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一次函数的概念

发布时间:2013-09-18 15:45:43  

问题1:某登山队大本营所在地的气温为5℃, 海拔每升高1㎞气温下降6 ℃,登山队员由大本 营向上登高x㎞时,他们所在位置的气温是y ℃, 试用解析式表示y与x的关系。

y=5-6x
这个函数也可以写成: y=-6x+5 当登山队员由大本营向上登高0.5千米 时,他们所在位置的气温是多少?

当x=0.5时, y=-6×0.5+5=2

问题1:小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他
已存有50元,从现在起每个月节存12元.试写出小张的存款 数y(元)与从现在开始的月份数x之间的函数关系式.

12x+50 y=_______________ (2)
问题3:某城市的市内电话的月收费额w(单位: 元)包括:月租费22元,拔打电话x分的计时费(按 0.1元/分收取),试写出w(元)与x之间的函数关系式.

0.1x+22 w=_______________ (3)

问题4:把一个长10cm、宽5cm的长方形的长 减少a cm,宽不变,长方形的面积s(单位:平方 厘米)随a的值而变化,试写出s与a之间的函数关 系式

这些函数关系式有什么特点? (1)y=-6x+5 (3)W=0.1x+22 (2)y=12x+50 (4)s=-5a+50

概念:
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0) 的函数,叫做一次函数。 当b=0时,y=kx+b就变成了正比例函数 y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一 次函数。
一次函数 正比例函数

例1.下列函数关系式中,那些是一次函数? 哪些是正比例函数?

(1)y=2πx

(2)y=-x-4 (4)y=x2 -3x

1 (3) y ? x

(5) y=8x2+x(1-8x)

试一试 下列函数中哪些是一次函数,哪些又 是正比例函数?

(1) y ? ?8 x
8 (3) y ? ? x x (5) y ? ? 1 2
(7)y=2(x-4)

(2) y ? 5 x ? 6
2

(4) y ? ?0.5 x ? 1 2 ( 6) y ? ? 13 x
(8) x ?3 y? 2

你能举出一些一次函数的例子吗?

y?

1 1.已知下列函数:y=2x+1; y ? x x ?1
2

? x ;s=60t;y=100-25x,其中表示

一次函数的有( D ) (A )1个 ( B)2个 ( C)3个 ( D)4个

2.要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次 函数,n,m应满足 n=2 , m≠2 .

3.下列说法不正确的是( D )
(A)一次函数不一定是正比例函数

(B)不是一次函数就一定不是正比例函数
(C)正比例函数是特定的一次函数

(D)不是正比例函数就不是一次函数
4.若函数y=(m-1)x|m|+m是关于x的一次函数, 试求m的值.

例2.已知函数 y ? (m ? 3) x 是一次函数,求其解析式。
解: 由题意得:

m 2 ?8

?3

?m ? 8 ? 1 ? ?m ? 3 ? 0
2

? m ? ?3 ?? ?m ? 3

? m ? ?3
∴一次函数的表达式为

y ? ?3x ? 3

注意:利用定义求一次函数 y ? kx ? b 表达式时,要
保证

k ≠ 0,自变量x的指数是“1”

应用拓展
例:已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什
么值时, y是x的一次函数?当m取什么

值时,y是x的正比例函数?

已知y与x-3成正比例,当x=4时, y=3 .
(1)写出y与x之间的函数关系式;
解:

(2) y与x之间是什么

函数关系式;
(3)求x =2.5时, y的值

5、已知函数y=(m+1)x+(m2-1),
⑴当m取什么值时, y是x的一次函数?

⑵当m取什么值时,y是x的正比例函数?

小结
函数的解析式是用自变量的一次整式表 示的,我们称它们为一次函数.

一次函数通常可以表示为y=kx+b的形 式,其中k、b是常数,k≠0.
特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数 k≠0)也叫做正比例函数. 正比例函数也是一次函数,它是一次函数的 特例.

生活中的数学
1、汽车油箱中原有汽油50升,如

果行驶中每小时用油5升,求油箱
中的汽油y(单位:升)随行驶时间 x(单位:时)变化的函数关系式,并

写出自变量x的取值范围.y是x的一
次函数吗?

2.某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟内,只 开进油管,不开出油管,油罐进油至24吨后,将进油管 和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40 吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的 油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分 别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与 进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围. 分析: 解: (1)在第一阶段: (0≤x ≤8) 24÷8=3
∴ y= 3x (0≤x ≤8)

2.某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟内,只 开进油管,不开出油管,油罐进油至24吨后,将进油管 和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40 吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的 油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分 别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与 进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围. 解: (2)在第二阶段: (8≤x ≤8+16)
设每分钟放出油m吨,

则 16×3-16m =40-24
∴ y= 24+(3-2)(x-8) (8≤x ≤24) 即 y= 16+x

m =2

2.某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟内,只 开进油管,不开出油管,油罐进油至24吨后,将进油管 和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40 吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的 油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分 别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与 进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围. 解: (3)在第三阶段:
40÷2=20 ∴ 即 24+20 =44

y= 40-2(x-24) y=-2x +88 (24≤x ≤44)


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