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提公因式法1

发布时间:2013-09-17 18:35:55  

义务教育课程标准实验教科书八年级上册

提公因式法

想一想

630能被哪些数整除?说说你是怎样想的。
分析:可以把630分解成质数的乘积 的形式,即

630=2×32×5×7

运用已学过的知识填空: 2+x ⑴ x(x+1)= x ; 2-1 ⑵ (x+1)(x-1)= x ; 2= a2+2ab+b2 . ⑶ (a+b)

⑴ 2-1= (x+1)(x-1); ⑵ x 2+2ab+b2= (a+b)2 . ⑶ a

2+x= x

x(x+1) ;

观察“回忆”与“探究”,你能发现它们之 间 的联系与区别吗? 回忆

⑴ x(x+1)= x2+x ; ⑵ (x+1)(x-1)= x2-1 ; ⑶ (a+b)2= a2+2ab+b2 .

探究 ⑴ x2+x= x(x+1) ; ⑵ x2-1= (x+1)(x-1) ; ⑶ a2+2ab+b2= (a+b)2 .

把一个多项式化为几个整式的 乘积 乘积形式,像这样的式子的变形 叫做把这个多项式因式分解,也 叫做把这个多项式分解因式。
2-1 x

因式分解

(x+1)(x-1)

整式乘法

下列各式从左到右哪些是因式分解? ① m2-m=m(m-1) ( 是 ) ② x(x-y)=x2-xy ( 不是 ) ③ (a+3)(a-3)=a2-9 ( 不是 ) ④ a2-2a+1=a(a-2)+1 ( 不是 ) ⑤ x2-4x+4=(x-2)2 ( 是 )

15.4.1 提公因式法
问题:ma+mb+mc 这个多项 式有什么特征?
m是这个多项式各项都含有的因式。
注意:

公因式是多项式中各项都含有的公共的因 式。

m(a+b+c)=ma+mb+mc (乘法的分配律 ) ma+mb+mc=m(a+b+c) ( 因式分解 )
像这样,将多项式 ma+mb+mc写成 m(a+b+c)的 形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

例1: 找出3 x

2

– 6 x 的公因式。

x 系数:各项系数的 字母:各 最大公约数。 项的相同 字母
所以,公因式是3x 。

3

1 指数:相同字母
的最低次幂

指出下列各多项式中各项的公因式:

①ax+ay+a 2 ②3mx-6nx ③4a2b+10ab2 4y3+x3y3 ④x ⑤12x2yz-9x3y2

公因式

a 3x 2ab 3y3 x 3x2y

找公因式的方法: ①系数取各系数 的最大公约数; ②字母取各项的 相同字母,而且 各字母的指数取

次数最低的。

例2:把8a3b2+12ab3c分解因式 .
分析:先找出各项的公因式,然后再分解. 公因式: 4ab2

解:

3b2+12ab3c 8a

=4ab2.2a2+ 4ab2 .3bc
= 4ab 2 (2a2 + 3bc)
注意:提公因式后,另一个因式:

①项数应与原多项式的项数一样;
②不再含有公因式。

把下列各式分解因式: ⑴ x2+x6 ; ⑵ 8m2n+2mn; ⑶ 12xyz-9x2y2. 解: ⑴ x2+x6 ⑵ 8m2n+2mn =x2(1+x4) =2mn(4m+1) ⑶ 12xyz-9x2y2 =3xy(4z-3xy)

例3:把2a(b+c)-3(b+c)分解因式 (b+c) (b+c)

解: 2a(b+c)-3(b+c)

= (b+c)(2a-3)
注意:公因式可以是数字,字母,也 可以是单项式,还可以是多项式。

先分解因式,再求值。
4a2(x+7)-3(X+7),其中a=-5,x=3 解: 4a2(x+7)-3(x+7) = (x+7)( 4a2 -3) 当a=-5,x=3时, 原式=(3+7)〔4×(-5)2-3〕 =10×(100 -3) =970

1.下面的因式分解对吗?如果不对,应怎样改正?

(1) 2x2+3x3+x=x(2x+3x2)
不对. 2x2+3x3+x=x(2x+3x2+1)

(2) 3a2c-6a3c=3a2(c-2ac)
不对.3a2c-6a3c=3a2c(1-2a)

(3) 3x2+6x-3=3

x(x+2)-3
不对. 3x2+6x-3=3(x2+2x-1)

练一练:
把下列各式分解因式:

1、21x2 y +7xy
2、-4x2+8ax+2x 3、 2ax2+ay 4、4a2b+10ab-2ab2 5、-3x2y+12xy2-27xy 6、 8a2bc -4ab

7xy(3x+1) -2x(2x-4a-1)

a(2x2+y) 2ab(2a+5-b) -3xy(x-4y+9)

4ab(2ac-1) -x(x-3)

7、 –x2 + 3x

练一练:
把下列各式分解因式:

(1) a(x-y) – x + y

(1)(x-y)(a-1)

(2) 2a(x-8)+bn(8-x) (2) (x-8)(2a-bn) (3)(a+2)2 – 2a(a+2) (2+a)(2-a)或-(a+2)(a-2)
(4) 7(x–3)–x(3–x) (x-3)(7+x) (5)—4x2+8ax+2x

-2x(2x-4a-1)

(6)—3ab+6abx—9aby -3ab(1-2x+3y)

小结:
今天我们学习了提取公因式法分解因 式,可以用四句顺口溜来总结记忆用 提取公因式法分解因式的技巧:

各项有“公”先提“公”, 首项有负常提负, 母项提出莫漏1, 括号里面分到“底”。


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