠0时,a0=1。

a ?2 ( ) b

例4、 计算 (1) (a
?1

b)

3

a (2)
=
b 3 a
3

?2 2

b ? (a b )

2 ?3 ?3

解:(1)原式= a-3 b3 (2)原式= a-2b2· -6b9 a = a-8b11

=

b11 a8

?1? ? a

?1 2 ?3

bc

?

3
?3

? 2? a b ? ? a b ? ? 3? ? 2ab c ? ? ? a b ?
?2 3 2 ?2
2 ?3 ?2 ?2

3

思考题:代数式 (x-1)-2﹒(x+1)3 1、当x为何值时,有意义? 2、当x为何值时,无意义? 3、当x为何值时,值为零? 4、当x为何值时,值为正?

例5、下列等式是否正确?为什么?你能 得到什么启示?
(1)
(2)

a ?a ? a ?a
m n m
n

?n

?a? ?1 n n ?n ? ? ? (a ? b ) ? a ? b ?b?

结论:负整数指数幂的引入可使 (1)同底数幂的除法转化为同底数幂的乘法。 (2)分式的乘方转化为积的乘方。

例6 、计算下列各式 (1)

a b (?3a b ) ?2 ?3 9a b

?3 ?2

2 ?1

(a, b ? 0)

(2)

? ( a ? b ) ( a ? b) ? ? ?2 0 ? ? ( a ? b) ( a ? b) ?
?3 4

3

1. 负整数指数幂的意义:

小 结
1 ? n a

a
2.

?n

(a ? 0, n是正整数)

正整数指数幂的运算性质 推广到 全体整数指数幂的运算:

?(x ? 2y ) (x ? y ) ? (3) ?(x ? 2y ) (x ? y ) ?
2 ?1

?3 2 2 ?2
?1

? ?( x ? 2 y ) ( x ? y )
2

?3 2

? ? ?( x ? 2 y)

( x ? y)

2 2

?

把负整数指数写成 正整数指数的形式

? ?( x ? 2 y ) ( x ? y ) ?? ?( x ? 2 y ) ( x ? y )
4 ?6 ?2

4

?

积的乘方

? ?( x ? 2 y ) ( x ? y ) ?? ?( x ? 2 y ) ( x ? y )
4 ?6 ?2

4

?

? ( x ? 2 y)
2

4 ? ( ?2 )

( x ? y)
?2

?6 ? 4

? ( x ? 2 y) ( x ? y)
( x ? 2 y) ? 2 ( x ? y)
2

同底数幂相乘, 底数不变指数 相加

结果化为只含有 正整数指数的形 式


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