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七年级相交线与平行线、全等三角形复习整理资料

发布时间:2013-11-02 08:03:58  

相交线与平行线复习

一、对顶角、邻补角、邻余角、互补、互余、垂线

1. 相关概念

(1) 对顶角:公共顶点+反向边,对顶角相等。 (2) 邻补角:公共边+两侧边反向,邻补角和为180° (3) 邻余角:公共边+两侧边互相垂直。 (4) 互补与邻补的区别、互余和邻余的区别。

(5) 平面内的直线位置关系有:重合、相交(垂直、斜交)、平行 (6) 两条直线相交所成的角的角度x 取值范围(0< x <180°)

两直线的夹角的角度y的取值范围 (0< y ≤90°) ,当y=90°时,两直线垂直

(7) 平面内,过任意一点有且只有一条直线与已知直线垂直(作图)

平面内,过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(作图) ...

(8) 点到直线的距离——直线外一点到这条直线的垂线段的长度(作图) .....

对顶角、邻补角的区分:

下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的图形的个数是( )

1

1

2

1

例题:如果两个角的两条分别互相平行,则这两个角的数量关系是_________________ 如果两个角的两条边分别互相垂直,则这两个角的数量关系是_______________ 若两条直线相交所成的四个角中,其中一个比另一个的2倍少20度,则这两直线的夹角是______ 2. 几个基本图形中的角的关系 (图1)可得OE⊥OD,

从而可得互余关系的角__________________________ 可得互补关系的角__________________ (图2)已知OA⊥OB,OC⊥OD

可得相等的角_______________________________ 可得∠BOC 与 ∠____________互补 (图3)OE⊥AB,OB平分∠DOF,若∠EOC=115°,则∠BOF=,∠COF=。

(图1) (图2)

二、同位角、内错角、同旁内角

1. 相关概念: “三线八角”图

2. 能利用概念找清角的关系 以下概念必须具有公共边(截线): (1)描出要判定的两个角,看清公共边(截线)

同位角F、内错角Z、同旁内角C

(2

三、平行线的判定与性质

1. 判定与性质、相关结论

?判定?????内错角相等?性质(两直线平行)(1).(数量关系与位置关系的转化) ????同旁内角互补??

(2). 平行线的传递性——同平行于一条直线的两直线平行(性质)

(3). 平面内同垂直于一直线的两直线平行(不可直接利用,可由同位角等证明)

(4). 平行线间的距离处处相等。(性质)——面积问题中的运用。

(5)。 两直线平行,同位角的平分线互相平行、内错角的平分线互相平行、同旁内角的平分线互相垂直。 同位角相等

2. 典型例题

例题1 已知AB∥CD,∠B=65°,CM平分∠BCE,∠MCN=90°,求∠DCN的度数.

例题2 AB∥CD,HP平分∠DHF,若∠AGH=80°,求∠DHP的度数.

例题3 CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,问直线EF与AB有怎样的位置关系

(例题1) (例题2) (例题3)

例题4 BD⊥AC,EF⊥AC,D、F分别为垂足,且∠1=∠4,求证:∠ADG=∠C

例题5 CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°, 求证:DA⊥AB.

例题6 如果∠1=∠2,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.

(例题4) (例题5) (例题6)

3. 两平行线一点问题(平行线传递性运用,辅助平行线的添加)

例题7 已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C

A

PBPAB

DACPBDPAB CD C (1)__________, (2)___________,(3)___________,(4)______________(5)____________________ 例题8 如图,EF⊥GF于F.∠AEF=150°,∠DGF=60°,试判断AB和CD的位置关系,并说明理由.

4. 面积问题(平行线间距离处处相等的运用)

例题9 BC=3BD,AE=2CE,三角形ABD面积为6,求三角形DCE的面积

例题10 平行四边形ABCD中,S△BIF= a,S△EDG=b,S四边形AFHE=c,求四边形CGHI的面积

例题11 正方形ABCD与正方形CEFG的边BC与CE在一直线上, 若正方形ABCD的边长为5 求三角形BDF的面积。

(例题9) (例题10) (例题11) 三角形概念及全等三角形复习

一、三角形的相关概念

三边上的高、三边上的中线、三个内角角平分线(都是线段)的画法(作图要有结论)

要点:(1)画一边上的高,从这边相对的顶点画这边的垂线段。要有垂直记号,有垂足。

(2)画一边上的中线,联结这边中点与这边所对顶点的线段。

(3)画角平分线,可用量角器画出该角的平分线。 结论:(1)任意三角形三边上的中线交于三角形内一点,三条内角平分线交于三角形内一点。

(2)钝角三角形三边上的高交于三角形外(钝角一侧)一点,

直角三角形三边上的高交点是直角顶点,

锐角三角形三边上的高交于三角形内一点。

二、三角形分类

1. 三角形的分类

(1) 按角的大小分:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

(2) 按边的大小分:等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。

2. 最小内角与最大内角问题(最小锐角,最大锐角)

(1) 一个三角形的最大内角为x°最小内角为y°,则x范围是___________y范围是__________

(2) 一个锐角三角形最大内角为x°最小内角为y°,则x范围是___________y范围是__________

(3) 一个钝角三角形最大内角为x°最小内角为y°,则x范围是___________y范围是__________

三、三角形的三边关系

1. 三角形的三边关系:三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边差小于第三边。

2. 三角形三边关系的运用:(练习)

(1) 一个三角形两条边长为a、b,则第三边c 的取值范围是:___________________

(2) 一个三角形两条边长为a、b,则第三边c 上的中线长d的取值范围是:___________________

(3) 一个等腰三角形的周长为C,则其腰长x的取值范围是________,底边y的取值范围是_______

(4) 一个等腰三角形的一边长为8,周长为20,则其另两边长为__________________________

(5) 一个等腰三角形的两边长为4、9则,这个三角形的周长是___________________________

(6) 已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为16、20长的两部分,求他的三边长。

(7) 已知一个等腰三角形的底边长为10,一腰上的中线把其周长分为差为4的两部分,求腰长。

3. 典型例题: 三角形ABC内有一点P,求证AB+AC>BP+CP(提示:延长BP交AC

简要证明:AB+AD>BP+PD;PD+DC>PC;两式相加得:

AB+AD+DC+PD>BP+PC+PD

即:AB+AC>BP+PC

四、三角形的内角和与外角性质:

1. 内角性质:三角形内角和为180°(会利用平行线来证明)

外角性质:(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。

(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 ...

(3)三角形(任意的凸多边形)的外角和为360°。

2. 基本图形的利用:

(图1)8字形的结论:∠A+∠B=∠C+∠D

(图2)两边上的高: 若CE⊥AB,AD⊥BC,则有∠A=∠C

(图3)子母三角形:图中可得∠1=∠B,∠2=∠A

(图4)一线两等角图:若B、C、D在一直线上,∠1=∠2,则有∠A=∠3。

(当∠1=∠2=90°时图形更特殊)

(图1) (图2) (图3) (图4)

3. 典型例题:

例题1 若一个三角形的三个内角度数之比为3:2:1

例题2

解:分内高和外高两种情况考虑可得

顶角为110°或40°

例题3 (8字形的运用)求图形中各个角的和

B(图1)?P?90?

(图3)?P?011?A (图2)?P?900??A 221?A (图4)?PBP'?900,?P??P'?900 2

例题5 已知,如图(1),∠B=60°,∠C=20°,∠1=3∠A,则∠A=________度. 例题6 如图(2),AF是△ABC的高,AD是△ABC的角平分线,求证?DAF?

A

1

(?C??B) 2

BDFC

(图1) (图2)

四、全等三角形的性质与判定

1. 全等三角形的性质:对应边、对应角、面积相等。(注意字母要对应)

若△ABC≌△EFG,则有___=___,___=___,___=___

∠___=∠___,∠___=∠___,∠___=∠___

2. 全等三角形的判定:(S.S.S)、(S.A.S)、(A.S.A)、

(角、边一定要对应) (找可能全等的三角形) 例题1 如图,AB=DE,∠B=∠E,∠

A=∠F 能说明△ABC≌△EDF吗?为什么?

例题

2 (公共边的利用1) 右图中,(1)AB所在的直线上有很多公共边,

是该图的“灵魂”,必须反复好好利用。

(2

(3)也可证得CD⊥AB

例题3 (公共边的利用2)

右图中,AD、BC为可以利用的公共边

若可证得△ABC≌△DCB 证明△ABD≌△DCA(S.S.S)可证明△ABO≌△DCO (A.A.S) 例题4 (公共边的利用3)

若AB=CD,BC=DA,AE=CF,求证:BF=DE

思路:抓住公共边BD,可证得△ABD≌△CDB(S.S.S)

从而可以由对应角、对应边相等得到结论。

此图还可得到许多结论不妨可以试一试。 例题5 (对顶角的利用)以下三个基本图中的对顶角应好好利用,注意前两张图的区别。

例题6 (公共角的利用) 若AC=BC,DC=EC,∠C为公共角可证△ADC≌△BEC(S.A.S) 如何证明△AEO≌△BDO(提示:利用对顶角,AE=BD,A.A.S)

此图当BE⊥AC,AD⊥BC时,可以直接得到∠A=∠B,

例题7 (由旋转得到的S.A.S

图(1)为旋转相关的全等的基本图,其中∠3为公共角

若BA⊥DA,CA⊥EA,AB=AD,

AC=AE

利用公共角可得到∠1=∠2,从而△ABC≌△ADE(S.A.S 可证得

BC=DE,∠B=∠D,∠C=∠E

图(2)正方形中的旋转(点A为选转中心)∠BAF为公共角 若正方形ABCD中,E、F分别在边BC、DC上,且∠ 求证:EF=BE+DF

思路:(将△ADF转到△ABG)

在CB延长线上截取BG=DF,连结AG

利用正方形边、角可证明△ABG≌△ADF(S.A.S再利用公共角∠BAF易证∠GAF=90°,∠GAE=∠易证△AEG≌△AEF(S.A.S),可得EF=BE+DF 若E、F分别跑到CB、DC延长线上,且∠EAF=45 图(3)等边三角形中的旋转,公共角∠ACE 结合等边三角形边相等,角相等可得△BCE≌△ACD(S.A.S)

(其中角的相等利需用到公共角∠ACE),可得BE=AD

若P、Q分别为BE、AD的中点,则可证明CP=CQ 思路:由△BCE≌△ACD(S.A.S)可得对应边BE=AD, 可得BP=AQ或PE=QD 对应角∠CBE=∠CAD,或∠CEB=∠CDA, 易证△BCP≌△ACQ(S.A.S)或△PCE≌△QCD(S.A.S 值得注意的是,当三角形CDE绕C点转动时,以上结论始终是正确的,证明方法也一致 ...... 其中公共角的运用在运算上可能由加变减,但仍然是利用等式性质。而当BCD成平角时,

又可得到若BE与AC交于M,AD与CE交于N,则CM=CN的特殊结论

例题8 (一线三角的利用)

如图,AD⊥DE,BE⊥DE,AC⊥BC(三个直角相等)

则可利用外角性质证得∠A=∠BCE或∠B=∠ACD

只要再知道一条对应边相等(如AD=CE),

则可证明△ADC≌△CEB(两角一边)

值得注意的是:当∠D=∠ACB=∠E时,以上结论也可同样证得。 ......

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