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【北师大版】【知识总结】九年级(上)_第一章:证明(二)

发布时间:2013-11-02 08:03:56  

北师大版九年级数学定理知识点汇总

第一章:证明(二)

1. 等腰三角形:

①、等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)

②、有两个角相等的三角形是等腰三角形。(等角对等边)

③、三线合一:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 A

如图,在

?ABC中,AB?AC,AD?BC,则有:

??

AD是BC边上的中线 ?即:AD是等腰?ABC的三线合一。

AD是顶角??BAC?的平分线?DC?AD是BC边上的高线

④、有一个角等于60?的等腰三角形是等边三角形。

2. 直角三角形:

①、锐角互余:?A??B?90?.(角度关系)

②、勾股定理:BC2?AC2?AB2.(边长关系) B

直角三角形证明方法:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

1③、面积:两条直角边相乘再除以2,即:SRt?ABC??BC?AC. 2

④、等面积法求斜边上的高:

如图,在Rt?ABC中,CD?AB,则有:

11 SRt?ABC??BC?AC, SRt?ABC??AB?CD 2211BC?AC B ??BC?AC??AB?CD,?CD? C22AB

⑤、直角三角形全等判定定理:斜边和其中一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 这个定理简称“HL”,H指对应斜边相等,L指对应直角边相等,也就是说,在直角三角形

中,如果两条斜边对应相等,其中一条直角边也对应相等,那么这两个直角三角形全等。

⑥、30?角定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30?,那么这个锐角

所对的直角边等于斜边的一半。

如图,在Rt?ABC中,?C?90?,?A?30?,则BC?

1AB?2 22⑦、斜边中线定理:在直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半。

如图,在Rt?ABC中,?ACB?90?,D为斜边AB的中点,

1CD?AB, 则CD为斜边AB的中线,则有 2

1 C B 即: CD?AD?BD?AB,则?ADC和?BDC都是等腰三角形. 2

⑧、扩展知识(子母三角形):

1

如图,在Rt?ABC中,?ACB?90?,CD?AB,则有:

、AC?AD?AB;(2)、CD?AD?BD;(3)、BC?BD?BA 222

?AD?AB证明:在Rt?ADC和Rt?ACB中,有

?ADC??ACB?90?,?CAD??BAC(公共角) ?Rt?ADC?Rt?ACB?AA?

?

2ACAB?,?AC2?AD?AB ADAC2 同理可证 (2)、CD?AD?BD、(3)、BC?BD?BA成立。

3. 线段垂直平分线: ①、MN?A

? MN是线段AB的垂直平分线 ②、AB?BC (垂直、平分两重要条件缺一不可)

重要定理:线段垂直平分线上的点

到线段的两个端点的距离相等。 MN?AB PA=PB 逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点 AB?BC在这条线段的垂直平分线上。

4. 角平分线:重要定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等。

如图,?1??2,PC?AC,PB?AB,则有:PC?PB

另外,还有:AC?AB,?APC??APB,?APC??APB

这个定理的作用:用来证明线段相等。

逆定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的话,在这角的

平分线上。

[?证明角平分线有两种方法:①、证明角相等,②、根据逆定理证明(常用)]

5. 三角形三边垂直平分线、三角平分线交点:

①、三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 ②、三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。

如图,P是?ABC三条边的垂直平分线的交点, 如图,P是?ABC三个角平分线的交点, 则有:PA?PB?PC(点到点距离相等). 则有:PE?PD?PF(点到边距离相等). 角度公式:?BPC?2?A 角度公式:?BPC?90??

P点叫?ABC的“外心”. P点叫?ABC的“内心”. 1?A 2

2

第一章 证明(二) 知识点

一、 证明三角形全等的方法

SSS SAS ASA AAS HL

全等三角形的对应边相等,对应角相等。

二、 与等腰三角形有关的定理

定义:有两条边相等的三角形是等腰三角形

1、 等边对等角

2、 等腰三角形三线合一(底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线)

3、 等角对等边

三、 与等边三角形有关的定理

定义:有三条边相等的三角形是等边三角形

1、 等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°

2、 三个角都相等的三角形是等边三角形

3、 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

四、 与直角三角形有关的定理

1、 在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°

3、 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

4、 勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形

五、 与线段的垂直平分线有关的定理

1、 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

2、 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

3、 三角形三条边的垂直平分线相较于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等

六、 与角平分线有关的定理

1、 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

2、 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上

3、 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等

七、 线段垂直平分线的作法

八、 角平分线的作法

第三章 证明(三) 知识点

一、平行四边形:

1、性质定理:

平行四边形的对边相等;

平行四边形的对角相等;

平行四边形的对角线互相平分。

2、判定定理:

两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义);

两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

二、等腰梯形:

1、性质定理:

等腰梯形在同一底上的两个角相等;

等腰梯形的两条对角线相等。

3

2、判定定理:

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

三、三角形中位线定理:

三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

四、矩形:

1、性质定理:

矩形的四个角都是直角;

矩形的对角线相等

2、判定定理:

有一个角是90°的平行四边形是矩形(定义);

有三个角是直角的四边形是矩形;

对角线相等的平行四边形是矩形。

3、定理:

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

五、菱形:

1、性质定理:

菱形的四条边相等.

菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.

2、判定定理:

有一组临边相等的平行四边形是菱形(定义);

四条边都相等的四边形是菱形;

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

六、正方形:

1、性质定理

正方形的四个角都是直角,四条边都相等;

正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。

2、判定定理

有一组临边相等的矩形是正方形(定义);

有一个角是直角的菱形是正方形;

对角线相等的菱形是正方形;

对角线互相垂直的矩形是正方形。

菱形的面积等于对角线乘积的一半。

七、中点四边形:

任意四边形的中点四边形是平行四边形;

平行四边形的中点四边形是平行四边形;

矩形的中点四边形是菱形;

菱形的中点四边形是矩形;

正方形的中点四边形是正方形;

等腰梯形的中点四边形是菱形。

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