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一元一次不等式复习

发布时间:2013-11-02 11:49:45  

一元一次不等式组

复习课

知识回顾
? ? 1、一元一次不等式组: 一般地,关于同一未知数的几个一元一次不 等式合在一起,就组成一个一元一次不等式 组. 在理解时要注意以下两点: 1) 不等式组里不等式的个数并未规定; 2) 在同一不等式组里的未知数必须是同一个.

? 2、一元一次不等式组的解集:
? 一元一次不等式组中,各个不等式的解集的 公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解 集.

注意:
1) 求几个一元一次不等式的解集的公共部分, 通常是利用数轴来确定的.公共部分是指数轴 上被两条不等式解集的区域都覆盖的部分.

2)一般由两个一元一次不等式组成的不等式组 由四种基本类型确定,它们的解集、数轴表示 如下表:(设a<b).
一元一次不 解集 等式组
?x ? a ? ?x ? b ?x ? a ? ?x ? b

图示

口诀
同大取大 同小取小

x>b x<a

?x ? a ? ?x ? b
?x ? a ? ?x ? b

a<x<b 无解

大小小大中间 找 大大小小找不 着(无解)

例1

解不等式组:

? 3 x ? 1 ? 2 x ? 1, ? ?2 x ? 8.
解 解不等式①,得 解不等式②,得 x >2 x >4

① ②

在数轴上表示不等式①、②的解集,如图 可知所求不等式组的解集是 x>4

例 2 解不等式组:

?2 x ? 1 ? -1, ? ?3 ? x ? 1.
解 解不等式①,得 x<-1 解不等式②,得 x≥2

① ②

在数轴上表示不等式①、②的解集,如图

可以看出,这两个不等式的解集没有公共部分.这时,我们 就说不等式组无解.

例3

解不等式组

?5 x ? 2 ? 3? x ? 1? ? ? 7x 3x ?? 2 ? 1 ? 7 ? 2 ?

① ②

解:解不等式①,得 x ? 2.5 解不等式②,得 x ? ?4 在数轴上表示不等式组①②的解集:

所以这个不等式组的解集为 x ? 2.5

例4

解不等式组

?3 x ? 2 ? 0 ? ?5 x ? 4 ? 0 ?2 x ? 6 ? 0 ?

① ② ③

解:解不等式①,得 解不等式②,得

x?3 解不等式③,得 在数轴上表示不等式组①②③的解集:
所以这个不等式组的 解集为

2 x?? 3 4 x? 5

4 ? x?3 5

2x ? 1 ?1 ? ?5 例 5 解不等式 3
? 2x ? 1 ? 3 ? ?1 ? ? 解法一:这个不等式可改写成不等式组: ? 2 x ? 1 ? 5 ? 3 ?

① ②

解不等式①,得 x ? ?1 解不等式②,得 x ? 8 在数轴上表示不等式组①②的解集:

所以这个不等式组的解集为

?1 ? x ? 8

2x ? 1 ?1 ? ?5 解法二: 3
不等式各项都乘以 3,得

? 3 ? 2x ? 1 ? 15
各项都加上 1,得

? 3 ? 1 ? 2x ? 1 ? 1 ? 15 ? 1

? 2 ? 2x ? 16

各项都除以 2,得

?1 ? x ? 8

?x ? m ? 1 例 6、若不等式组 ? x ? 2m ? 1 无解, ?

则 m 的取值范围是什么?

分析:要使不等式组无解, 故必

须 m ? 1 ? 2 m ? 1 , 从而得 m ? 2 .

例 7 若关于 x

?x ? 4 x ? ?1 ① ? 2 ? 3 ② 的不等式组 ? x ? a ? 0 ?

的解集为 x ? 2 ,则 a 的取值范围是什么?

分析:由①可解出 x ? 2 , 而由②可解出 x 故 2 ? ?a , 即 a ? ?2 .

? ?a , 而不等式组的解集为 x ? 2 ,

说明:上面两个例题给出不等式组的解集,反求不等 式组中所含字母的取值范围,故要求较高. 解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意
?x ? 2 义要深刻理解,如例 7,最后归结为对不等式组 ? x ? ? a 解 ?

集的确定,这就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法; 例 6 题则要求熟悉“大大小小找不着”的解集确定方法, 当然也可借助数轴求解.

例 8、已知关于 x 的不等式组

x-m≥0 的整数 5-2x>1 解共有 5 个,则 m 的取值范围_____

x-m≥0 可化为 x≥m 5 -2x>1 x<2 由于有解,∴解集为 m≤x<2 在此解集内包含 5 个整数,则这 5 个整数依次 是 1、0、-1、-2、-3 ∴m 必须满足-4<m≤-3

解:∵不等式组

会从实际问题中抽象出数学模型
例 9、某饮料厂为了开发新产品,用 A、B 两种果汁原料 各 19 千克、17.2 千克,试制甲、乙两种新型饮料共 50 千克,下表是试验的相关数据:

饮料 甲 每千克含量 A(单位:千克) 0.5 B(单位:千克) 0.3

乙 0.2 0.4

(1) 假设甲种饮料需配制 x 千克,请你写出满足 题意的不等式组,并求出其解集。 千克成本为 3 元,这两种饮料的成本总额为 y 元, 请用含有 x 的式子来表示 y。 并根据 (1) 的运算结果,确定当甲种饮料配制多少千克 时,甲、乙两种饮料的成本总额最小?

(2) 设甲种饮料每千克成本为 4 元,乙种饮料每

提示: (1)

0.5x+0.2(50 -x)≤19 0.3x+0.4(50-x)≤17.2 由①得 x≤30,由②得 x≥28 ∴28≤x≤30

① ②

(2) y=4x+3(50-x)

即 y=x+150

因为 x 越小,则 y 越小,所以当 x=28 时, 甲、乙两种饮料的成本总额最少。

例 10、某园林的门票每张 10 元,一次使用。考虑到人们 的不同需求,也为了吸引更多的游客,该园林除保留原来 的售票方法外,还推出了一种“购买个人年票”的售票方 法(个人年票从购买日起,可供持票人使用一年) 。年票分 A、B、C 三类:A 类年票每张 120 元,持票者进入园林时, 无需再购买年票;B 类年票每张 60 元,持票者进入该园林 时,需再购买门票,每次 2 元;C 类年票每张 40 元,持票 者进入该园林时,需要再购买门票,每次 3 元。

(1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划 在一年中用 80 元花在该园林的门票上, 试通过计 算,找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。 (2)求一年

中进入该园林至少多少次时,购买 A 类年 票才比较合算。

分析: “合算”是指进园次数多而花钱少,或是 花相同的钱进园的次数最多,显然是通过计算 进行代数式比较和建立不等式(组)关系。

解: (1)不可能选 A 类年票, 80-60 若选 B 类年票,则 =10(次) 2 80-40 1 若选 C 类年票,则 =13 (次) 3 3 80 若不购买年票,则 =8(次) 10 所以计划用 80 元花在该园林的门票上时,选择购买 C 类年票的方法进入园林的次数最多,为 3 次。

(2) 设至少超过 x 次时, 购买 A 类年票才比较合算, 则 60+2x>120 40+3x>120 10x>120 ∴x>30 所以,一年中进入该园林至少超过 30 次时, 购买 A 类年票才比较合算。 解得 x>30 2 x>26 3 x>12

点燃思维的
火 花

某新建商场设有百货部、 服装部和家电部三个经营部, 共有 190 名售货员,计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金 额)为 60 万元,由于营业性质不同,分配到三个部的售货员的人 数也就不等。根据经验,各部门每 1 万元营业额所需售货员人数 和每 1 万元营业额所得利润情况如下表。
部门 每 1 万元营业 每 1 万元营业额 额所需人数 百货部 服装部 家电部 5 4 2 所得利润(万元) 0.3 0.5 0.2

商场将计划日营业额分配给三个营业部, 设分配给 百货部、服装部和家电部的营业额分别为 x(万元) ,y (万元)和 z(万元) (x、y、z 都是整数) (1)请用含 x 的代数式分别表示 y 和 z; (2)若商场预计每日的利润为 C(万元) ,且 C 满足 19≤C≤19.7,问这个商场应怎样分配日营业额 给三个营业部?各部应分别安排多少名售货员?

(1)依题意列方程组:

? x ? y ? z ? 60 (1) ? ?5x ? 4 y ? 2 z ? 190

( 2)

3 y ? 35 ? x (2) ? (1) ? 2 得: 2 1 z ? 25 ? x (1) ? 4 ? (2) 得: 2

(3)

(4)

. (2) C ? 0.3x ? 05y ? 0.2z
把(3) (4)式代入 C:

3 1 C ? 0.3x ? 0.5(35 ? x ) ? 0.2(25 ? x ) 2 2 ? 0.3x ? 17.5 ? 0.75x ? 5 ? 01x . ? ?0.35x ? 22.5 ?19 ? C ? 19.7 ?19 ? ?0.35x ? 22.5 ? 19.7 解此不等式得: 8 ? x ? 10 y ? 23,215,20 . ? x ? 8,9,10

z ? 29,29.5,30
? x ? 10 ? ? y ? 20 ? z ? 30 ?

? x, y, z 都是整数
?x ? 8 ? x, y, z 的 解 分 别 为 ? y ? 23 或 ? ? z ? 29 ?

? 这个商场分配日营业额方案为百货部8万元, 售货员40人;服装部23万元,售货员92人,家 电部为29万元,售货员58人;或者是百货部 营业额10万元,售货员50人,服装部20万元, 售货员80人,家部电30万元,售货员60人。

看看,想想,算算
? 一群猴子,一天结伴去偷桃子,在分桃子 时,如果每个猴子分了3个,那么还剩59 个;如果每一个

猴子分5个,就都能分得 桃子,但剩下一个猴子分得的桃子不够5 个,你能求出有几只猴子,几个桃子吗?

?某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套,该公 司所筹资金不少于2090万元,但不超过2096万元,且所筹资金 全部用于建房,两种户型的建房成本和售价如下表:
A型 成本(万元/套) 25 B型 28

售价(万元/套)

30

34

(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大? (3)根据市场调查,每套B型住房的售价不会改变,每套A型住 房的售价将会提高a万元(a>0),且所建的两种住房可全部售出, 该公司又将如何建房获得利润最大?


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