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24.2.2__直线和圆的位置关系(3.4)

发布时间:2013-11-01 11:37:29  

东关实验中学:凌红

在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间 的线段的长叫做这点到圆的切线长
A

· O

P

B

切线与切线长的区别与联系:
(1)切线是一条与圆相切的直线;
(2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

若从⊙O外的一点引两条切线PA,PB,切点 分别是A、B,连结OA、OB、OP,你能发现什么结 论?并证明你所发现的结论。
B

PA = PB
∠OPA=∠OPB
O


P

A 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点 ∴OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论

∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB

A ∵ PA、PB是⊙O的切线, A、B为切点 ∴PA=PB,∠APO=∠BPO

·
B

C D

p

如图,若连接AB,则OP与AB有什么关系?
∵ PA、PB是⊙O的切线, A、B为切点 ∴PA=PB,∠APO=∠BPO ∴OP⊥AB,且OP平分AB

从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一 点的连线垂直平分切点所成的弦;平分切 点所成的弧。

o

⌒ ⌒ AD与BD 相等吗?

如图,已知⊙O外一点P,你能用尺规过点P 作⊙O的切线吗? A 1.连结OP
o

2.以OP为直径作⊙O′, 与⊙O交于A、B两点。 即直线PA、PB为⊙O的切线

·
B

o′

·

p

切线长是 通过作图你能发现什么呢? 一条线段 1.过圆外一点作圆的切线可以作两条 2.点A和点B关于直线OP对称

我们学过的切线,常有 六个 性质: 五个
1、切线和圆只有一个公共点;

2、切线和圆心的距离等于圆的半径;
3、切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

例1 已知,如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点.
直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E,交 AB 于 C. (1)写出图中所有的垂直关系; (2)写出图中所有的全等三角形. (3)如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB O C A D P

(1) 解:

(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB E △ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在 Rt△OAP 中,由勾股定理,得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm

B

所以,半径 OA 的长为 3 cm.

如图所示是一张三角形的铁皮,如何在它上 面剪下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽 可能大呢?
A N A

·
B C B

·
D

I

M

C

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆;三角形内切圆的圆心是三角形三条 角平分线的交点,叫做三角形的内心;这个 三角形叫做圆的外切三角形。

1.一个三角形有且只有一个内切圆; 2.一个圆有无数个外切三角形; 3.三角形的内心就是三角形三条内角平


分线的交点; 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。

三角形外接圆
C

三角形内切圆
C

. o
A B B

. o
A

外接圆圆心:三角形三边 垂直平分线的交点。
外接圆的半径:交点到三 角形任意一个顶点的距离。

内切圆圆心:三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径:交点到三 角形任意一边的垂直距离。

三角形的内切圆的有关计算
如图,△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l, 求△ABC的面积S. A

解:设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF, 则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC +S△AOC
1 l· r 2

D F O

·
C

B 1 1 1 = 2 AB· OD+ 2 BC· OE+ 2AC· OF


E

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S, 2S 则△ABC的内切圆的半径 r= a+b+c

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b, AB=c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求:Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解:设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F, 连结OD、OE、OF则OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD 设AD= x , BE= y ,CE= r 则有 x+r=b y+r=a x+y=c
D O F

·
B

a+b-c C 解得 r= 2 a+b-c
2

E

设Rt△ABC的直角边为a、b,斜边为c,则Rt△ABC的
内切圆的半径 r=

或r= a+b+c

ab

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4, ⊙O为 Rt△ABC的内切圆. (1)求Rt△ABC的内切圆的半径 . (2)若移动点O的位置,使⊙O保持与△ABC的边AC、 BC都相切,求⊙O的半径r的取值范围。

解:(1)设Rt△ABC的内切圆与三边相
切于D、E、F,连结OD、OE、OF则 OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB。 在Rt△ABC中,BC=3,AC=4, ∴AB=5 ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD=AF,BE=BF,CE=CD

A F D O

·
B

C E 由已知可得四边形ODCE为正方形,∴CD=CE=OD

设AD= x , BE= y ,CE= r x+r=4 则有 y+r=3 解得 r=1 ∴ Rt△ABC的内切圆的 半径为1。 x+y=5

(2)如图所示,设与BC、AC相切的最大圆与BC、 AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC A 为正方形。

∴OB=BC=3 ∴半径r的取值范围为0<r≤3
D O ·

几何问题代数化是 解决几何问题的一 种重要方法。

C

B

1.已知:△ABC是⊙O外切三角形,切点为D,E,F。若
BC=14 cm ,AC=9cm,AB=13cm。求AF,BD,CE。 ?
A

F
O B

E C

D

2.边长为6,8,10的三角形,外接圆 半径______,内切圆半径______,其内心和 外心间的距离是 。


4 4




D 2 1G

6?8 r? ?2 6 ? 8 ? 10







小结: 切线长定理
A

如图:过⊙O外一点P 有两条直线PA、PB与 ⊙O相切. 在经过圆外一点的圆的切 线上,这点和切点间的线 段的长,叫做切线长.

O

P

B

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的 切线长相

等,圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角. 平分切点所成的两弧;垂直平分切点所成的弦.
三角形的内切圆 内心 圆的外切三角形


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