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第十一章三角形

发布时间:2013-11-03 12:36:15  

第十一章三角形

11.1.1 三角形的边

知识点1:认识三角形

三角形有关定义:在图9.1.3(1)中画着一个三角形ABC.三角形的顶点采用大写字母A、B、C或K、L、M等表示,整个三角形表示为△ABC或△KLM(参照顶点的字母).

如图(1)所示,在三角形中,每两条边所组成的角叫做三角形的内角,如∠ACB;三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角,如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角.图(2)指明了△ABC的主要成分.

9.1.3

三角形可以按角来分类:

所有内角都是锐角――锐角三角形;有一个内角是直角――直角三角形;

有一个内角是钝角――钝角三角形;

9.1.4

1.如图7.1.1-1的三角形记作__________,它的三条边是__________,三个顶点分别是_________,三个内角是__________,顶点A、B、C所对的边分别是___________,用小写字母分别表示__________.

7.1.1-2 图7.1.1-1

2.三角形按边分类可分为__________三角形,__________三角形;等腰三角形分为底与腰__________的三角形和底与腰__________的三角形.

3.如图7.1.1-2所示,以AB为一边的三角形有( )

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

知识点2:三角形三边关系

三角形的任何两边的和 第三边. 三角形的任何两边的差 第三边.

1.已知四组线段的长分别如下,以各组线段为边,能组成三角形的是( )

A.1,2,3 B.2,5,8 C.3,4,5 D.4,5,10

2.已知三角形的三边长分别为4、5、x,则x不可能是( )

A.3 B.5 C.7 D.9

3.(2008·福州)已知三角形的两边长分别为4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )

A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm

4.如果线段a、b、c能组成三角形,那么,它们的长度比可能是( )

A.1∶2∶4 B.1∶3∶4 C.3∶4∶7 D.2∶3∶4

5.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm,则此三角形的周长为( )

A.15cm B.18cm C.15cm或18cm D.不能确定

6.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是( )

A.3,4,5 B.3a,4a,5a C.3+a,4+a,5+a D.三条线段之比为3∶5∶8

1

7.三角形三边的比是3∶4∶5,周长是96cm,那么三边分别是________cm.

8.已知等腰三角形的周长是25cm,其中一边长为10cm,求另两边长__________.

已知三角形的三边长分别为3,8,x; 若x的值为奇数,则x的值有______个;

已知等腰三角形的周长为21cm,若腰长为底边长的3倍,则其三边长分别为______;

如果△ABC是等腰三角形,试问:

⑴ 若周长是18,一边长是8,则另两边长是_________________;

⑵ 若周长是18,一边长是4,则另两边长是__________________。

7.1.2 三角形的高、中线与角平分线

知识点1:三角形的高

1.如图7.1.2-1,在△ABC中,BC边上的高是________;在△AFC中,CF边上的高是________;在△ABE中,AB边上的高是

_________.

图7.1.2-1 图7.1.2-2 图7.1.2-3

2.如图7.1.2-2,△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H,则△ABH的三条高是_______,这三条高交于________.BD是△________、△________、△________的高.

3.如图7.1.2-3,在△ABC中EF∥AC,BD⊥AC于D,交EF于G,则下面说话中错误的是( )

A.BD是△ABC的高 B.CD是△BCD的高 C.EG是△ABD的高 D.BG是△BEF的高

4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

5.三角形的三条高的交点一定在( )

A.三角形内部 B.三角形的外部 C.三角形的内部或外部 D.以上答案都不对

6.如图7.1.2-4所示,△ABC中,边BC上的高画得对吗?为什么?

图7.1.2-4

知识点2:三角形的中线与角平分线

7如图7.1.2-5所示:(1)AD⊥BC,垂足为D,则AD是________的高,∠________=∠________=90°.

(2)AE平分∠BAC,交BC于E点,则AE叫做△ABC的________,∠________=∠________=

(3)若AF=FC,则△ABC的中线是________,S△ABF=________.

(4)若BG=GH=HF,则AG是________的中线,AH是________的中线.

8.下列判断中,正确的个数为( )

(1)D是△ABC中BC边上的一个点,且BD=CD,则AD是△ABC的中线

(2)D是△ABC中BC边上的一个点,且∠ADC=90°,则AD是△ABC的高

2 1∠________. 2

(3)D是△ABC中BC边上的一个点,且∠BAD=1∠BAC,则AD是△ABC的角平分线 2

(4)三角形的中线、高、角平分线都是线段

A.1 B.2 C.3 D.4

图7.1.2-5 图7.1.2-6 图7.1.2-7 图7.1.2-8

9.如图7.1.2-6,DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠ACB=60°,那么∠EDC=______度.

10.如图7.1.2-7,BD=DC,∠ABN=1∠ABC,则AD是△ABC的________线,BN是△ABC的________, 2

ND是△BNC的________线.

11.如图7.1.2-8,若上∠1=∠2、∠3=∠4,下列结论中错误的是( )

A.AD是△ABC的角平分线 B.CE是△ACD的角平分线

C.∠3=1∠ACB 2 D.CE是△ABC的角平分线

212.如图图7.1.2-9所示,在△ABC中,D、E分别是BC、AD的中点,S△ABC=4cm,求S△ABE.

13.在△ABC中,AB=2BC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,试判断AD和CE的大小关系,并说明理由。

E

B D

14. 如图7-1-6,△ABC的周长为18 cm,BE、CF分别为AC、AB边上的中线,BE、CF相交于点O,AO的延长线交BC于D,且AF=3 cm,AE=2 cm,求BD的长.

C

3

7.1.3 三角形的稳定性

知识点1:三角形的稳定性

1.三角形是具有________的图形,而四边形没有________. 2.自行车用脚架撑放比较稳定的原因是________.

3.木工师傅在做完门框后,为了防止变形常常像图7.1.3-1所示那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB、CD两个木条),这样做根据数学道理是

____________.

图7.1.3-1 图7.1.3-2

知识点2:四边形的不稳定性

4.如图7.1.3-2是放缩尺,其工作原理是______________________. 5下列把四边形的不稳定性合理地应用到生产实际中的例子有( )

(1)活动挂架 (2)放缩尺 (3)屋顶钢架 (4)能够推拢和拉开的铁拉门 (5)自行车的车架 (6)大桥钢架 A.1 B.2 C.3 D.4

6.如图,AD是△ABC的边BC上的中线,已知AB=5cm,AC=3cm,求△ABD?与△ACD的周长之差.

4

7.2 与三角形有关的角

7.2.1三角形的内角

知识点:三角形内角和定理:三角形的内角和 .

1. 在△ABC中,(1)已知∠A=70°,能否知∠B,∠C的度数?为什么?

(2)已知∠A=70°,∠B=62°,则∠C=_______.

(3)已知∠A=80°,∠B-∠C=40°,则∠C=________.

(4)已知∠A+∠B=100°,∠C=2∠A,则∠A=________.

(5)已知∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠A=______,∠B=_______。

2. 在一个三角形中,最多有_________个直角.

3. 如果一个三角形的三个角都相等,那么这个三角形是( ).

A. 锐角三角形 B. 直角三角形

C. 钝角三角形 D. 不能确定

4. 在△ABC中,∠C=40°,且∠B:∠A=4:3,那么∠B的度数为( ).

A. 40° B. 60° C. 80° D. 120°

5. 根据下列条件,判断△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形.

11 (1)∠A=80°,∠B=25°;(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3;(3)∠A=?B??C 26

6. 如图所示,已知在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.

中考真题实战:

7. (陕西)如图所示,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上

的高,且CD,BE交于一点P,若∠A=50°,则∠BPC的度数是( ).

A. 150° B. 130° C. 120° D. 100°

8. (天津)如图所示,在△ABC中∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°,求∠EDF的度数.

5

7.2.2三角形的外角

知识点1:三角形的外角和等于

三角形外角的性质1:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

1. 在△ABC中,∠B=50°,∠C的外角等于100°,则∠A=_________.

2. 如图所示,则∠α=_______.

3. 在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,此△ABC中最大的外角为____________。

4. 如图所示,在△ABC中,BD,CE是两条高,∠A=50°,则∠BOC=_________.

5. 如图所示,∠B=45°,∠ECD=140°,CE平分∠ACB,则∠ACE=_______。∠AEC=_______,∠A=_______,∠DCB=_______.

知识点2:三角形外角的性质2:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角

6. 如图所示,E是△ABC内一点,延长CE交AD于E点,∠1是______的外角,∠3是_______的外角,用“<”连接∠1,∠2,∠3的大小关系为_______。

7. 如图所示,已知在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,E是AD上一点,则∠BED与∠C的大小关系为_________.

8. 如图所示,已知l1//l2,则下列不等式一定正确的是( ).

A. β>γ B. γ>β C. α>β D. α>β+γ

中考真题实战:

9. (贵阳)如图所示,P为△ABC中BC边的延长线上一点,∠A=50°,∠B=70°,则∠ACP=________.

6

7.3 多边形及其内角和

知识点:多边形的内、外角和定理的综合应用

n边形的内角和为_________________;正n边形的单个内角为

任意多边形的外角和都为________;正n边形的单个外角为

5分钟训练 1.三角形的内角和等于_____________度,外角和等于_____________度.

2.n边形的内角和等于_____________度,外角和等于_____________度.

3.如果一个多边形的内角和为1 440°,那么这个多边形是( )

A.6边形 B.8边形 C.10边形 D.12边形

4.过多边形一个顶点可引5条对角线,那么这个多边形是______________边形.( )

A.5 B.7 C.8 D.10

5.若一个多边形的边数减少1,则它的内角和( )

A.不变 B.增加180° C.减少180° D.无法确定

6.若正n边形的一个外角为60°,则n为( )

A.4 B.5 C.6 D.9

7.凸n边形的n个内角与某一个外角的和为1 350°,则n等于( )

A.6 B.7 C.8 D.9

8.过n边形一个顶点可作_______________条对角线,过n个顶点可作_______________条对角线.

9.一个多边形除去一个内角外,其余各角之和为2 750°,求这个多边形的边数及去掉的角的度数.

10.一个多边形的内角与外角的总和为2 160°,则此多边形是_____________边形.( )

A.五 B.六 C.十 D.十二

11.若一个多边形的每个内角都等于140°,那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数为( )

A.9 B.8 C.7 D.6

12.(四川广安)已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍,则这个多边形的边数是_________________.

4.某多边形所有内角的和与某一个外角的差是1 710°,那么这个多边形是_____________边形,这个外角的度数为__________________.

13、已知n边形的内角和与外角和之比为9:2,求n。

14、考古学家厄莎·迪格斯发掘出一块瓷盘的碎片。原来的瓷盘的形状是一个正多边形。如果原来的瓷盘是正十六边形,那么它大概是三世纪和平王朝礼仪用的盘子;如果原来的瓷盘是正十八边形,那么它大概是十二世纪哇丁王朝宴会用的盘子,厄莎度量这块碎片的每一条边的长度,发现它们的大小都相同。她猜想原来的完好的盘子所有的边的大小都相同的。她再度量每块碎片上的角,发现它们的大小也相同。她猜想,原来的完好的盘子所有角的大小也相同。如果每一个角的度数是160°,那么这个盘子出自哪一个朝代呢?

7

7.4课题学习 镶嵌

知识点:平面镶嵌的含义及用相同的正多边形进行平面镶嵌

1. 用多边形把平面的一部分完全覆盖的意思是指既不留下_______,又不_________,这与多边形的_______________有关.

2. 当__________________时,这些正多边形才能铺满整个地面.

3. 下列图形不能用来铺满地面的是( ).

A. 钝角三角形 B. 长方形 C. 梯形 D. 正五边形

4. 下列说法正确的是( ).

A. 只有正多边形可以平面镶嵌 B. 最多能用两种正多边形进行平面镶嵌

C. 一般的凸多边形也可以平面镶嵌 D. 只有正五边形不可以平面镶嵌

知识点2:用不同的正多边形进行镶嵌

5. 有以下边长相等的三种图形:①正三角形;②正方形;③正八边形.选其中两种图形镶嵌成平面图形,请你写出两种不同的选法:________或________.(用序号表示图形)

6. 当围绕一个顶点拼在一起的多边形中有________个正三角形与________个正方形,这个组合能铺满平面;当围绕一个顶点拼在一起的多边形中有________个正三角形与________个正方形和________个正六边形,则这个组合也能平面镶嵌。

7. 不能铺满地面的正多边形的组合是( ).

A. 正三角形和正五边形 B. 正方形和正八边形

C. 正三角形和正十二边形 D. 正三角形、正方形和正六边形

中考真题实战:

8. (天津)如果限用一种正多边形镶嵌,在下面的正多边形中,不能镶嵌为一个平面的是( ).

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

9. (内蒙古)如果不限用一种多边形镶嵌,哪几种正多边形镶嵌成一个平面?下列选项正确的是( ).

A. 正三角形、正方形、正五边形 B. 正三角形、正方形、正六边形

C. 正三角形、正方形、正八边形 D. 正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形

10. (无锡)用一种正多边形地砖镶嵌成平整的地面,那么这种正多边形地砖的形状可以是__________________________________________.用二种正多边形地砖镶嵌成平整的地面,那么这两种正多边形地砖的形状可以是_____________________、______________________、__________________.你能说出其中的道理吗?

8

《三角形》课堂测试题

(时间:30分钟 满分:100分)

一、选择题(每小题6分,共36分)

1.图中三角形的个数是( )

A.8 B.9 C.10 D.11

2.下面四个图形中,线段BE是⊿ABC的高的图是( )

B

CBCBC EE

A. B. C. D. AC

3.以下各组线段为边,能组成三角形的是( )

A.1cm,2cm,4cm B.8cm,6cm,4cm C.12cm,5cm,6cm D.2cm,3cm,6cm

4.三角形一个外角小于与它相邻的内角,这个三角形是( )

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.属于哪一类不能确定

5.如图,在直角三角形ABC中,AC≠AB,AD是斜边上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E、F,则图

中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是( )

A、2 B、3 C、4 D、5

6.下面各角能成为某多边形的内角和的是( )

A.430° B.4343° C.4320° D.4360°

E

CB

ACEB

BC A

(第5题图) (第7题图) (第8题图)

二、填空题(每空6分,共24分)

7.如图,在⊿ABC中,AD是中线,则⊿ABD的面积 ⊿ACD的面积(填“>”“<”“=”)。

8.如图,⊿ABC中,∠A = 40°,∠B = 72°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE,则∠CDF = 度。

9.一个四边形的四个内角中最多有 个钝角,最多有 个锐角。

10.一个多边形的每一个外角都等于30°,这个多边形的边数是 ,它的内角和是 。

9

三、试一试

11.(10分)小颖要制作一个三角形木架,现有两根长度为8m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的长度

是整数,小颖有几种选法?第三根木棒的长度可以是多少?

12.(15分)⊿ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。

(1)若∠ABC = 40°,∠ACB = 50°,则∠BOC = 。

(2)若∠ABC +∠ACB =116°,则∠BOC = 。

(3)若∠A = 76°,则∠BOC = 。

(4)若∠BOC = 120°,则∠A = 。

(5)你能找出∠A与∠BOC 之间的数量关系吗?

13.(15分)小设计(本题分)一块三角形优良品种试验田,现引进四种不同的种子进行对比试验,需要

将这块地分成面积相等的四块,请你设计出两种划分方案供选择,画图说明。

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