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动点问题(等腰三角形问题)

发布时间:2013-11-02 12:41:33  

动点问题探究

——等腰三角形分类讨论问题

图形中的点、线的运动,构成了数学中的一个新问题——动态问题。

它通常分为三种类型:动点问题、动线问题、动形问题。

题型特点:此类问题常集代数、几何知识于一体,数形结合,有很强的综合性。是河南中招的必考题,且每年都为压轴题,以函数与三角形和四边形结合的题目为主。如08年为一次函数与三角形相结合,09年为二次函数与等腰三角形相结合,10年为二次函数与平行四边形相结合。

学情分析:

1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。

2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。

3、学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。

教学方法:

1、教师在教学时引导学生把动态问题变为静态问题来解,抓住变化中的“不变量” 。并从特殊位置点着手确定自变量取值范围, 对基本图形进行充分的分析,画出符合条件的各种草图分散难点、降低难度,将复杂问题简单化。

2、专题化,少而精。如动点问题有等腰三角形、直角三角形、三角形相似、 四边形存在性等问题,这些都需分类讨论,分小专题复习效果更好。

本节课重点来探究动态几何中的第一类型:动点问题——等腰三角形分类讨论问题

(一)自主解决(设计意图:为重点研讨作下铺垫)

1、在平面直角坐标系中,已知点P(-2,-1).点T(t,0)是x轴上的一个动点。当t取何值时,△TOP是等腰三角形?

情况一:OP=OT T1(?,0);T2(5,0)

情况二:PO=PT T3(-4,0)

5情况三:TO=TP T4(?,0) 4

设计意图:引导学生总结以已知线段为边作等腰三角形时,通常要分三种情况讨论:以已知线段为底或为腰。且以已知线段为腰时,以该腰不同顶点为顶角顶点有两种情况。

2、如图:已知平行四边形ABCD中,AB=7,BC=4,∠A=30°

(1)点P从点A沿AB边向点B运动,速度为1cm/s.

若设运动时间为t(s),连接PC,当t为何值时,△PBC为等腰三角形?

若△PBC为等腰三角形

则PB=BC

∴t=3

(二)师生互动,探究新知

如图:已知平行四边形ABCD中,AB=7,BC=4,∠A=30°

(2)若点P从点A沿 射线AB运动,速度仍是1cm/s.

当t为何值时,△PBC为等腰三角形?

(小组合作交流讨论,根据分类的标准易得到下面四种情况)

三、

∴t=3或11或7+4或 43时 △PBC为等腰三角形 3

设计意图:总结探究动点关键“化动为静,分类讨论,画出符合条件的各种草

图”,注意一定要分开画.

(三) 动脑创新,再探新知:(两个动点问题 )

如图,在梯形ABCD

中,AD∥BC,AD?3,DC?5,AB?B?45?.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.(1)求BC的长.(2)当MN∥AB时,求t的值.

(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.

(小组合作交流讨论)

分析:(1)如图① ,求出BC=10

C

(2)由 △MNC∽△GDC求出t?50 17

解决动点问题的好助手:

数形结合定相似,比例线段构方程

CN?t,CM?10?2t.(3)当M、N运动到t秒时,

若⊿MNC为等腰三角形,须分三种情况讨论:

10①当NC?MC时,即t?10?2t∴t? 3

②当MN?NC时,过N作NE?MC于E由等腰三角形三线合一性质得

11EC?MC??10?2t??5?t 22

EC5?t在Rt△CEN中,cosc? ?NCt

CH35?t325又在Rt△DHC中,cosc? ?解得t??∴t58CD5

11③当MN?MC时,过M作MF?CN于F点.FC

?NC?t 2

21t60FC3 cosC??

?解得t?17MC10?2t5B C H M 102560综上所述,当t?、t?或t?时,△MNC为等腰三角形 3817

总结:直角三角形能用相似解决的问题都能用三角函数法,且用三角函数法针对性更强,更省时间。

(四)实践新知 提炼运用

在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm。设P,Q分别为BD,BC上的动点,在点P自点D沿DB方向作匀速运动的同时,点Q自点B沿BC方向向点C作匀速运动,移动速度均为1cm/s,设点P,Q移动的时间为t(0<t≤4)。

(1)、写出ΔPBQ的面积S(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式,当t为何值时,

S有最大值?最大值是多少?

(2)、当t为何值时,ΔPBQ为等腰三角形?

(3)、ΔPBQ能否成为等边三角形?若能,求t的值,若不能,说明理由? D

C

323155 (答案:1.S=-t?t,当t=时,s最大值= 10282

54025 2.t=,, 21313

3.不能,tan60°=3与tan∠DBC=矛盾) 3

4

(五)拓展延伸 体验中考

(09河南)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点

B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;

(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长? ②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

分析:此题综合性更强,给学生充分的思考讨论时间。

尤其(2) ① 先求出EG与x的关系式,再求出EG最长时的x值,进而求出PE的长,再由⊿APE∽ ⊿ABC或tan∠BAC求t值.

②先由相似求出CE与t的关系式,再分三种情况讨论.

12参考答案(1)A(4,8) y ? ? x?4x2(2)①t=4

②t=40-16 5

40 t= 13

16 t= 3

课堂小结:让学生用自己的语言叙述,老师肯定正确的,纠正不准确的,并强调本节课重点.

1、化动为静,作出符合条件的各种情况的草图

2、分类讨论

3、数形结合

4、用三角形相似或三角函数法或勾股定理建立等量关系 化动为静 分类讨论

思路

数形结合

用三角形相似或三角函数法或勾股定理建立等量关系

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