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暑假专题——数的开方

发布时间:2013-11-03 10:50:00  

【本讲教育信息】

一. 教学内容:

数的开方

二. 重点、难点

数的开方是初等数学中的第六种运算,“”这个符号与+、-、×、?本质上是相同的。像2、3、这样的无理数在某些时候也要理解成一种运算。算术平方根是一种非常重要的概念,而算术平方根最大的特性就在于它的非负性,下学期要学到的二次根式与此有密切的关系。在数的开方中,我们把数向前迈进了一步,关于无理数同学们不能只停留在感性认识上认为只有带根号的数就是无理数。另外以前在有理域的种种运算也可以照搬到无理域。

【典型例题】

[例1] 判断题

(1)一个数若有平方根,则它的平方根是一正一负两数。( )

(2)若a是b的一个平方根,则?a也是b的一个平方根。( )

(3)无论a为何值,?a2一定没有平方根。( )

(4)一个正数的平方根的平方,等于这个数本身。( ) (5)如果一个数有平方根,那么这个数的算术平方根必为正数。( )

答案:

(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×

[例2] 填空

(1)2的平方根是 ,2是 的一个平方根。

49

(3)若a?0,则a的平方根是 。 (2)(?)2的平方根是

(4)一个数的平方根等于它本身,这个数是 。

(5)一个数的立方根等于它本身,这个数是 。

(6)若a?0,则a2的算术平方根是

答案:

(1)?2;4 (2)?4 (3)?a (4)0 9

(5)?1, 0, 1 (6)?a

[例3] 设等式a(x?a)?

求20054x2?xy?2y2a(y?a)?x?a?a?y在实数范围内成立。

解:∵ 等式在实数范围内成立

?a(x?a)?0(1)?a(y?a)?0(2)?∴ ? (3)?x?a?0

??a?y?0(4)

由(1)(3)a?0 由(2)(4)a?0

∴ a?0 ∴ 0?

∴ x?0 y?0

∴ 2005

[例4] 已知c?4且(a?2b?1)2??3?0,求4x2?xy?2y2x??y ∴ x?0 ?y?0 ?20050?1 c的平方根。 a2?b2

?a?2b?1?0?a?5??解:由题意得?b?3?0 解得?b?3

?c?64?3c?4??

c64??4,故其平方根为?2 2222a?b5?3

[例5] 已知a为?2的整数部分,且a?b?b?a,求a?b的值。 b?1是9的平方根,解:∵ 16?17?25 ∴ 4??5 ∴ 2??2?3

∴ ?2的整数部分为2 ∴ a?2 ∵ a?b?b?a

∴ a?b?0 ∴ a?b 而b?1是9的平方根

∴ b?1??3 ∴ b?4或b??2 又a?b ∴ b?4

∴ a?b?2?4?6

[例6] 已知:x?a?b2a?3b?2是2a?3b?2是算术平方根,y?a?2b?3a?4b?1是5a?4b?1的立方根,求x?y

解:∵ x是2a?3b?2的算术平方根 ∴ a?b?2 (1)

∵ y是5a?4b?1的立方根 ∴ a?2b?3?3 (2)

由(1)(2)得??a?4 ∴ x?8?6?2??4 ?b?2

y?20?8?1?27?3 ∴ x?y?4?3?1

[例7] 试确定6?6?6?6???6的整数部分(共有n个6)

解:∵ 4?6?9 ∴ 2?

∴ 2?6?3 又8?6?6?9 ?6?6?3 ∴ 2?6?6?6??9

∴ 2??6?

反复上面的步骤:

∴ 2?6?6?9?3 ?6?6?6?6???6?3

6?6??6的整数部分为2

1(x?y?z),求x2?y2?z2 2[例8] 已知x?

解:x?y?1?z?2?y?1?z?2?1(x?y?z) 2

2x?2y?1?2z?2?x?y?z

x?2x?1?y?1?2y?1?1?z?2?2z?2?1?0

(x)?2x?1?(y?1)?2y?1?1?(z?2)?2z?2?1?0 (x?1)?(y?1?1)?(z?2?1)?0

∴ 222222x?1?0

222y?1?1?0 22z?2?1?0 x?1 y?2 z?3 ∴ x?y?z?1?2?3?1?4?9?14

[例9] 化简?1998?1999?2000?1

设1997?x

1997?1998?1999?2000?1?x(x?1)(x?2)(x?3)?1

?(x2?3x)(x2?3x?2)?1?(x2?3x)2?2(x2?3x)?1

?(x2?3x?1)2

∴ 原式?x2?3x?1?19972?3?1997?1?3994001

[例10] 求y?2x?3?4x?13的最小值。

解:由4x?13?0知x?13 4

u2?13设u?4x?13则x? 4

u2?131∴ y?2x?3?4x?13 y?2?3?u y?(u?1)2?3 42

∵ u?0 ∴ 当u?0时,y最小值?

17?3? 22

【模拟试题】

一. 填空题

1. 已知2?1.4142,则20000的整数部分是

2. 若2?x?x?2?y?3,则xy? 3. 625?36?0.25? 169

2334. 已知实数a,满足a?a?a?0,则a??a?1?。

5. 比较大小:

??

6. 若x?y?2与x?y?1互为相反数,则x?y?。

7. 如果的小数部分是a,而1的小数部分是b,则b? 。 a

8. 已知a、b为实数,b?a2?1??a2

,则a?b?。 a?1

29. 方程x?2?(1??x)的整数解是。

10. 在实数范围内解方程?x?x????2y?5.28,则x?,y?。

11. 使式子5?x2

x?2

3有意义的x的取值范围是 。 12. 已知x?a(a?0),用a的代数式表示x?。

二. 选择题 1. ?1的平方的立方根是( ) 8

111A. 4 B. C. ? D. 844

2. 使等式(??x)2?x成立的x是( )

A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 无法确定

3. 下列5个数:3.1416、1、、3.14、??1,其中有理数有( ) ?

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

24. 若实数x满足?x?1?x,那么(x?1)等于( )

A. 1 B. ?(x?1) C. x?1 D. 1?x

5. 设a??997,b??,c?2,则a、b、c之间的大小关系是( )

A. a?b?c B. a?c?b C. b?a?c D. c?b?a

6. 下列方程中,有实数解是( ) A.

C. x?1?4?0 B. D. 2x?3??x 2x?3?x?3?0 x2?1?0

7. 要使3?x?1有意义,实数x应满足的条件是( )

A. x?2 B. x?2 C. ?4?x?2 D. x??4

8. 若?x?a有意义,则有( )

A. xa?0 B. xa?0 C. xa?0 D. xa?0

9. 如果?a是整数,那么最小的正整数是( )

A. 109 B. 218 C. 327 D. 654

10. 数a的算术平方根是一个二位整数,则数a是( )

A. 二位整数 B. 三位整数 C. 四位整数 D. 三位或四位整数

11. 如果x??(y?2)?0,则(xy)2000等于( ) 3

A. 2000 B. ?2000 C. 1 D. ?1

12. 已知x?11?4,则x?的值为( ) xx

A. 2 B. ?2 C. 32 D. ?32

三. 根据以下条件,求x的取值范围。

x是a的平方根,且0?a?4。

【试题答案】

一.

1. 141 2. 132213 3. 4. 2 5. ? 6. ?; 81322

7. ?3 8. 1 9. 2,3 10. ?;?2.14或3.14 2

11. 2?x? 12. a2

二.

1. D 2. C 3. C 4. D 5. D 6. B

9. D 10. D 11. C 12. B

三.

0?a?2 ?2??a?0 ∴ ?2?x?2

7. C 8. D

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