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第十二章 全等三角形

发布时间:2013-11-03 12:36:14  

第十二章 全等三角形

12.1全等三角形

一.基础知识

1、能够______________的图形就是全等图形, 两个全等图形的_________和________完全相同。

2、一个图形经过_______、_______、__________后所得的图形与原图形 _ 。

3、把两个全等的三角形重合在一起,重合的顶点叫做 ,重合的边叫做 ,重合的角叫做 _ 。“全等”用“ _ ”表示,读作 _ 。

4、全等三角形有这样的性质:全等三角形的 _ 相等, _ 相等。

二、基础训练

第5题 5、如图所示,△ABC≌△DEF, 对应顶点有:点____和点_____,点____和点____,点____和点_____; 对应角有:______和______,_______和_______,_______和_______;

对应边有:______和______,________和________,_________和_________.

6、如图,点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕O旋转180°,可以与△______重合,这说明△AOB≌△__________.这两个三角形的对应边是AO与_______,OB与_______,BA与________;对应角是∠AOB与____________,∠OBA与____________,∠BAO与____________.

7、如图,已知△ABC中,AB=3,AC=4, ∠ABC=118°,那么△ABC沿着直线AC翻折,就和△ADC重合,那么这两个三角形_____________,即___________________所以DA=______,∠ADC=_____°。

°,8、如图△ ABD ≌ △CDB,若AB=4,AD=5,BD=6,则BC= ,CD=______,∠A=110°,∠ABC=

∠C= °, ∠ADC= °.

B A

E

? C BD

第8题 第9题 第 10题

9、如图,已知△ABC≌△ADE,∠C=∠E,BC=DE, 其它的对应边有: ,

对应角有: 。想一想: ∠ BAD= ∠ CAE吗?为什么?

10.如图,△ACB≌△A?C?B?,?BCB?=30°,则?ACA?的度数为 °

. 1

11.2 全等三角形的判定(SSS)

1、如图1,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是( )

A.120° B.125° C.127° D.104°

2、如图2,线段AD与BC交于点O,且AC=BD,AD=BC,?则下面的结论中不正确的是( )

A.△ABC≌△BAD B.∠CAB=∠DBA C.OB=OC D.∠C=∠D

3、在△ABC和△A1B1C1中,已知AB=A1B1,BC=B1C1,则补充条件____________,可得到△ABC≌△A1B1C1.

4、如图3,AB=CD,BF=DE,E、F是AC上两点,且AE=CF.欲证∠B=∠D,可先运用等式的性质证明AF=________,

再用“SSS”证明______≌_______得到结论.

5、如图,AB=AC,BD=CD,求证:∠1=∠2.

6、如图,已知AB=CD,AC=BD,求证:∠A=∠D.

7、如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.请推导下列结论:⑴∠D=∠B;⑵AE∥CF.

2

12.2 全等三角形的判定(SAS)

1、如图1,AB∥CD,AB=CD,BE=DF,则图中有多少对全等三角形( )

A.3 B.4 C.5 D.6

2、如图2,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件( )

A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD

3、如图3,AD=BC,要得到△ABD和△CDB全等,可以添加的条件是( )

A.AB∥CD B.AD∥BC C.∠A=∠C D.∠ABC=∠CDA

4、如图4,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠AOD=________,?根据_________可得到△AOD≌△COB,

从而可以得到AD=_________.

5、如图5,已知△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由. ∵AD平分∠BAC, ∴∠________=∠_________(角平分线的定义).

在△ABD和△ACD中,∵____________________________, ∴△ABD≌△ACD( )

6、如图6,已知AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,求证∠ADE=∠B.

7、如图,已知AB=AD,若AC平分∠BAD,问AC是否平分∠BCD?为什么?

B

C A

8、如图,在△ABC和△DEF中,B、E、F、C,在同一直线上,下面有4个条件,请你在其中选3个作为

题设,余下的一个作为结论,写一个真命题,并加以证明.

①AB=DE; ②AC=DF; ③∠ABC=∠DEF; ④BE=CF.

3

11.2三角形全等的判定(AAS-ASA)

◆随堂检测1.如图,O是AB的中点,∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗?为什么?

A

B

2.如图,在△AFD和△BEC中,点A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,∠B=∠D,AD∥BC。试说明AD=CB。

A

E

BDC

●拓展提高3.玻璃三角板摔成三块如图,现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板,最省事的方法( )

A、带①去 B、带②去 C、带③去 D、带①②③去

4.如图,已知AC、BD相交于点0,∠A=∠B,∠1=∠2,AD=BC.

试说明△AOD≌△BOC.

5.如图,已知AC、BD交于E,∠A=∠B,∠1=∠2.求证:AE=BE.

E 2

D

C

4

6.如图,在△ABC中,MN⊥AC,垂足为N,,且MN平分∠AMC,△ABM的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC的周长。

A

NBMC●体验中考

7.(2009年江西省)如图,已知AB?AD,那么添加下列一个条件后,

仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )

A.CB?CD B.∠BAC?∠DAC

C.∠BCA?∠DCA D.∠B?∠D?90?

8.(2009年福建省龙岩市)如图,点B、E、F、C在同一直线上. 已知∠A =∠D,∠B =∠C,要使△ABF≌△DCE,

需要补充的一个条件是 (写出一个即可).

9.(2009年武汉市)如图,已知点E,C在线BF线段上,BE?CF,AB∥DE,?ACB??F. 求证:△ABC≌△DEF.

B E C F

11.2 全等三角形的判定同步练习(HL)

1、下列说法正确的是( )

A.面积相等的两个直角三角形全等 B.周长相等的两个直角三角形全等

C.斜边相等的两个直角三角形全等 D.有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等

2、如图已知AB=CD,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,AE=CF,则图中全等的三角形 有( )

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

3、如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,DE⊥BC,BE=EC,AC=6,AB=10,则△ADC的周长是 .

4、如图,AB=CD,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,若BE=CF,则△ABE≌△ ,其依据是 .

第2题 5 第3题 第4题

5、如图,AE⊥BC,DF⊥BC,E,F是垂足,且AE=DF,AB=DC,求证:∠ABC=∠DCB.

6、如图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE=BF. 求证:AB∥CD.

7、如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足, 求证:AD平分∠BAC.

11.3角的平分线的性质(第一课时)

学习目标

1、掌握尺规作图作角平分线

2、通过探究理解角平分线的性质并会运用

一、合作探究 探究1 尺规作已知角的平分线的一般方法:

已知:∠AOB,

求作:∠AOB的平分线OC

作法:

1.在上面作法的第二步中,去掉“大于1MN的长”这个条件行吗? 2

2. 能否用同样的方法做以下角的角平分线呢?

6

探究2:角平分线的性质 请同学们自己动手,折出如图所示的折痕PD、PE.

问题:你能用文字语言叙述所画图形的性质吗?

∵ OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,

∴PD=PE.

用三角形全等证明性质,

如图,已知:∠BAF=∠CAF,点O在AF上,OE⊥ AB , OD⊥AC,垂足分别为E,D.

求证:OE=OD

证明:

F

归纳:角平分线的性质是:角平分线上的 到角两边的 相等。

思考:我们要证明一个几何中的命题,需采用怎样的步骤?

三、练习反馈

1.结合图ll.3—2完成填空:的平分线上,

又∵______ ____ __ __ _____ __

∴_____________ __ __ ____ ___

2.如图11.3—3

,在,交BC于D,若BC=10cm,BD=6cm,求点D到AB的距离.

3.如图11.3—4

,在,AC=BC,AD

平分.交BC于点D

是( ).

4.已知:如图ll.3—5所示,BD是的平分线,AB=BC,P在BD

上,

求证:PM=PN.

5.已知:在等腰Rt△ABC中,AC = BC ∠C=90°,AD平分∠ BAC,DE⊥AB于点E。

求证:BD+DE =AC

7 D

变式 已知AB =15cm, 求△DBE的周长

6.如图ll.3—7,BN

是的平分线,P在BN上,D、E分别在AB、BC上

都不是直角,

求证:PD=PE

11.3角的平分线的性质(第二课时)

学习目标

1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.

2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题

一、自主学习 一个点到角的两边距离相等这个点一定在角的平分线上吗?

二、合作探究

1、比较角平分线的性质与判定

2、要在S区建一个集贸市场,使它到公路,铁路

距离相等且离公路,铁路的交叉处500米,应建在何处?

(比例尺 1:20 000)

8

11.3角的平分线的性质(第二课时)

三、随堂练习

1.如图,MP⊥NP,MQ为△NMP的角平分线,MT=MP,连结TQ,则下列结论中,不正确的是:( ) (A)TQ=PQ. (B)∠MQT=∠MQP.(C)∠QTN=90. (D)∠NQT=∠MQT.

N

T

M

o

A

C

A

F

E

Oo

QP

B

C

B

(第1题) (第2题) (第3题)

2.已知:如图,△ABC中,AB=AC,BD为∠ABC的平分线,∠BDC=60,则∠A的度数是:( ) (A)10. (B)20. (C)30. (D)40.

3.已知:如图,△ABC中,∠C=90,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且AB=10cm,BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于( )

(A)2cm、2cm、2cm.(B)3cm、3cm、3cm.

(C)4cm、4cm、4cm.(D)2cm、3cm、5cm.

4、如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC,求证∠1=∠2

5、如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA交OA于D,PE⊥OB交OB于E,F是OC上的另一点,连接DF,EF,求证DF=EF

o

o

o

o

o

9

八年级数学上册第十二章全等三角形

一、选一选, 比比谁细心(本大题共6小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

1.如图所示,在下列条件中,不能判断△ABD≌△BAC的条件是( ) ..

A.∠D=∠C,∠BAD=∠ABC B.∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BAC

C.BD=AC,∠BAD=∠ABC D.AD=BC,BD=AC

2.下列命题中正确的是( )

A.全等三角形的高相等 B.全等三角形的中线相等

C.全等三角形的角平分线相等 D.全等三角形对应角的平分线相等

3.如图,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于( )

A.60° B.50° C.45° D.30°

O

D E A C D 5题

第1题 第3题

4.已知△ABC不是等边三角形,P是△ABC所在平面上一点,P不与点A重合且又不在直线BC上,要想使△PBC与△ABC全等,则这样的P点有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5.如图,P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,下列结论中不正确的是( )

A.DE=DF B.AE=AF C.△ADE≌△ADF D.AD=DE+DF

6.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是( )

A.45° B.135° C.45°或135° D.都不对

二、填一填,看看谁仔细(本大题共4小题)

7.△ABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),如果要使△ABD与△ABC全等,那么点D的坐标是 .

8.如图, 点 P到∠AOB两边的距离相等,若∠POB=30°,则 ∠AOB=_____度.

AD

C CDB

第8题 第9题 第10题

09.如图,在△ABC中,∠C=90,BC=40,AD是∠BAC的平分线交BC于D,且DC∶DB=3∶5,则点D

到AB的距离是 。

10.如图,△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB,AC边翻折180?形成的,若?BAC?150?,则??的度数是 .

10

三、证一证:

11.已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:∠C=∠D

A

12.已知:如图,C为BE上一点,点A,D分别在BE两侧.AB∥ED,AB=CE,BC=ED.求证:AC=CD.

B E

D

13.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,∠1=∠2,∠3=∠4.

求证:(1)△ABC≌△ADC;(2)BO=DO.

O

D C

11

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