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18.1勾股定理第二课时

发布时间:2013-09-18 16:59:54  

勾股定理 — 2

学习目标:
? 1.会用勾股定理解决简单的实际问题。 ? 2.树立数形结合的思想。 ? 3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程, 感受勾股定理的应用方法。 ? 4.培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理 的应用价值。 ? 重点:勾股定理的应用。 ? 难点:实际问题向数学问题的转化。

活 动 1 勾股定理:直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方.
如果在Rt△ ABC中,∠C=90°, 那么

a ?b ?c .
2 2 2

B

a
C

c
b A

结论变形
B

a
C

c
b A

c2 = a2 + b2

有一种特殊的直角三角形, 已知一边可以求另外两边长 A A

a C

c 45° b B

a C b

c

30°
B
a:b:c=1:√3:2
c= 6 cm时求b=?a=?

a:b:c=1:1:√2
a= 5 cm时求b=?c=?

勾股小常识:勾股数
1、 基本勾股数如:大家一定要熟记

3、、 45
1、 2 1、

5、 、 12 13

7、 、 24 25

1、3、 2

2、如果a,b,c是一组勾股数,则ka、kb、kc(k为正 整数)也是一组勾股数,

如:

6、8、10 ; 9、12、15 10、24、26 ; 15、36、39





(1)求出下列直角三角形中未知的边. A B 10 6 8 C A C 2
30°

45°

回答:
②直角三角形哪条边最长?

2

①在解决上述问题时,每个直角三角形需知道几个条件?

(2)在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为 2m ,求AC长.

A
1m B

D

2m

C

在Rt△ ABC中,∠B=90°,由勾股定理可知:

AC ? AB2 ? BC 2 ? 12 ? 22 ? 5

活 动 2 问题
(1)在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系?
D C

AB<BC<AC

AC 2 ? AB 2 ? BC 2
A B

活 动 2
(2)一个门框尺寸如下图所示.
①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过? ②若薄木板长3米,宽1.5米呢? ③若薄木板长3米,宽2.2米呢?为什么? ∵木板的宽2.2米大于1米, ∴ 横着不能从门框通过; ∵木板的宽2.2米大于2米,

C

2m ∴竖着也不能从门框通过.
∴ 只能试试斜着能否通过, A B 对角线AC的长最大,因此需 1m 要求出AC的长,怎样求呢?

(3)有一个边长为50dm 的正方形洞口, 想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径 至少多长?(结果保留整数)
D C 解:∵在Rt△ ABC中,∠B=90°, AC=BC=50, ∴由勾股定理可知:

AC ?
A

AB 2 ? BC 2

? 502 ? 502

50dm

B

? 5000 ? 71(dm )

活 动 3
(1)如图,池塘边有两点A、B,点C是与BA方 向成直角的AC方向上的一点,测得CB= 60m,

AC= 20m ,你能求出A、B两点间的距离吗?
(结果保留整数)

活 动 3
(2)变式:以上题为背景,请同学们再设计其 他方案构造直角三角形(或其他几何图形), 测量池塘的长AB.

例1:一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AC上,这时AC的距离为2.4m.如果梯子顶端A 沿墙下滑0.4m,那么梯子底端B也外移0。4m A 吗?
解:

在Rt△ABC中, ∵∠ACB=90° ∴ AC2+ BC2=AB2 2.42+ BC2=2.52
C B
D

E

∴BC=0.7m 由题意得:DE=AB=2.5m
DC=AC-AD=2.4-0.4=2m

在Rt△DCE中, ∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2=DE2 22+ BC2=2.52 ∴CE=1.5m
∴BE=1.5-0.7=0.8m≠0.4m

答;梯子底端B不是外移0.4m

练习:如图,一个3米长的梯子AB,斜着靠在 竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.
①求梯子的底端B距墙角O多少米? ②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C, 请同学们:

A C

猜一猜,底端也将滑动0.5米吗? 算一算,底端滑动的距离近似值 是多少? (结果保留两位小数)

O

B

D

例2:如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两庄, DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km, 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D 两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?

解:设AE= x km, 则 BE=(25-x)km

D
15

C
10

根据勾股定理,得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又 ∵ DE=CE ∴ AD2+AE2= BC2+BE2 即:152+x2=102+(25-x)2 ∴ X=10

A

x

E

B

25-x

答:E站应建在离A站10km处。

例3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题 这个问题意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形, 在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦 苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,问这个水池的深度 和这根芦苇的长度各是多少? D

解:设水池的深度AC为X米, 则芦苇高AD为 (X+1)米. 根据题意得: BC2+AC2=AB2 2 2 2 ∴5 +X =(X+1) 25+X2=X2+2X+1 X=12 ∴X+1=12+1=13(米)

C

B

A

答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.

例4:矩形ABCD如图折叠,使点D落在BC边上的 点F处,已知AB=8,BC=10,求折痕AE的长。 解:设DE为X, 则CE为 (8- X). 由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10 ∵∠B=90° ∴ AB2+ BF2=AF2 82+ BF2=102 10 A D ∴BF=6 X ∴CF=BC-BF=10-6=4 8 10 E ∵∠C=90° X (8- X) ∴ CE2+CF2=EF2 B F 4 C (8- X)2+42=X2 6 16X=80 64 -16X+X2+16=X2 X=5 80 -16X=0

例5: 如图,边长为1的正方体中,一只
蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬 到顶点B的最短距离是( B ). (A)3 (B )√ 5 (C)2 (D)1
B

C
1

2

B

A

A

分析: 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的, 故需把正方体展开成平面图形(如图).

活 动 3
(3)如图,分别以Rt △ABC三边为边 向外作三个正方形,其面积分别用S1、 S2、S3表示,容易得出S1、S2、S3之间 有的关系式为 .
C

S2
B

S3
A

S1 ? S2 ? S3

S1

活 动 3
(3)变式:你还能求出S1、S2、S3之间 的关系式吗?

S3

S2

S1

活 动 4

(1)这节课你有什么收获? (2)作业
①教材第78 页习题第2、3、4、5题.
②教材第79页习题第12题.

补充练习及书后部分习题

1.在Rt△ABC中, ∠C=90°,

(1) 已知: a=5, b=

12, 求c;
(2) 已知: b=6,?=10 , 求a; c (3) 已知: a=7, c=25, 求b; (4) 已知: a=7, c=8, 求b . 2 .一直角三角形的一直角边长为7, 另两条 边长为两个连续整数,求这个直角三角形的 周长.

应用知识回归生活
3.如图,受台风“麦莎”影响,一棵树在 离地面4米处断裂,树的顶部落在离树跟底 部3米处,这棵树折断前有多高?

4米

3米

4.一架5长的梯子,斜立靠在一竖直的墙 上,这是梯子下端距离墙的底端3,若梯子 顶端下滑了1,则梯子底端将外移(1 )
5.如图,要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺 地毯,地毯的长度至少需( )米

7

B

6.把直角三角形两条直角边 C A 同时扩大到原来的3倍,则其 斜边( B ) A.不变 B.扩大到原来的3倍 C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3

应用知识回归生活
7.如图:是一个长方形零件图,根据所给的 尺寸,求两孔中心A、B之间的距离.
40 A 90 C 160 B 40

应用知识回归生活
8.小明妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视 机.小明量了电视机的屏幕,发现屏幕只有58厘米 长和46厘米宽.他觉得一定是售货员搞错了,你同意 他的想法吗?你能解释这是为什么吗?

9/在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来 红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距 离为2米,问这里水深是________m。

10`小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳 垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后, 发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。

11.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门, 他先横着拿不进去,又竖起来拿,结果竹竿比城 门高1米,当他把竹竿斜着时,两端刚好顶着城 门的对角,问竹竿长多少米? 解:设竹竿长X米,则城门高为 (X-1)米. 根据题意得: 32+ (X-1) 2 =X2 9+X2 -2X+1=X2 10 -2X=0 2X=10 X=5 答:竹竿长5米

12.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的 门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰 好等于门的对角线,已知门宽4尺,求竹竿高与 门高. 解:设竹竿高X尺,则门高为 (X-1)尺. 根据题意得: 42+ (X-1) 2 =X2 16+X2 -2X+1=X2 17 -2X=0 2X=17 X=8.5 答:竹竿高8.5尺, 门高为 7.5尺.

13.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只 猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。 另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直 线计算,如果两只猴子所经过的距离相等, 则这棵树高_________________________米。 15

14.如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠, 顶点D恰好落在BC边上F处,已知 CE=3,AB=8,则BF=___________。 A

D E

B

F

C

15.如图,有一个直角三角形纸片,两直直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的 角平分线AD折叠,使它落在斜边AB上,且 与AE重合,你能求出CD

的长吗? C
D
E

B

A

16.一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm,高是5 cm的 长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么 它所行的最短路线的长是____________cm。
B

A

17.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、 高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶 两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去 吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最 短路程是_________
A
20 2 3

B

18.如图,一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm,高 是30cm,一只小蚂蚁在圆筒底的A处,它想吃 到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖, 试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少?

19◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm的 木箱中,如果在箱内的A处有一只昆虫, 它要在箱壁上爬行到B处,至少要爬多 远? B

.

40

.A

C
50 30

D

.B
40

.A

C
30 50

B

40
A C

D
30
D

50

80 ? 40 ? 8000
2 2

图①

C
40

50

.B

B
50

. A

C
30

D
2

C
40

30 ? 90 ? 9000 A 30
2

D

图②

C
40

30

.B
B
30

.A

D
C 50

C
40

D 50 ? 70 ? 7400
2 2

50

A

图③

6.做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、 30厘米的木箱,一根长为70厘米的木棒能否放入, 为什么?试用今天学过的知识说明.

大显身手 20. 一种盛饮料的圆柱形杯(如图),测得内 部底面半径为2.5㎝,高为12㎝,吸管放进杯里, 杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做多长? A
12cm

B

C
R=2.5cm


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