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九年级数学上册 22.2.2《公式法解一元二次方程》课件 新人教版

发布时间:2013-09-18 15:45:43  

人教版数学九年级上册

22.2 降次——解一元二次方程

22.2.2

公式法

  ? 6x ? 3 ? 0 4x
2

4 x 2 ? 6 x ? 3, 解:移项,得:
3 3 x ? x? , 二次项系数化为1,得 2 4
2

配方,得: x 2 ? 3 x ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? , ? ? ? ?
2 ?4? 4 ?4?

2

2

温 故 知 新

3 ? 21 ? ?x? ? ? , 4? 4 ?

2

由此得:

3 21 x? ?? , 4 2

3 21 x1 ? ? , 4 2

3 21 x2 ? ? . 4 2

用配方法解一般形式的一元二次方程

ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0)
2

解:

移项,得

ax2 ? bx ? ?c
b c x ? x?? a a
2
2 2 2

方程两边都除以 a 配方,得 即

b c ? b? ? b? x ? x?? ? ? ? ?? ? a a ? 2a ? ? 2a ?
b ? b ? 4ac ? ? x ? 2a ? ? 4a 2 ? ?
2 2

用配方法解一般形式的一元二次方程

ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0)
2

∵a ? 0,4a ? 0 当
2

b ? 4ac ? 0
2



b b2 ? 4ac x? ? ? 2a 2a
2

特别提醒 一元二次方程 的求根公式

?b ? b ? 4ac ? x? 2a

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac x1 ? , x2 ? . 2a 2a

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0). 由上可知,一元二次方程

的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一 元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 2 ,当 b2 ? 4ac ? 0 ax ? bx ? c ? 0 时,将a,b,c 代入式子 就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程 的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫 做公式法,由求根公式可知,一元二次方程最 多有两个实数根。
?b ? b2 ? 4ac x? 2a

解方程:
解:

x ? 7 x ? 18 ? 0
2

?b ? b2 ? 4ac x? 2a

a ? 1 b ? ?7 c ? ?18

b2 ? 4ac ? (?7)2 ? 4 ?1? (?18) ? 121
7 ? 121 7 ? 11 ? x? ? 2?1 2
即:
x1 ? 9 x2 ? ?2

解方程:

x ? 3 ? 2 3x
2

?b ? b ? 4ac x? 2a
2

解: 化简为一般式:x 2 ? 2 3 x ? 3 ? 0

a ? 1、 b= - 2 3、 c= 3
? b2 ? 4ac ? ? 2 3 2 ? 4 ? 1 ? 3 ? 0 ( ) ? 2 3 ? 0 2 3 () ? x? ? ? 3 2?1 2
即:
x1 ? x2 ? 3

解方程:

? x ? 2??1 ? 3 x ? ? 6

?b ? b2 ? 4ac x? 2a

解:去括号,化简为一般式:

3x ? 7x ? 8 ? 0
2

a ? 3、 b= - 7、 c= 8
? b2 ? 4ac ? ? 7 2 ? 4 ? 3 ? 8 ( ) ? 49 ? 96 ? - 47 ? 0

? 方程没有实数解。

一元二次方程的根的情况

ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 2 (1)当 b ? 4ac ? 0时,有两个不等的实数根。
2

?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac x1 ? , x2 ? ; 2a 2a 2 (2)当 b ? 4ac ? 0 时,有两个相等的实数根。 ?b x1 ? x 2 ? ; 2a
2 2

(3)当 b 2 ? 4ac ? 0 时,没有实数根。

用公式法解一元二次方程的一般步骤:

b c 1、把方程化成一般形式,并写出 a、、 的值。
2、求出 b 2 ? 4ac 的值,

b2 ? 4ac ? 0 时,方程无解。 注意:当 ?

b ? b2 ? 4ac 3、代入求根公式: ? x ? 2a

x 4、写出方程的解: x1、 2

师生互动 巩固新知

?1?   3x
2

解:

? 6 x ? 2 ? 0  a ? 3, b ? ?6, c ? ?2.
2
2

b ? 4ac ? ? ?6 ? ? 4 ? 3 ? ? ?2 ? ? 60.
6 ? 60 6 ? 2 15 3 ? 15 x? ? ? , 6 6 3

3 ? 15 3 ? 15 x1 ? , x2 ? . 3 3

?2?   4x
解:
2

2

? 6x ? 0

a ? 4, b ? ?6, c ? 0.
b ? 4ac ? ? ?6 ? ? 4 ? 4 ? 0 ? 36.
2

? ? ?6 ? ? 36 6 ? 6 x? ? , 2? 4 8

3 x1 ? 0, x2 ? . 2

?3? x

2

? 4x ? 8 ? 4x ? 11 
2

解:化为一般式

x ? 3 ? 0 . a ? 1, b ? 0, c ? ?3.
2

b ? 4ac ? 0 ? 4 ?1? ? ?3? ? 12.
2

0 ? 12 ?2 3 x? ? , 2 ?1 2

x1 ? 3

x2 ? ? 3

(4) x?2 x ? 4? ? 5 ? 8x
解:化为一般式

2 x ? 4 x ? 5 ? 0 .
2

a ? 2, b ? 4, c ? ?5. 2 2 b ? 4ac ? 4 ? 4 ? 2 ? ? ?5? ? 56.
?4 ? 2 14 ?4 ? 2 14 x? ? , 2? 2 4

?2 ? 14 ?2 ? 14 x1 ? , x2 ? . 2 2

学以致用 求本章引言中的问题,雕像下部高度 x(m)满足方程 x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 解:得

? 2 ? 22 ? 4 ?1? ?? 4? ? 2 ? 20 x? ? ? ?1 ? 5, 2 ?1 2

x1 ? ?1 ? 5, x2 ? ?1 ? 5
精确到0.001,x1≈ 1.236,x2≈ -3.236 但是其中只有x1≈1.236符合问题的 实际意义,所以雕像下部高度应设 计为约1.236m。

拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x ? 2 x ? m ? 0 有两个实根,则m的取值范围是—— .
2

解:b2 ? 4ac ? (?2) 2 ? 4 ?1? m ? 4 ? 4m ? 0 ∴ m ?1 注意:一元二次方程有实根, 说明方程可能有两个不等实根 或两个相等实根的两种情况。

2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两 个不等的实根,则k的取值范围是 ( B ) A A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0

C. k<1

D. k<1 且k≠0

b2 ? 4ac ? (?2)2 ? 4k (?1) ? 4 ? 4k >0 解:∵
∴k>-1 又∵k≠0 ∴ k>-1且k≠0

小结与反思
1、这节课你获得了哪些知识与方法? 2、这节课你在解决问题的过程中,有 哪些易错点? 3、这节课你还有哪些疑惑未解决?

(3) x ? 4 x ? 8 ? 4 x ? 11
2


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