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24.1.4圆周角定理及其运用(1) 人教版

发布时间:2013-10-31 10:36:21  

24.1.4

圆周角

河北黄骅新世纪中学初三数学组王老师2010· 12· 10· 制作

复习旧知:请说说我们是如何给 圆心角下定义的,试回答?
顶点在圆心的角叫圆心角。

能仿照圆心角的定义, 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗? 顶点在圆上,并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角.

问题探讨:
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角?并说明理由。
P P

P

P 不是 顶点不 在圆上。 是 顶点在圆上, 两边和圆相 交。 不是 两边不和 圆相交。 不是 有一边和圆 不相交。

A


有没有圆周角? 有没有圆心角?
它们有什么共同的特点?

O B C
它们都对着同一条弧



实践活动
? 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A E


A E B D

C

O

B
D

C

⌒ AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小 有什么关系?

你能发现什么规律?

画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆 心在什么位置?

圆心在一边上

圆心在角内

圆心在角外

? 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
A C


A

A

C


C B


O

O

O

B
B

圆周角和圆心角的关系
? 1.首先考虑第一种情况: ? 当圆心O在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
?

∵∠AOC是△ABO的外角,
A

∴∠AOC=∠B+∠A. ?∵OA=OB, ?∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.
?



∠ABC =

1 ∠AOC. 2

期望:你 可要理解 并掌握这 个模型.

C


O

B

你能写出这个命题吗?

同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.

? 第二种情况:如果圆心不在圆周角的 一边上,结果会怎样? ? 2.当圆心O在圆周角(∠ABC)的内部时, 圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关 系会怎样?
?

A O

C


提示:能否转化为1的情况?

B A D O C

?

过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 ∠AOD, 2 1 ∠CBD = ∠COD, 2

?

∴ ∠ABC =

1 ∠AOC. 2
B



能写出这个命题吗?

同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.

? 第三种情况:如果圆心不在圆周角 的一边上,结果会怎样? ? 3.当圆心O在圆周角(∠ABC)的外部 时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大 小关系会怎样?
?

A C


O

提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2

B
A

?

C
B


?

= 1∠COD,
2

O



1 ∠ABC = ∠AOC. 2

你能写出这个命题吗?

同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.

巩固练习:

如图,点A,B,C,D在同一个圆上,四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角,这些角中哪些是相等的角?
D

A

1

8 7
6
C

2 3
B

4

5

在同圆或等圆中, 圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
D

我们把顶点在圆心

的周角等 分成360份时,每一份的圆心角是 1°的角。 因为同圆中相等的圆心角所 对的弧相等,所以整个圆也被 等分成360份。我们把每一份这 样的弧叫做1°的弧。
B

O

.

C

在同圆或等圆中,圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。

练习:
D

1.求圆中角X的度数
C

120°

O A

O

.
B

C A

70° x

O X

.

B

B C

A

2.如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=___。

在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等, 它们所对弧一定相等吗?为什么?

C

G
在同圆或等圆中,如果两个

A B

O F E

圆周角相等,它们所对的弧 一定相等.

? 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A E


A E B D

C

O

B
D

C

AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系?



规律:都相等,都等于圆心角∠AOC的一半 结论:同弧或等弧所对的圆周角相等。

探究与思考: 问题1:如图,AB是⊙O的直径,请问: ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
C1
A

C2

C3 B

O

问题2: 若∠C1、∠C2、∠C3 是直角,那么∠AOB 是 180° 。 推论:半圆(或直径)所对的 圆周角是直角;90°的圆周 角所对的弦是直径。

归纳: 定 理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周 角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.




C2 C1 C3

半圆(或直径)所对的圆周 角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径. 在同圆或等圆中,相等的圆周 角所对的弧相等

A

O

·

B

练一练
1、如图,在⊙O中,∠ABC=50°, 则∠AOC等于( ) O B D A、50°; B、80°; C、90°; D、100° 2、如图,△ABC是等边三角形, 动点P在圆周的劣弧AB上,且不 与A、B重合,则∠BPC等于( B ) A A、30°; B、60°; C、90°; D、45°
C
A

C

B

P

练一练
3、如图,∠A=50°, ∠ABC=60 ° BD是⊙O的直径,则∠AEB等于( B ) A、70°; B、110°; B C、90°; D、120°
A E D O C

4、如图,△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上,∠C=30 °,AB=2, 2 则⊙O的半径是 。
解:连接OA、OB ∵∠C=30 ° ,∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ,∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2,即半径为2。

C O

A

B

3:已知⊙O中弦AB的等于半径,

求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
圆心角为60度
O

圆周角为 30 度 或 150 度。

A

B

在⊙O中,∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A

2、如图,在⊙O中,AB为直径,CB = CF, 弦CG⊥AB,交AB于D,交BF于E 求证:BE=EC

⌒ ⌒

例: 如图,AB是⊙O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
C

6
A O P B

10
D

练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=_____.
D

A

O 40°

B

C

练 习
5.如图,你能设法确定一个圆形纸

片的圆心吗?你有多 少种方法?与同学交流一下.
方法三

方法一 A C O 方法二

O

B
方法四

D
· B

A
O

如图所示,已知⊿ABC的三个顶点都在⊙O 上,AD是⊿ABC的高,AE是⊙O的直径. 求证:∠BAE=∠CAD
A

O B E D C

作业
? 1.课本87页习题4.5.12做在本子上 ? 2.每课必练36页 ? 3.名校学案102页到104页,下周一早上交

第二课时 应用
? 回顾:圆周角定理及推论? ? 思考:判断正误: 1.同弧或等弧所对的圆周角相等( ) 2.相等的圆周角所对的弧相等( ) 3.90°角所对的弦是直径( ) 4.直径所对的角等于90°( ) 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°( )

例题
例 如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平 分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长. 解:∵AB是直径, C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°.
在Rt△ABC中,

BC ? AB2 ? AC 2 ? 102 ? 62 ? 8

A

O

B

∵CD平分∠ACB,

??ACD ? ?BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,

D

2 2 ? AD ? BD ? AB ? ? 10 ? 5 2(cm) 2 2

课本

练 习

3.求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个 三角形是直角三角形.(提示:作出以这条边为直径的圆.) 1 已知:△ABC 中,CO为AB边上的中线, 且CO= AB 2 求证: △ABC 为直角三角形.
C

证明: 以AB为直径作⊙O, 1 ∵AO=BO, CO= 2 AB, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.

A

· O

B

课堂练习
? 1.如图,OA、OB、OC都是⊙O的半径, ∠AOB=2∠BOC,∠ACB与∠BAC的大小有什 么关系?为什么? C
O B A

?2.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点,且 ∠BCD=100°,求∠BOD( 所对的圆心角) A 和∠BAD的大小。
O B C D

探究
3、如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到 点C,使DC=BD,连接AC交⊙O于点F,点F不与点A 重合。 (1)AB与AC的大小有什么关系?为什么? (2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类 A 三角形,并说明理由。
解:(1)AB=AC。 证明:连接AD ∵AB是直径,∴∠ADB=90°, 又∵DC=BD,∴AB=AC。 (2)△ABC是锐角三角形。
O

·
D

F C

B

由(1)知,∠B=∠C<90 °
连接BF,则∠AFB=90 °,∴∠A<90 ° ∴△ABC是锐角三角形

1.AB、AC为⊙O的两条弦,延长CA到D,使 AD=AB,如果∠ADB=35° , 求∠BOC的度数。 ∠BOC =140° 2、如图,在⊙O中,BC=2DE, ∠BOC=84°,
⌒ ⌒

求∠ A的度数。
∠A=21°

3. 如图,在直径为AB的半圆中,O为圆心,C、D

为半圆上的两点,∠COD=50°,则
∠CAD=______; 50°

4、在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为 (2x+100)°和(5x-30)°,则x=_20° _;

拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上 的点。(1)求证∠P< ∠AQB (2)如果点P在⊙O内, ∠P与

∠AQB有怎 样的关系?为什么?
A p Q O B


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