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七年级上期中复习

发布时间:2013-11-03 12:36:14  

人生的白纸全凭自己的笔去描绘.每个人
都用自己的经历填写人生价值的档案.

知识网络图
1.正数和负数 2.有理数 3.数轴 4.相反数 5.倒数 6.有理数的绝对值 7.有理数的比较大小 8.科学记数法 9.近似数 1.有理数的加法 2.有理数的减法

基本概念

有 理 数
基本运算

3.有理数的乘法

4.有理数的除法 5.有理数的乘方

2

知识结构
整 式 的 加 减
整 式

单项式: 定义、系数、次数
多项式: 定义、项、次数、常数项 定义、“两相同、两无关”

同类项:

合并同类项: 定义、法则 去括号:



则 骤

重点

整式的加减: 步

3

典型例题:判断下列命题是否正确
?带负号的数就是负数; ?温度0℃就是没有温度; ?直线就是数轴; ?数轴是直线,任何一个有理数都可以用数轴 上的点来表示; ?数轴上到原点距离等于3的点所表示的数是3; ?数轴上原点左边表示的数是负数,右边表示 的点是正数,原点表示的数是0; ?数轴上原点左边表示的数是负数,右边表示 的点是正数,原点表示的数是0;
4

典型例题
?如果一个数的相反数等于它本身,那么这个 0 数是 ; ?如果一个数的绝对值等于它本身,那么这个 数是 非负数 ; ?如果一个数的倒数等于它本身,那么这个数 是 -1或1 ; ?如果一个数的绝对值等于它的相反数,那么 这个数是 非正数 ; ?如果一个数的绝对值大于它本身,那么这个 数是 负数 。
5

典型例题
例 某项科学研究以 分钟为1个时间单位,并记 45 每天上午10时为0,10时以前记为负, 时以后记为正, 10 例如9: 记为 ? 1, : 记为1,等等依次类推, 15 10 45 上午7: 应记为(B ) 45 A. ? 3.15 B. ? 3 C .? 2.15 D. ? 7.45
例 一种圆形零件的直径规格如图: 表示这种零件的标准尺寸是30mm, 加工时要求这种零件的直径最大不 超过 30.03mm ,最小不小于 29.98mm .
6

科学记数法与近似数
?科学记数法:用字母N表示数, 则N=a×10 n (1≤|a|<10,n是整数). ?关键是让学生熟练掌握a和n的确定
近似数精确度的两种形式: ? 精确到哪一位:可以表示出误差绝对值的大小 ? 有效数字:可以比较出几个近似数的哪个更精 确一些

7

典型例题
用科学记数法记出下列各数: (1)月球的质量约是 7 340 000 000 000 000万吨; (2)银河系中的恒星数约是160 000 000 000个; (3)地球绕太阳转的轨道半径约是149 000 000千米. 用四舍五入法按括号里 的要求对下列各数取近 似值

(1)0.85149 精确到千分位) ( ( 2)1.5972 精确到0.01) ( ( 3)0.02076 保留三个有效数字) (
3 (4 4.18? 10(精确到百位) )

(5)60340 保留两个有效数字) (

近似数与 科学记数 法相结合

8

典型例题
1.判断对错: (1)0是单项

式,也是整式; 1 1 (2) x ? ? 2 是二次三项式; x x (3)单项式 52 a 3b 2 的次数是7次;

(4)2( x-y)2 ? 3( x-y)2 ? 5( x-y)2 .
2.当m等于什么时, 1 mx 2 y ? 2 xy ? 3 y 2 ? 2 5 x 2 y ? 3xy ? 1 3 是关于x,y的二次多项式?

?

? ?

?
9

典型例题
C 例 若M,N都是4次多项式,则M+N为( ) A. 4次多项式 B. 8次多项式 C. 次数不超过4次的整式 D. 次数不低于4次的整式

10

典型例题
1.判断下列各式哪些是一元一次方程: (1)3 ? 5 ? 15; ( 2)2 x ? 3; ( 3)3m ? n ? 7; (5) x ? 2; (7) x ? 1 ? 2 x ? 2; (4) x 2 ? x ? 1 ? 0; (6)2 x ? 1 ? 3. (8) S ? πr 2
(5),(7)

2.已知方程(|k|-1)x2+(k-1)x+3=0是关于x的一元 一次方程,求k的值. k= 改成k-3 -1 3.已知方程(k-2)(k-3)xk+(k+2)x+1=0是关于x的一 元一次方程(其中k>0),试求k的值.
k=1或k=2或k=3
11

作图题很能反映学生对细节的重视
?

数轴的画法:体现三要素、用铅笔、直尺

0
12

区分常见易错之处
- 2 ? - 2 , - 2 ? (- 2 ) ( )- ) (
2 2 2 2

3? 32 ? ? ? ? 4 ? 4?
6? 2 ? 3 ? 6? 2 ? 6? 3 ( ) 6? 2? 3 ? 6?2?6?3 ( ) ( ? 3 ?6 ? 2?6? 3?6 2 )
13

2

区分常见易错之处
11 1 12 -6 ? ? -6 ? -7 12 12 12 11 1 12 - 6 - ? -6 ? -7 12 12 12 2 13 15 ? ? ? 15 ? 1 ? 15 13 2 2 13 15 ? ( ? ) 15 ? 1 ? 15 ? 13 2
14

常用的一些运算的注意事项或简便方法
例 计算:16+(-25)+24+(-32). 解:原式= (16+24)+[(-25)+(-32)] = 40+(-57) = -17. 把正数和负数分别结合在一起计算就比较简便.

例 7+5+(-4)+6+4+3+(-3)+(-2)+8+1. 解:原式= [(-4)+(4)]+[5+(-3)+ (-2)]+(7+6+3+8+1) = 0+0+25 = 25. 把相加得零的数结合起来相加.计算比较简便.
15

常用的一些运算的注意事项或简便方法
1 3 1 5 2 例 计算(- 2 ) 8 ? 3 ? - 3 )(- 4 ) ? ( ? 5 5 5 7 7 3 1 1 5 2 [ ? [ ? ] 解:原式 ? 8 ?(- 2 ) 3 ] ?(- 3 )(- 4 )
5 5 5 3 3 ? 8 ? 1 ? ( ?8) ? 1 5 5 7 7

作分数加法时,先把同分母的或相加得整数的结 合起来相加.计算比较简便. 6 例 计算(- 24 )(- 6 ? ) 76 1 ? 解:原式 ?(24 ? 7) 6
1 6 1 1 1 ? 24? ? ? ? 4 ? ? 4 6 7 6 7 7

先定符号,合理使用分配律

16

常用的一些运算的注意事项或简便方法
例 1 1 1 1 2 ? ? 1 ) 1 ? ( ?1 ) ? ? ? ( ?1 ( ? ) 2 3 4 2010

3 4 5 2010 2011 ? 解:原式 ? -2 ? ? ? ? ? ? 2 3 4 2009 2010 ? -2011
通过算式的规律确定负因数的个数为1005个,为 奇数,因此符号为负.

17

运算中更一般的问题(略高要求)
例 用“<”,“>”填空 (1)如果ab>0,a+b>0,那么a___0,b___0; (2)如果ab>0,a+b<0,那么a___0,b___0; (3)如果ab<0,a>b,那么a___0,b___0
两数的同正、同负、异号如何用两数之和

、积去表示

例 比较大小 (1)当b>0时,a,a-b,a+b哪个最大?哪个最小? (2)当b<0时,a,a-b,a+b哪个最大?哪个最小?
会根据加数的正负判断和或差的大小关系
18

运算中更一般的问题(略高要求)
判断题 (1)同号两数相乘,取相同的符号,并把绝对值相乘; (2)两数相乘,如果积为正数,这两个因数同号; (3)两数相乘,如果积为负数,这两个因数异号; (4)几个有理数相乘,其中负因数的个数为奇数,那么 积一定是负数; (5)两数和大于一个加数而小于另一个加数,那么这两 数一定是异号; (6)两个数相加,和一定大于任一个数; (7)两个数相加,和小于任一个加数,那么这两个数一 定都是负数.
19

合并同类项是要熟练掌握的基本方法
例题
(1)k为何值时,3xky与-x2y是同类项?
(2)当m取何值时,-3y3mx3与4x3y6是同类项? 1 2 2 2 ( )合并同类项: b ? 3a b ? a b; 3 2a 2

1 2 原式 =(2 - 3 + )a b 2

系数相加

1 2 ?? a b 2

不变
20

合并同类项是要熟练掌握的基本方法
例题
()合并同类项:a 3 ? a 2b ? ab2 ? a 2b ? ab2 ? b3; 4

找出 系数相反3 ? ( ? a 2b ? a 2b) ? (ab2 ? ab2 ) ? b 3同类项 ?a
? a ? ( ?1 ? 1)a b ? (1 ? 1)ab ? b
3 3 2 2 3

解:a ? a b ? ab ? a b ? ab ? b
3 2 2 2 2

3

?a ?b

3

21

去括号、添括号法则是导致 错误的一个关键点
例题 先去括号,再合并同类项:

(1) ( x ? y ? z ) ? ( x ? y ? z ) ? ( x ? y ? z );
(2) (a ? 2ab ? b ) ? (a ? 2ab ? b );
2 2 2 2

(3) 3(2 x ? y ) ? 2(3 y ? 2 x ).
2 2 2 2

注意括 号前面 的符号

22

常见易错之处 (1)3a+2b=5ab; (2)5y2-2y2=3; (3)4x2y-5y2x=-x2y; (4)a-2(b+c)=a-2b+c ; (5) a –b –c =a-(b-c) ; (6)3x2+2x3=5x5.
23

多项式的化简与求值
先化简,再求值: 2 y ? 3 xy2 ? (5 xy2 ? 4 x 2 y ), 2x 其中x ? 1, y ? ?1 解: x 2 y ? 3 xy2 ? (5 xy2 ? 4 x 2 y ), 2
? 2 x 2 y ? 3 xy2 ? 5 xy2 ? 4 x 2 y ? ( 2 x 2 y ? 4 x 2 y ) ? ( 3 xy2 ? 5 xy2 ) ? 6 x 2 y ? 8 xy2
当x ? 1, y ? ?1时, 原式 ? 6 ? 1 ? ( ?1) ? 8 ? 1 ? ( ?1)
2 2

化简

条件
代入

? -14

结果
24

注意解题步骤,结果要有化简和求值两部分 .

数学推理能力,数学表达能力
例题 已知 a ? 4, b ? 2, 且 a ? b ? a ? b, 求a ? b.

解 ? a ? 4,? a ? ?4, ? b ? 2,? b ? ?2, ? a ? b ? a ? b,? a ? b ? 0,? a ? b, ? a ? 4, b ? ?2 当b ? 2时,a ? b ? 4 ? 2 ? 6, 当b ? -2时,a ? b ? 4 ? - 2 ? 2. ( )
通过写过程让学生分解 自己的思维过程
25

数学推理能力,数学表达能力
例题 若(a ? 1) ? b ? 2 ? 0, 求a
2
2

2011

? b 的值
3
2

解 ? (a ? 1) ? 0, | b ? 2 |? 0, 且(a ? 1) ? | b ? 2 |? 0, ? (a

? 1) ? 0, | b ? 2 |? 0, ? a ? -1, b ? 2,
2

?a

2011

? b ? ( ?1)
3

2011

? 2 ? ?8
3

让学生明白每一个新结 论的出现都要有原因

26

整体代入的思想
例题 若a - 2a ? 1 ? 0, 求2a - 4a的值.
2 2

a 2 - 2a ? -1

? 2(a - 2a ).
2

整体代入
例题 当x ? 2时,代数式ax 3 ? bx ? 1的值为- 17,那么 当x ? ?1时,代数式 ax ? 3bx 3 ? 5的值为多少? 12

关注条件 由题意, ? 2b ? 1 ? -17 ? 4a ? b ? ?9 8a

整 体 代 入
27

关注需求 要求的是- 12a ? 3b ? 5 ? -3 4a ? b) 5 ( ?

数形结合思想
例题 一个负有理数a在数轴上的位置为A,那 么在数轴上与A相距d(d>0)个单位的点中,与 原点距离最远的点所对应的数是多少?
B
a-d d

A
a

d O 0

C
a+d

B
a-d

d

A
a

d

C
O a+d 0

通过数形结合容易发现与原点距离最远的 点所对应的数为a – d .
28

数形结合思想
(1)若|a|+|b|=|a -b|,那么a,b的关系是______.
A
a |a| O 0

|a-b|
|b|

B 异号或至少一个为0

容易丢掉,0不属于同 号、异号的范畴
O
|a|

b

(2)若|a|+|b|=|a+b|,那么a,b的关系是______.
B
b O 0 |a| |b|

A
a

A |b|
a

0

B
b

同号或至少一个为0

(2)可以用数形结合,也可以用加法法则.

29

数形结合思想
例题 探究下列式子的几何意 | a |, | a ? b | . 义:

()当x取何值时, ? 1 | ? | x ? 3 | 取最小值. 1 |x
?通过绝对值的几何意义,考虑表示x的点在数轴的 不同位置来确定最小值. 既用了数形结合的方法, 又渗透了分类讨论的数学思想 ?这个问题也可以用零点分段法对x进行分情况讨论
30

()当x取何值时, ? 1 | ? | x - 1 | ? | x ? 3 | 取最小值. 2 |x

数形结合思想
推广到一般情况: 当x取何值时, ? a1 | ? | x ? a 2 | ? ? ? | x ? a n | |x 取最小值.
?分n为奇数和偶数两种情况讨论. ?较高要求的问题,供学有余力的同学掌握.

31

数形结合思想
运算律与图形

b
a

c a

a(b+c)=ab+ac
32

数形结合思想
1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? n ? ? 2 4 8 16 2

33

分类讨论思想
例题 若a , b, c为整数,且| a ? b | ? | c ? a |? 1, 试计算 | a ? b | ? | b ? c | ? | c ? a | 的值.
解 ? a , b, c为整数,| a ? b | 和 | c ? a | 为非负整数, ?

? 让学 ?| a ? b |? 0 ?| a ? b |? 1 又 | a ? b | ? | c ? a |? 1,? ? 或? , 生体会 ?| c ? a |? 1 ?| c ? a |? 0
当| a ? b |? 0时,a ? b,?| b ? c |?| a ? c |?| c ? a |? 1, ?| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? a |? 0 ? 1 ? 1 ? 2; 当| c ? a |? 0时,a ? c ,?| b ? c |?| b ? a |?| a ? b |? 1, ?| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? a |? 0 ? 1 ? 1 ? 2; 综上,原式 ? 2.

什么时 候需要 分情况 和分情 况的依 据
34

?虽然两种情况结果相

同,但还是应该分情况讨论

运算方法与技巧
计算 (1)1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+7+(-8)+…+99+(-100). =(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1) (共50个) =-50 (2)1+(- 2)+(- 3)+4+5+(- 6)+(- 7)+8+… +2005+ (- 2006)+(- 2007)+2008+2009+(- 2010)+(- 2011) =[1+(- 2)+(- 3)+4]+[5+(- 6)+(- 7)+8]+… +[2005+ (- 2006)+(- 2007)+2008]+2009+(- 2010)+(- 2011) =0+0+…+0+2009+(-2010)+(-2011) =-2012
?寻找规律和方法,并把方法通过计算过程体现出来
35

运算方法与技巧
在数1,2,3, …,2010前分别添加“+”或 “-”,求其所有可能的运算结果中最小 的非负数. 因为1+2+3+ …+2010=2021055为奇数,所以 在1,2,3,…,2010前分别添加“+”或“-” 的运算结果为奇数. 又因为(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(2005-20062007+2008)-2009+2010=1, 连续四个整数通过这种 则其所有可能的运算结果中最小的非负数为1.
方式可以得到0
36

实际问题与有理数运算
例题 青蛙落在数轴上表示2011这个数的点 上.它第一步往左跳1个单位,第二步往右跳2 个单位,第三步往左跳3个单位,第四步往右跳 4个单位,依此类推,当跳了100步时,青蛙恰 好落在了M点.你能求出点M所表示的数吗?
?方法一:M表示的数m=2011-1+2-3+4-…-99+100 =2011+(1+1+…+1) (共50个) =2061; ?方法二:每相邻两步的结果可以看作是向右跳一个 单位,则100步就是向右跳50个单位,则M表示的数 m=2011+50=2061;
37

运算方法与技巧
倒序相加法(用于等差数列求和)
例 计算1+3+5+7+…+2009+2011的值. 用字母S表示所求算式,即 S=1+3+5+…+2009+2011. ① 又S=2011+2009+…+5+3+1. ② 将①,②两式左右分别相加,得 2S=(1+2011)+(3+2009)+…+(2009+3)+(2011+1) =2012+2012+…+2012+2012 (共1006个2012) =2012×1006. 可先研究第n项,进行 从而有 S=1006×1006=1012036. 化简得n/2
1 1 2 1 2 3 1 2 59 例题:求 ? ( ? )( ? ? ) ? ? ? ? ( ? ? ? ? )的值. 2 3 3 4 4 4 60 60 60 38

运算方法与技巧
裂项法
1 1 1 ? ? n( n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 例题()求 1 ? ? ? ?? 的值. 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99? 100 1 1 1 1 ( )求 2 ? ? ? ?? 的值. 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 2009? 2011 1 1 1 ( )求1 ? 3 ? ? ?? 的值. 1? 2 1? 2? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100

1 2 1 1 第()题先研究通项 3 ? ? 2( ? ). 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n( n ? 1) n n?1
39

分析、探究、现场学习类问题

40

发现、归纳、表达
( 2005.长春)按下列规律排列的一列 数对(1,?2),

(15,?16) ( 3,?4), (5,?6), (7,?8)?第8个数对是 ____________ .
( 2004 .河南)观察下列等式: ? 7,2 ? 49,3 ? 343, 71 7 7

1 7 ? 2401 ?,由此可判断7 的个位数字是 ____ .
4 100

1 1 ( 2006.重庆)按一定规律排列的一列数依次为:, , 2 3 1 1 1 1 , , , , , 按此规律排

列下去,这列数中 ? 10 15 26 35 1 的第7个数是 _______ 50 .
41

发现、归纳、表达
观察下列每题给出的数,找出规律,分别写 出第n个数是什么 1 3 1 7 15 1- n (1)2 ,4 ,8 ,16,…; 2 n (-2) (2)?2,4,?8,16,…; n 3 ?1 (3)4,10,28,82,…; 1 , 1 ,1 , 1 ,… ( ?1)n?1 (4) 2 3 4 5

n?1

42

发现、归纳、表达
观察下面三行数 : n (-2) ? 2, 4, ? 8, 16, ? 32, 64? (-2)n ? 2 0, 6, ? 6, 18, ? 30, 66? n (-2) n-1 ? 1, 2, ? 4, 8, ? 16, 32? 或 - ( ?2 ) 2
第1, 3行数各是按什么规律排列? 2, 请用含有n的式子表示出每一行第n个数.
?第2行的规律并不容易发现,但可以通过第1行得到

?通过这个问题,让学生学会在题目中去寻找方法

43

发现、归纳、表达
观察下面的等式: (1)小明归纳上面各式得出 一个猜想:“两个有理数的 2 ? 2 ? 2 ? 2; 积等于这两个有理数的和”, 3 3 ? 3 ? ? 3; 他的猜想正确吗?为什么? 2 2 区分一般性与特殊性; 4 4 ? 4 ? ? 4; 说明一个结论是错误的,只 3 3 需要举出反例即可. 6 6 ? 6 ? ? 6; (2)请你观察上面各式的结 5 5 构特点,归纳出一个猜想. ?
n?1 n?1 ? ( n ? 1) ? ? ( n ? 1) n n ( n为正整数)
44

发现、归纳、表达
下图是由一些完全相同的等腰梯形和等边三角形 拼成的大平行四边形或梯形,根据规律填表:
2a a a a a a a a a a a a 2a 2a

2a

2a

a ……

梯形和三角形 个数
梯形或平行四 边形的周长

1

2

3

4

5

6




2n-1
(4n+1)a

2n
(4n+2)a

5a 6a 9a 10a 13a 14a

不难发现规律,分奇数、偶数来考虑
45

发现、归纳、表达
下图是由一些完全相同的等腰梯形和等边三角形 拼成的大平行四边形或梯形,根据规律填表:
2a a a a a a a a a a a a 2a 2a

2a

2a

a ……

梯形和三角形 个数
梯形或平行四 边形的周长

1
5a

2
6a

3

4

5

6




n

9a 10a 13a 14a

当n为奇数时,周长为(2n+3)a; 当n为偶数时,周长为(2n+2)a;
46

运算方法与技巧、边学边用
错位相减法(用于等比数列求和)
( 2009 湖北鄂州)为了求 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 2008 的 1 值,可令S ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 2008

, 则2 S ? 2 ? 2

2

? 2 3 ? 24 ? ? ? 2 2009,因此2 S ? S ? 2 2009 ? 1, 所以1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 2008 ? 2 2009 ? 1.仿照上面推理计算 出1 ? 5 ? 5 2 ? 5 3 ? ? ? 5 2009 的值是 A.5
2009

?1

B.5

2010

?1

C.

5

2009

?1

4

D.

5

2010

?1

4
47

?模仿上面的结果可能会误选B,应该在理解的基础 上模仿上面的方法,动手进行计算.

信息技术中的数学问题
按下图所示的程序计算,若开始输入的值 为x=2,则最后输出的结果是多少?若开始 输入的值为x=1,则会怎么样

? 232

若已知输出结果为232,求输入的正整数x. 2,6或21
48

信息技术中的数学问题
如图所示的运算程序中,若开始输入的x 值为48,我们发现第1次输出的结果为24, 第2次输出的结果为12,…,第2011次输出 的结果为 .
x为偶数 输入x x为奇数 0.5x 输出

x+3

?经过几次运算,输出结果为3和6循环出现
49

定义新运算
我们规定一种新运算:a ? b ? ab ? a ? b ? 1, 则 8 -x+1 _, 3 ? 2 ? _________, ? 2 ? x ? 3 ? __________ x 此运算是否有交换律:即x ? y与y ? x是否相等? 请说明理由.

没有交换律,两者不相 等,举一反例即可 .

50


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