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二次根式小结与复习

发布时间:2013-10-31 11:35:48  

二次根式小结与复习

【主要内容】 本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上,引入一个符号“”.主要内容有:(1)二次根式的有关概念,如:二次根式定义、最简二次根式、?同类二次根式等;

(2)二次根式的性质;(3)二次根式的运算,如:二次根式的乘除法、二次根式的加减法等.

【要点归纳】

1. 二次根式的定义:形如

个非负数时,才有意义. 的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一2. 二次根式的性质: ① ②

③ ④

3. 二次根式的运算

二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减.

(1)二次根式的加减:

需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。

注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.

(2)二次根式的乘法:

(3)二次根式的除法:

注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.

(4)二次根式的混合运算:

先乘方(或开方),再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算.

1

注意:进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式,分析题目特点,掌握方法与技巧,以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外,根式的分数必须写成假分数或真分数,不能写成带分数.例如(5)有理化因式:

一般常见的互为有理化因式有如下几类: ①③与与; ②; ④与; 与不能写成. .

说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化.

【难点指导】

1、如果2、当非负数写成

3、4、区别表示是二次根式,则一定有时,;当时,必有; ;反过来,也可以将一个表示的算术平方根,因此有的形式; 的算术平方根,因此有和的不同: 中的只能是一个非负数,否则无意义. ,可以是任意实数; 中的可以取任意实数,5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径:

(1)因式的内移:因式内移时,若,则将负号留在根号外.即:.

(2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即:

6、二次根式的比较:

(1)若,则有;(2)若,则有.

说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小.

2

二次根式强化训练与复习巩固自测试题

【时间60分钟 满分100分】

一、填空题:(每小题2分,共 20分)

1.化简:

2.当______时,

3.等式

4.当,化简

与______;. 成立的条件是______. _______. 的大小:_______. _________. 5.比较6.分母有理化:

(1)

7.已知8.计算

9.如果__________;(2),,,那么__________;(3)________. __________. _________. ,那么的值为___________.

10.若有意义,则的取值范围是___________.

二、选择题:(每小题2分,共 20分)

1.下式中不是二次根式的为( )

A.; B.

2.计算

A.

3.若; B.; C.得( ) C. D.17 ,则化简等于( ) ; D.

A. B. C. D.1

4.化简的结果是( )

3

A. B. C. D.

5.计算的结果是( )

A. B. C.

D.

6.化简的结果是( )

A.2 B. C. D.以上答案都不对

7.把式子A. B.中根号外的 C.移到根号内,得( ) D.

8.等式成立的条件是( )

A.

9. B. C.的值为( ) D.

A. B. C. D.

10.若代数式有意义,则的取值范围是( )

A.且 B. C.且 D.且

三、计算与化简:(每小题2分,共 16分)

(1)

(2) (3) (4)

4

(5)

(6) (7) (8)

(9)

(10)

四、求值题:(每小题4分,共 16分)

1.已知:

,求的值.

2.已知

,求的值。

3.已知:

4.求

,求的值. 的值.

5.已知、是实数,且,求的值.

五、解答题:(每小题4分,共 16分)

1.解方程:

2.在△ABC中,三边分别为探求△ABC的形状.

,且满足,,试5

3.有一种房梁的截面积是一个矩形,?且矩形的长与宽之比为:1,现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁,那么加工后的房梁的最大截面积是多少?

答案与提示:

一、填空题:

1. 8; 2.; 3.,; 4.; 5.;6.(1

(2) (3) 7.; 8.; 9.4; 10.;

二、选择题:

1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.A; 6.C; 7.C; 8.A; 9.B; 10.C;

三、计算与化简:

(1)96 (2) (3) (4) (5) (6)

(7) (8) (9)

,因此对代数式的化简,可先将分母(10)思路点拨:由于

有理化,?再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值,代入化简得结果即可. 解:原式

四、求值题:

1.由于,所以;

2.解:∵∴,∴,∴ , ∴

6

∴原式

,即:.3.提示:由

,所以,

,得:;再化简

,即

4

.提示:由于

,而

,所以. 5.提示:由

五、解答题:

1.原方程可化为:,可知的取值范围:,则;

则, ∴ ∴

2.∵,∴, 又∵∴

∵∴,,∴; ,,∴, ,∴,,, ,∴△ABC是等边三角形.

,则长为,依题意, 3.设:矩形房梁的宽为得: ,7

,,

所以.

答:加工后的房梁的最大截面积是. 8

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