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勾股定理专题

发布时间:2013-11-03 12:36:19  

初2015级上期数学《勾股定理》专题训练

班级 姓名 学号 编写:钟驰宇

(一)双解问题

例1 一个三角形的两边长是5和12,要使其成为一个直角三角形,那么第三边长应为多少?

变式:

1.小强家有一块三角形菜地,量得两边长分别为41m,15m,第三边上的高为9m,请你帮小强计算这块菜地的面积.

2.在△ABC中,AB=15,AC=13,高CD=12,求三角形的周长.

(二)折叠问题中利用勾股定理建立方程

例2 如图,在长方形ABCD中,AD=10cm,AB=8cm,E是CD上一点,若以AE为折痕,将△ADE翻折,点D恰与BC边上的点F重合,求△AEF的面积.

变式:

1.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,现将它折叠,

使点B与点C重合,折痕DE的长为 .

2.长方形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图的方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE= cm.

2题 3题

3.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=3,BC=4,现将顶点A、C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,则重垒部分△AEF的面积为 .

1

例3 把图一的矩形纸片ABCD折叠,B,C两点愉好重合落在AD边上的点P处(如图二),已知∠MPN=90°,PM=3,PN=4,(1)求△PMN的周长;(2)求矩形纸片ABCD的面积.

变式:如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5,在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK.

(1)若∠1=70°,求∠MKN的度数.

(2)△MNK的面积能否小于1?若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由.

2

(三)勾股定理逆定理的应用

例4 在△ABC中,a=m?n,b=2mn,c=m?n,其中m, n是正整数,且m>n,试判断△ABC是不是直角三角形.

变式:

1.下列各组线段中的三个长度①9、12、15;②7、24、25;③32、42、52;④3a、4a、5a(a>0); ⑤m2-n2、2mn、m2+n2(m、n为正整数,且m>n)其中可以构成直角三角形的有( )

A.5组 B.4组 C.3组 D.2组

2. 设一个直角三角形两直角边分别为a、b,斜边上的高为h,斜边长为c,则以c?h、

a?b、h为边的三角形的形状是

3.四边形ABCD中,∠C=90°,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积 A D B2222C

2

(四)勾股定理及逆定理与图形面积的整体计算

例5 已知直角三角形的周长为9,斜边长为2,求它的面积. 2

变式:

1.如图,△ABC中,AB=AC,AD=4,AD为高,△ABC的周长为

16,S△ABC.

2.若三角形的三边a、b、c满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形是 三角形.

3..如图,△ABC中,∠B=90°,两直角边AB=7,BC=24,三角形

内有一点P到各边的距离相等,则这个距离是( )

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

(五)勾股定理及逆定理的综合应用

例6 如图所示,一根旗杆在离地面5米处断裂,旗杆顶部落承离杆底12米的A处,旗杆断裂前有多高?

变式:现有一长25cm的云梯,架靠在一面墙上,梯子底端离墙7m,则梯子可以到达墙的高度为 m,若梯子顶端下滑了4m,则梯子底部在水平方向滑动了 m.

例7 如图所示,一圆柱油罐底面积的周长为24m,高为6m,一只壁虎从距底面1m的A处爬行到对角B处去捕食,它爬行的最短路线长为多少?

例8 如图所示,高速公路的同侧有A、B两个村庄,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km,BB1=4km,且A1B1=8km.现在在高速公路的A1B1之

间设一个出口P,使A、B两个村庄到P的距离之和最短,则这个最短距

离是多少?

变式:1. 如图,长方体的长为15 cm,宽为10 cm,高为20 cm,点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?

3

2.公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160米,假设拖拉机在行驶时,周围100米内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行使时,学校是否会受到影响?请说明理由,如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受影响的时间为多少?

例9 如图,四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形,边长分别为1,2,c;A,B,N,E,F五点在同一直线上,正方形NHMC的面积

变式:如图,四边形ABCD,EFGH,NHMC都是正方形,边长分别为a、b、c,A、B、N、E、F五点在同一直线上,则ca,b的代数式表示).

例10 某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中AB=2.3m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车,高为2.8m,宽为1.6m,问这辆车能否通过公司大门?并说明你的理由.

222变式:已知,如图△ABC中,∠C=90°,M为AB中点,∠PMQ=90°,求证PQ=AP+BQ.

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