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2013-2014人教版八年级数学上册全册教案

发布时间:2013-11-04 09:37:12  

第七章 三角形

教材内容

本章主要内容有三角形的有关线段、角,多边形及内角和,镶嵌等。

三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段,与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实

0验让学生了解三角形的稳定性,在知道三角形的内角和等于180的基础上,进行推理论证,从而得出三角

形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念,介绍了多边形的有关概念,利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识,既是学习特殊三角形的基础,也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题,体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用.

教学目标

〔知识与技能〕

1、理解三角形及有关概念,会画任意三角形的高、中线、角平分线;2、了解三角形的稳定性,理解三角形两边的和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形;3、会证明三角形内角和

0等于180,了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念,会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。5、理解平面镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面,并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。

〔过程与方法〕

1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯;

2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培说理和进行简单推理的能力。

〔情感、态度与价值观〕

1、体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心;2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识;3、使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。

重点难点

三角形三边关系、内角和,多边形的外角和与内角和公式,镶嵌是重点;三角形内角和等于180的证明,根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 0

课时分配

7.1与三角形有关的线段 ??????????????? 2课时

7.2 与三角形有关的角 ???????????????? 2课时

7.3多边形及其内角和 ???????????????? 2课时

本章小结 ?????????????????????? 2课时

1

7.1.1三角形的边

[教学目标]

〔知识与技能〕

1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形 ;

2理解三角形三边不等的关系,会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯; 〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心

[重点难点] 三角形的有关概念和符号表示,三角形三边间的不等关系是重点;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。

[教学过程]

一、情景导入

三角形是一种最常见的几何图形, [投影1-6]如古埃及金字塔,香港中银大厦,交通标志,等等,处处都有三角形的形象。

c 那么什么叫做三角形呢?

二、三角形及有关概念 AC不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 (1)注意:三条线段必须①不在一条直线上,②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

三、三角形三边的不等关系

探究:[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么?

有两条路线:(1)从B→C,(2)从B→A→C;不一样, AB+AC>BC ①;因为两点之间线段最短。 同样地有 AC+BC>AB ②

AB+BC>AC ③

由式子①②③我们可以知道什么?

三角形的任意两边之和大于第三边.

四、三角形的分类

我们知道,三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形,我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。

按角分类:

三角形 ? 直角三角形 ? ? 斜三角形 ? 锐角三角形 ? ? 钝角三角形

2

B

那么三角形按边如何进行分类呢?请你按“有几条边相等”将三角形分类。

三边都相等的三角形叫做等边三角形;

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形; 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。

显然,等边三角形是特殊的等腰三角形。

按边分类: 底角 底角 底边 三角形 ? 不等边三角形 ?? 等腰三角形 ? 底和腰不等的等腰三角形 ?

? 等边三角形

五、例题

例 用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。(1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?(2)能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗?为什么?

分析:(1)等腰三角形三边的长是多少?若设底边长为x㎝,则腰长是多少?(2)“边长为4㎝”是什么意思?

解:(1)设底边长为x㎝,则腰长2 x㎝。

x+2x+2x=18

解得x=3.6

所以,三边长分别为3.6㎝,7.2㎝,7.2㎝.

(2)如果长为4㎝的边为底边,设腰长为x㎝,则

4+2x=18

解得x=7

如果长为4㎝的边为腰,设底边长为x㎝,则

2×4+x=18

解得x=10

因为4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角形。 由以上讨论可知,可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。

五、课堂练习

课本4頁练习1、2题。

六、课堂小结

1、三角形及有关概念;

2、三角形的分类;

3、三角形三边的不等关系及应用。

作业:

课本8頁1、2、6;

7.1.2 三角形的高、中线与角平分线

〔教学目标〕

〔知识与技能〕

1、经历画图的过程,认识三角形的高、中线与角平分线;

2、会画三角形的高、中线与角平分线;3、了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点.

〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯

3

〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心

〔重点难点〕三角形的高、中线与角平分线是重点;三角形的角平分线与角的平分线的区别,画钝角三角形的高是难点.

〔教学过程〕

一、导入新课 A 我们已经知道什么是三角形,也学过三角形的高。三角形的主要线段除高外,还有中线和角平分线值得我们研究。

二、三角形的高 BCD请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。

从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高,表示为AD⊥BC于点D。

注意:高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。

请你再画出这个三角形AB 、AC边上的高,看看有什么发现?

三角形的三条高相交于一点。

如果△ABC是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗? A现在我们来画钝角三角形三边上的高,如图。 A

E C BDCBDC

显然,上面的结论成立。

请你画一个直角三角形,再画出它三边上的高。

上面的结论还成立。

三、三角形的中线

如图,我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线,表示为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.

请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线,看看有什么发现?

三角的三条中线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗?请画图回答。

上面的结论还成立。

四、三角形的角平分线

如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD=∠BAC。

思考:三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗?

三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,是不一样的。

请你在图中再画出另两个角的平分线,看看有什么发现?

三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗?请画图回答。

上面的结论还成立。

想一想:三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同?

4

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部,而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

五、课堂练习

课本5頁练习1、2题。

六、课堂小结

1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。

2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。

七作业:

课本8頁3、4;

7.1.3三角形的稳定性

[教学目标]

〔知识与技能〕

1、 知道三角形具有稳定性,四边形没有稳定性;2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。 〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯 〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心

[重点难点] 三角形稳定性及应用。

[教学过程]

一、情景导入

盖房子时,在窗框未安装之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢?

二、三角形的稳定性

?实验?1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?

不会改变。

2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?

会改变。

3、在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗? 不会改变。

从上面的实验中,你能得出什么结论?

三角形具有稳定性,而四边形不具有稳定性。

三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用

三角形具有稳定性固然好,四边形不具有稳定性也未必不好,它们在生产和生活中都有广泛的应用。如:

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性,活动挂架则是利用四边形的不稳定性。 你还能举出一些例子吗?

四、课堂练习

5 (2)

1、下列图形中具有稳定性的是( )

A正方形 B长方形 C直角三角形 D平行四边形

2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍?

3、课本7頁练习。

五作业:8頁5;9頁10题。

7.2.1三角形的内角

[教学目标]

〔知识与技能〕

掌握三角形内角和定理。

〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯 〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心

[重点难点] 三角形内角和定理是重点;三角形内角和定理的证明是难点。

[教学过程]

一、导入新课

我们在小学就知道三角形内角和等于1800,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢?

二、三角形内角和的证明

回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出

0∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=180。[投影1]

图1

想一想,还可以怎样拼?

0①剪下∠A,按图(2)拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=180。

图2

0②把?B和?C剪下按图(3)拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=180。

6

0如果把上面移动的角在图上进行转移,由图1你能想到证明三角形内角和等于180的方法吗?

0已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180。

证明一

过点C作CM∥AB,则∠A=∠ACM,∠B=∠DCM,

0又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180

0∴∠A+∠B+∠ACB=180。

0即:三角形的内角和等于180。

由图2、图3你又能想到什么证明方法?请说说证明过程。

三、例题

例 如图,C岛在A岛的北偏东500方向,B岛在A岛的北偏东800方向,C岛在B岛的北偏西400方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?

分析:怎样能求出∠ACB的度数?

根据三角形内角和定理,只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。

∠CAB等于多少度?怎样求∠CBA的度数?

000解:∠CBA=∠BAD-∠CAD=80-50=30

0 ∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=180

0000∴∠ABE=180-∠BAD=180-80=100

000∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100-40=60

00000∴∠ACB=180-∠ABC-∠CAB=180-60-30=90

00答:从C岛看AB两岛的视角∠ACB=180是90。

四、课堂练习

课本13頁1、2题。

五作业:

16頁1、3、4;

7.2.2三角形的外角

[教学目标]

〔知识与技能〕

理解三角形的外角;2、掌握三角形外角的性质,能利用三角形外角的性质解决问题。

〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯 〔情感、态度与价值观〕

7

体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心

[重点难点] 三角形的外角和三角形外角的性质是重点;理解三角形的外角是难点。

[教学过程]

一、导入新课

?投影1?如图,△ABC的三个内角是什么?它们有什么关系?

是∠A、∠B、∠C,它们的和是1800。

若延长BC至D,则∠ACD是什么角?这个角与△ABC的三个内角有什么关系?

二、三角形外角的概念

∠ACD叫做△ABC的外角。也就是,三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角。

想一想,三角形的外角共有几个?

共有六个。

注意:每个顶点处有两个外角,它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时,通常每个顶点处取一个外角.

三、三角形外角的性质

容易知道,三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角,那与另外两个

角有怎样的数量关系呢?

?投影2?如图,这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线,你能就此图说

明∠ACD与∠A、 ∠B的关系吗?

∵CE∥AB, ∴∠A=∠1,∠B=∠2

又∠ACD=∠1+∠2

∴∠ACD=∠A+∠B

你能用文字语言叙述这个结论吗?

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

由加数与和的关系你还能知道什么?

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

即 ?ACD??A,?ACD??B。

四、例题

?投影3?例 如图,∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角,它们的和是多少?

分析:∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系?∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系?

解:∵∠1+∠BAC=1800,∠2+∠ABC=1800,∠3+∠ACB=1800,

∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400

又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800

∴∠1+∠2+∠3==3600。

你能用语言叙述本例的结论吗?

三角形外角的和等于3600。

五、课堂练习

课本15頁练习;

六、课堂小结

1、什么是三角形外角?

2、三角形的外角有哪些性质?

七、作业:

课本12頁5、6;

8

7.3.1 多边形

[教学目标]

〔知识与技能〕

1、 了解多边形及有关概念,理解正多边形的概念.2、区别凸多边形与凹多边形.

〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯 〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心

[重点难点] 多边形及有关概念、正多边形的概念是重点;区别凸多边形与凹多边形是难点。

[教学过程]

一、情景导入

[投影1]看下面的图片,你能从中找出由一些线段围成的图形吗?

二、多边形及有关概念

这些图形有什么特点?

由几条线段组成;它们不在同一条直线上;首尾顺次相接.

这种在平面内,由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形??、n边形。这就是说,一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形,三角形是最简单的多边形。

与三角形类似地,多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。[投影2

]

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.

四边形有几条对角线?五边形有几条对角线?画图看看。

你能猜想n边形有多少条对角线吗?说说你的想法。

n边形有1/2n(n-3)条对角线。因为从n边形的一个顶点可以引n-3条对角线,n个顶点共引n(n-3)条对角线,又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的,所以,n边形有1/2n(n-3)条对角线。

三、凸多边形和凹多边形

[投影3]如图,下面的两个多边形有什么不同?

9

在图(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形。

注意:今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.

四、正多边形的概念

我们知道,等边三角形、正方形的各个角都相等,各条边都相等,像这样各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。

[投影4]下面是正多边形的一些例子。

五、课堂练习

课本21頁练习1、2。

3、有五个人在告别的时候相互各握了一次手,他们共握了多少次手?你能找到一个几何模型来说明吗?

六、课堂小结

1、多边形及有关概念。

2、区别凸多边形和凹多边形。

3、正多边形的概念。

4、n边形对角线有1/2n(n-3)条。

七、作业:

课本24頁1。

7.3.2 多边形的内角和

[教学目标]

〔知识与技能〕

1、 了解多边形的内角、外角等概念;

2、 2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.

〔过程与方法〕

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯 〔情感、态度与价值观〕

体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心

[重点难点]多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点;多边形的内角和定理的推导是难点。

[教学过程]

一、复习导入

我们已经证明了三角形的内角和为180°,在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数,知道四边

10

形内角的和为360°,现在你能利用三角形的内角和定理证明吗?

二、多边形的内角和

?投影1?如图,从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?

D

C

可以引一条对角线;它将四边形分成两个三角形;因此,四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。

类似地,你能知道五边形、六边形?? n边形的内角和是多少度吗?

?投影2?观察下面的图形,填空:

五边形 六边形

从五边形一个顶点出发可以引 对角线,它们将五边形分成 三角形,五边形的内角和等于 ;

从六边形一个顶点出发可以引 对角线,它们将六边形分成 三角形,六边形的内角和等于 ;

?投影3?从n边形一个顶点出发,可以引 对角线,它们将n边形分成 三角形,n边形的内角和等于 。

n边形的内角和等于(n一2)·180°.

从上面的讨论我们知道,求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三

角形来求。现在以五边形为例,你还有其它的分法吗? B

分法一 ?投影3?如图1,在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、

OB、OC、OD、OE,则得五个三角形。 C

∴五边形的内角和为5×180°一2×180°=(5—2)×180°=540°。 E

D

图1 图2

分法二 ?投影4?如图2,在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形。 ∴五边形的内角和为(5—1)×180°一180°=(5—2)×180°

如果把五边形换成n边形,用同样的方法可以得到n边形内角和=(n一2)×180°.

三、例题

?投影6?例1 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?

如图,已知四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,求∠B与∠D的关系.

分析:∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系?

11

解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°

又∠A+∠C=180°

∴∠B+∠D= 360°-(∠A+∠C)=180°

这就是说,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.

?投影7?例2 如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?

如图,已知∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.

分析:多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系?六边形的内角和是多少度?

A 6

B

F5

C

E

D4

解:∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BAD=180°

∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°

∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°

又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°

∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°

这就是说,六边形形的外角和为360°。

如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果:

n边形的外角和等于360°。

对此,我们也可以这样来理解。?投影8?如图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.

四、课堂练习

课本24頁1、2、3题。

五、课堂小结

n边形的内角和是多少度?

n边形的外角和是多少度?

六、作业:

课本24頁2、3;

12

本章小结

一、知识结构

二、回顾与思考

1、什么是三角形?什么是多边形?什么是正多边形? 三角形是不是多边形?

2、什么是三角形的高、中线、角平分线?什么是对角线? 三角形有对角线吗?n边形的的对角线有多少条?

3、三角形的三条高,三条中线,三条角平分线各有什么特点? 4、三角形的内角和是多少?n边形的内角和是多少? 你能用三角形的内角和说明n边形的内角和吗?

5、三角形的外角和是多少?n边形的外角和是多少? 你能说明为什么多边形的外角和与边数无关吗?

6、怎样才算是平面镶嵌?平面镶嵌的条件是什么?能单独进行平面镶嵌的多边形有哪些? 你能举一个几个多边形进行平面镶嵌的例子吗? 三、例题导引

例1 如图,在△ABC中,∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5,BD、CE分别是边AC、AB上的高,BD、CE相交于点H,求∠BHC的度数。

探索∠A与∠1+∠2有什么数量关系?并说明理由。

B E D

C

例2 如图,把△ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,

B

E

D

A

C

例3 如图所示,在△ABC中,△ABC的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明∠P=1/2∠A.

13

A

P

(2)C

四、巩固练习

课本28—29頁复习题7(第3题可不做).

第十二章 全等三角形

单元要点分析

教学内容

本章的主要内容是全等三角形.主要学习全等三角形的性质以及探索判定三角形全等的方法,并学会怎样应用全等三角形进行证明,本章划分为三个小节,第一节学习三角形全等的概念、性质;第二节学习三角形全等的判定方法和直角三角形全等的特殊判定方法;第三节利用三角形全等证明角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质进行证明.

教材分析

教材力求创设现实、有趣的问题情境,使学生经历从现实活动中抽象出几何模型和运用所学内容解决实际问题的过程.在内容呈现上,把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件上,通过“边边边”条件探索什么是三角形的判定,如何判定,怎样进行推理论证,怎样正确地表达证明过程.学生开始学习三角形判定定理时的困难在于定理的证明,而这些推理证明并不要求学生掌握.为了突出判定方法这条主渠道,教材都作为基本事实提出来,在画图、实验中让学生知道它们的正确性就可以了.在“角的平分线的性质”一节中的两个互逆定理,只要求学生了解其条件与结论之间的关系,不必介绍互逆命题、互逆定理等内容,这将在“勾股定理”中介绍.

三维目标

1.知识与技能

在探索全等三角形的性质与判定中,提高认知水平,积累数学活动经验.

2.过程与方法

经历探索三角形全等的判定的,发展空间观念和有条理的表达能力,掌握两个三角形全等的判定并应用于实际之中.

3.情感、态度与价值观

培养良好的观察、操作、想象、推理能力,感悟几何学的内涵.

重、难点与关键

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1.重点:使学生理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式.

2.难点:领会证明的分析思路,学会运用综合法证明的格式.

3.关键:突出三角形全等的判定方法这条主线,淡化对定理的证明.

教学建议

1.注意使学生经历探索三角形性质及三角形全等的判定的过程.?在教学中鼓励学生观察、操作、推理,运用多种方式探索三角形有关性质.

2.注重创设具有现实性、趣味性和挑战性的情境,体现三角形的广泛应用.

3.注意直观操作与说理的结合,逐步培养学生有条理的思考和表达.

课时划分

本单元共分成9课时.

12.1 全等三角形 1课时

12.2 三角形全等的性质 5课时

12.3 角的平分线的性质 2课时

复习与交流 1课时

12.1 全等三角形

教学内容

本节课主要介绍全等三角形的概念和性质.

教学目标

1.知识与技能

领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念.

2.过程与方法

经历探索全等三角形性质的过程,能在全等三角形中正确找出对应边、对应角.

3.情感、态度与价值观

培养观察、操作、分析能力,体会全等三角形的应用价值.

重、难点与关键

1.重点:会确定全等三角形的对应元素.

2.难点:掌握找对应边、对应角的方法.

3.关键:找对应边、对应角有下面两种方法:(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;(2)对应边所对的角是对应角,?两条对应边所夹的角是对应角.

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教具准备

四张大小一样的纸片、直尺、剪刀.

教学方法

采用“直观──感悟”的教学方法,让学生自己举出形状、大小相同的实例,加深认识.

教学过程

一、动手操作,导入课题

1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形,再用剪刀剪下,?思考得到的图形有何特点?

2.重新在一张纸板上画出任意一个三角形,再用剪刀剪下,?思考得到的图形有何特点?

【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论,得出结论.

【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形.

学生在操作过程中,教师要让学生事先在纸上画出三角形,然后固定重叠的两张纸,注意整个过程要细心.

【互动交流】剪出的多边形和三角形,可以看出:形状、大小相同,能够完全重合.这样的两个图形叫做全等形,用“≌”表示.

概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形,要求学生手拿一个三角形,做如下运动:平移、翻折、旋转,观察其运动前后的三角形会全等吗?

【学生活动】动手操作,实践感知,得出结论:两个三角形全等.

【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形,同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边.

【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母,并任意放置,与同桌交流:(1)何时能完全重在一起?(2)此时它们的顶点、边、角有何特点?

【交流讨论】通过同桌交流,实验得出下面结论:

1.任意放置时,并不一定完全重合,?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合.

2.这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了.

3.完全重合说明三条边对应相等,三个内角对应相等,?对应顶点在相对应的位置.

【教师活动】根据学生交流的情况,给予补充和语言上的规范.

1.概念:把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,?重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.

2.证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,?如果本图11.1─2△ABC和△DBC全等,点A和点D,点B和点B,点C和点C是对应顶点,?记作△ABC≌△DBC.

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【问题提出】课本图11.1─1中,△ABC≌△DEF,对应边有什么关系?对应角呢?

【学生活动】经过观察得到下面性质:

1.全等三角形对应边相等;

2.全等三角形对应角相等.

二、随堂练习,巩固深化

课本P37练习.

【探研时空】

1.如图1所示,△ACF≌△DBE,∠E=∠F,若AD=20cm,BC=8cm,你能求出线段AB的长吗?与同伴交流.(AB=6)

2.如图2所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.?(∠AEC=30°,∠EAC=65°,∠ECA=85°)

三、课堂总结,发展潜能

1.什么叫做全等三角形?

2.全等三角形具有哪些性质?

四、布置作业,专题突破

课本P43习题12.1第1,2,3,4题.

五、板书设计

把黑板分成左、中、右三部分,左边板书本节课概念,中间部分板书“思考”中的问题,右边部分板书学生的练习.

疑难解析

由于两个三角形的位置关系不同,在找对应边、对应角时,可以针对两个三角形不同的位置关系,寻找对应边、角的规律:(1)有公共边的,?公共边一定是对应边;(2)有公共角的,公共角一定是对应角;

(3)有对顶角的,对顶角一定是对应角;两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或

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角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或角)

12.2.1三角形全等的判定(SSS)

教学内容

本节课主要内容是探索三角形全等的条件(SSS),?及利用全等三角形进行证明.

教学目标

1.知识与技能

了解三角形的稳定性,会应用“边边边”判定两个三角形全等.

2.过程与方法

经历探索“边边边”判定全等三角形的过程,解决简单的问题.

3.情感、态度与价值观

培养有条理的思考和表达能力,形成良好的合作意识.

重、难点与关键

1.重点:掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法.

2.难点:理解证明的基本过程,学会综合分析法.

3.关键:掌握图形特征,寻找适合条件的两个三角形.

教具准备

一块形状如图1所示的硬纸片,直尺,圆规.

(1) (2)

教学方法

采用“操作──实验”的教学方法,让学生亲自动手,形成直观形象.

教学过程

一、设疑求解,操作感知

【教师活动】(出示教具)

问题提出:一块三角形的玻璃损坏后,只剩下如图2所示的残片,?你对图中的残片作哪些测量,就可以割取符合规格的三角形玻璃,与同伴交流.

【学生活动】观察,思考,回答教师的问题.方法如下:可以将图1?的玻璃碎片放在一块纸板上,然

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后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形.如图2,?剪下模板就可去割玻璃了.

【理论认知】

如果△ABC≌△A′B′C′,那么它们的对应边相等,对应角相等.?反之,?如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等,三个角对应相等,即AB=A′B′,BC=B′C′,CA=C′A′,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′.

这六个条件,就能保证△ABC≌△A′B′C′,从刚才的实践我们可以发现:?只要两个三角形三条对应边相等,就可以保证这两块三角形全等.

信不信?

【作图验证】(用直尺和圆规)

先任意画出一个△ABC,再画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,C′A′=CA.把画出的△A′B′C′剪下来,放在△ABC上,它们能完全重合吗?(即全等吗)

【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图,并验证.(如课本图11.2-2所示)

画一个△A′B′C′,使A′B′=AB′,A′C′=AC,B′C′=BC:

1.画线段取B′C′=BC;

2.分别以B′、C′为圆心,线段AB、AC为半径画弧,两弧交于点A′;

3.连接线段A′B′、A′C′.

【教师活动】巡视、指导,引入课题:“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律?”

【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理.

(1)判定方法:三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).

(2)判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.

【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等,逐步探索出最后的结论──边边边,在这个过程中,学生不仅得到了两个三角形全等的条件,同时增强了数学体验.

二、范例点击,应用所学

【例1】如课本图11.2─3所示,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证△ABD≌△ACD.(教师板书)

【教师活动】分析例1,分析:要证明△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等. 证明:∵D是BC的中点,

∴BD=CD

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在△ABD和△ACD中

?AB?AC,??BD?CD,

?AD?AD.?

∴△ABD≌△ACD(SSS).

【评析】符号“∵”表示“因为”,“∴”表示“所以”;从例1可以看出,?证明是由题设(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.书写中注意对应顶点要写在同一个位置上,哪个三角形先写,哪个三角形的边就先写.

三、实践应用,合作学习

【问题思考】

已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在直线上,AD=FB(如图所示),要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件?

【教师活动】提出问题,巡视、引导学生,并请学生说说自己的想法.

【学生活动】先独立思考后,再发言:“还应该有AB=FD,只要AD=FB两边都加上DB即可得到AB=FD.”

【教学形式】先独立思考,再合作交流,师生互动.

四、随堂练习,巩固深化

课本P37练习.

【探研时空】

如图所示,AB=DF,AC=DE,BE=CF,BC与EF相等吗??你能找到一对全等三角形吗?说明你的理由.(BC=EF,△ABC≌△DFE)

五、课堂总结,发展潜能

1.全等三角形性质是什么?

2.正确地判断出全等三角形的对应边、对应角,?利用全等三角形处理问题的基础,你是怎样掌握判断对应边、对应角的方法?

3.“边边边”判定法告诉我们什么呢??(答:只要一个三角形三边长度确定了,则这个三角形的形

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状大小就完全确定了,这就是三角形的稳定性)

六、布置作业,专题突破

1.课本P15习题11.2第1,2题.

2.选用课时作业设计.

七、板书设计

把黑板平均分成三份,左边部分板书“边边边”判定法,中间部分板书例题,右边部分板书练习.

12.2.2 三角形全等判定(SAS)

教学内容

本节课主要内容是探索三角形全等的条件(SAS),及利用全等三角形证明.

教学目标

1.知识与技能

领会“边角边”判定两个三角形的方法.

2.过程与方法

经历探究三角形全等的判定方法的过程,学会解决简单的推理问题.

3.情感、态度与价值观

培养合情推理能力,感悟三角形全等的应用价值.

重、难点及关键

1.重点:会用“边角边”证明两个三角形全等.

2.难点:应用结合法的格式表达问题.

3.关键:在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法.

教具准备 投影仪、直尺、圆规.

教学方法 采用“操作──实验”的教学方法,让学生有一个直观的感受.

教学过程

一、回顾交流,操作分析

【动手画图】

【投影】作一个角等于已知角.

【学生活动】动手用直尺、圆规画图.

已知:∠AOB.

求作:∠A1O1B1,使∠A1O1B1=∠AOB.

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【作法】(1)作射线O1A1;(2)以点O为圆心,以适当长为半径画弧,交OA?于点C,?交OB于点D;(3)以点O1为圆心,以OC长为半径画弧,交O1A1于点C1;(4)以点C1为圆心,以CD?长为半径画弧,交前面的弧于点D1;(5)过点D1作射线O1B1,∠A1O1B1就是所求的角.

【导入课题】

教师叙述:请同学们连接CD、C1D1,回忆作图过程,分析△COD和△C1O1D1?中相等的条件.

【学生活动】与同伴交流,发现下面的相等量:

OD=O1D1,OC=O1C1,∠COD=∠C1O1D1,△COD≌△C1O1D1.

归纳出规律:

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS?”).

【评析】通过让学生回忆基本作图,在作图过程中体会相等的条件,在直观的操作过程中发现问题,获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力.

【媒体使用】投影显示作法.

【教学形式】操作感知,互动交流,形成共识.

二、范例点击,应用新知

【例2】如课本图11.2-6所示有一池塘,要测池塘两侧A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,?使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?

【教师活动】操作投影仪,显示例2,分析:如果能够证明△ABC≌△DEC,就可以得出AB=DE.在△ABC和△DEC中,CA=CD,CB=CE,如果能得出∠1=∠2,△ABC和△DEC?就全等了.

证明:在△ABC和△DEC中

?CA?CD???1??2

?CB?CE?

∴△ABC≌△DEC(SAS)

∴AB=DE

想一想:∠1=∠2的依据是什么?(对顶角相等)AB=DE的依据是什么?(全等三角形对应边相等)

【学生活动】参与教师的讲例之中,领悟“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写.

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【媒体使用】投影显示例2.

【教学形式】教师讲例,学生接受式学习但要积极参与.

【评析】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.

三、辨析理解,正确掌握

【问题探究】(投影显示)

我们知道,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗?为什么?

【教师活动】拿出教具进行示范,让学生直观地感受到问题的本质.

操作教具:把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起,?使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合,适当调整好长木棍与射线BC所成的角后,固定住长木棍,把短木棍摆起来(课本图11.2-7),出现一个现象:△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件,但△ABC与△ABD不全等.这说明,?有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

【学生活动】观察教师操作教具、发现问题、辨析理解,动手用直尺和圆规实验一次,做法如下:(如图1所示)

(1)画∠ABT;(2)以A为圆心,以适当长为半径,画弧,交BT于C、C′;(3)?连线AC,AC′,△ABC与△ABC′不全等.

【形成共识】“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件.

【教学形式】观察、操作、感知,互动交流.

四、随堂练习,巩固深化

课本P39练习第1、2题.

【探研时空】

一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事:(如图2所示)

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在一次战役中,我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡,需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下,一个战士想出来这样一个办法,他面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后,他转过一个角度,保持刚才的姿态,这时视线落在了自己所在岸的某一点上.接着,他用步测的办法量出自己与那个点的距离,这个距离就是他与碉堡间的距离.(如图3所示)

(1)按这个战士的方法,找出教室或操场上与你距离相等的两个点,?并通过测量加以验证.

(2)你能解释其中的道理吗?

【思路点拨】情境中使用的方法在实际应用中虽然是一种估测,但用到的原理都是三角形全等(SAS);教学中,让学生在教室里或操场上亲自做一做,?实际体验.

五、课堂总结,发展潜能

1.请你叙述“边角边”定理.

2.证明两个三角形全等的思路是:首先分析条件,?观察已经具备了什么条件;然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法,来确定还需要证明哪些边或角对应相等,再设法证明这些边和角相等.

六、布置作业,专题突破

1.课本P43习题12.2第3、4题.

七、 板书设计

把黑板分成左、中、右三部分,其中右边部分板书“边角边”判定法,中间部分板书例题,右边部分板书练习题.

12.2.3 三角形全等判定(ASA)

教学内容

本节课主要内容是探索三角形全等的判定(ASA,AAS),?及利用全等三角形的证明.

教学目标

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1.知识与技能

理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法.

2.过程与方法

经历探索“角边角”、“角角边”判定三角形全等的过程,能运用已学三角形判定法解决实际问题.

3.情感、态度与价值观

培养良好的几何推理意识,发展思维,感悟全等三角形的应用价值.

重、难点与关键

1.重点:应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等.

2.难点:学会综合法解决几何推理问题.

3.关键:把握综合分析法的思想,寻找问题的切入点.

教具准备

投影仪、幻灯片、直尺、圆规.

教学方法

采用“问题教学法”在情境问题中,激发学生的求知欲.

教学过程

一、回顾交流,巩固学习

【知识回顾】(投影显示)

情境思考:

1.小菁做了一个如图1所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,ED=FD,?将上述条件注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH吗?与同伴交流.

(1) (2)

[答案:能,因为根据“SAS”,可以得到△EDH≌△FDH,从而EH=FH]

2.如图2,AB=AD,AC=AE,能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗?[答案:BC=?DE(SSS)或∠BAC=∠DAE(SAS)].

3.如果两边及其中一边的对角对应相等,两个三角形一定会全等吗?试举例说明.

【教师活动】操作投影仪,提出问题,组织学生思考和提问.

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【学生活动】通过情境思考,复习前面学过的知识,学会正确选择三角形全等的判定方法,小组交流,踊跃发言.

【教学形式】用问题牵引,辨析、巩固已学知识,在师生互动交流过程中,激发求知欲.

二、实践操作,导入课题

【动手动脑】(投影显示)

问题探究:先任意画一个△ABC,再画出一个△A′B′C′,使A′B′=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等),把画出的△A′B′C′剪下,?放到△ABC上,它们全等吗?

【学生活动】动手操作,感知问题的规律,画图如下:

探究规律:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).

【知识铺垫】课本图11.2─

8中,∠A′=∠A,∠B′=∠B,那么∠C=∠A′C′B?′吗?为什么?

【学生回答】根据三角形内角和定理,∠C′=180°-∠A′-∠B′,∠C=180°-∠A-∠B,由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∴∠C=∠C′.

【教师提问】在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF(课本图11.2─9),△ABC与△DEF全等吗?

【学生活动】运用三角形内角和定理,以及“ASA”很快证出△ABC≌△EFD,并且归纳如下: ? ?归纳规律:?两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简与成AAS).

三、范例点击,应用所学

【例3】如课本图11.2─10,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:AD=AE.

【教师活动】引导学生,分析例3.?关键是寻找到和已知条件有关的△ACD?和△ABE,再证它们全等,从而得出AD=AE.

A

证明:在△ACD与△ABE中,

C26 B

??A??A(公共角)? ?AC?AB

??C??B?

∴△ACD≌△ABE(ASA)

∴AD=AE

【学生活动】参与教师分析,领会推理方法.

【媒体使用】投影显示例3.

【教学形式】师生互动.

【教师提问】三角对应相等的两个三角形全等吗?

【学生活动】与同伴交流,得到有三角对应相等的两个三角形不一定会全等,拿出三角板进行说明,如图3,下面这块三角形的内外边形成的△ABC和△A′B?′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,但是它们不全等.(形状相同,大小不等).

四、随堂练习,巩固深化

课本P13练习第1,2题.

【探研时空】

1.如图4,小红不慎将一块三角形模具打碎为两块,?她是否可以只带其中一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以,带哪块去合适?为什么?

【思路点拨】这是一个实际问题,应带含有两个角的那一块,由“角边角”可知,利用这块能配出一个与原来全等的三角形模具.

2.小颖在练习本上画一个三角形,小兰和她开个玩笑,?将墨迹污染到这块三角形的图形上(如图5),急得小颖直叫,?要小兰画出一个与原来完全一样的三角形来,小兰该怎么办呢?你能帮她吗?

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【思路点拨】观察图形,可知未被墨水污染的有两条边及其夹角,?根据“SAS”可以作一个与原来完全一样的三角形.

五、课堂总结,发展潜能

1.证明两个三角形全等有几种方法?如何正确选择和应用这些方法?

2.全等三角形性质可以用来证明哪些问题?举例说明.

3.你在本节课的探究过程中,有什么感想?

六、布置作业,专题突破

1.课本P44习题12.2第5,6,9,10题.

七、板书设计

把黑板分成三部分,左边部分板书“角边角”、“角角边”判定法,中间部分板书例题、画图,右边部分板书练习.

12.2.5 直角三角形全等判定(HL)

教学内容

本节课主要内容是探究直角三角形的判定方法.

教学目标

1.知识与技能

在操作、比较中理解直角三角形全等的过程,并能用于解决实际问题.

2.过程与方法

经历探索直角三角形全等判定的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力.

3.情感、态度与价值观

培养几何推理意识,激发学生求知欲,感悟几何思维的内涵.

重、难点与关键

1.重点:理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法.

2.难点:培养有条理的思考能力,正确使用“综合法”表达.

3.关键:判定两个三角形全等时,?要注意这两个三角形中已经具有一对角相等的条件,只需找到另外两个条件即可.

教具准备

投影仪、幻灯片、直尺、圆规.

教学方法

采用“问题探究”的教学方法,让学生在互动交流中领会知识.

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教学过程

一、回顾交流,迁移拓展

【问题探究】

图1是两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,?这两个直角三角形才能全等?

【教师活动】操作投影仪,提出“问题探究”,组织学生讨论.

【学生活动】小组讨论,发表意见:“由三角形全等条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.”

【媒体使用】投影显示“问题探究”.

【教学形式】分四人小组,合作、讨论.

【情境导入】如图2所示.

舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

(1)你能帮他想个办法吗?

(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”,你相信他的结论吗?

【思路点拨】(1)学生可以回答去量斜边和一个锐角,或直角边和一个锐角,?但对问题(2)学生难以回答.此时,?教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考,并验证它们的方法,从而展开对直角三角形特殊条件的探索.

【教师活动】操作投影仪,提出问题,引导学生思考、验证.

【学生活动】思考问题,探究原理.

做一做如课本图11.2─11:任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt?△A′B′C′,使B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下,放到Rt△ABC上,?它们全等吗?

【学生活动】画图分析,寻找规律.如下:

规律:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).

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二、范例点击,应用所学

【例4】如课本图11.2─12,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD,求证BC=AD.

【思路点拨】欲证BC=?AD,?首先应寻找和这两条线段有关的三角形,?这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO,O为DB、AC的交点,经过条件的分析,△ABD和△BAC?具备全等的条件.

【教师活动】引导学生共同参与分析例4.

证明:∵AC⊥BC,BD⊥BD,

∴∠C与∠D都是直角.

在Rt△ABC和Rt△BAD中,

?AB?BA, ?AC?BD,?

∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).

∴BC=AD.

【学生活动】参与教师分析,提出自己的见解.

【评析】在证明两个直角三角形全等时,要防止学生使用“SSA”来证明.

【媒体使用】投影显示例4.

三、随堂练习,巩固深化

课本P43第练习1、2题.

【探研时空】

如图3,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC?与右边滑梯水平方面的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系?

30

下面是三个同学的思考过程,你能明白他们的意思吗?(如图4所示)

?BC?EF,AC?DF ?→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°. ?CAB??FDE?90??

有一条直角边和斜边对应相等,所以△ABC与△DEF全等.这样∠ABC=∠DEF,也就是∠ABC+∠DEF=90°. 在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF,因此这两个三角形是全等的,这样∠ABC=∠DEF,所以∠ABC与∠DEF是互余的.

【教学形式】这个问题涉及的推理比较复杂,可以通过全班讨论,共同解决这个问题,但不需要每个学生自己独立说明理由,只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了.

四、课堂总结,发展潜能

本节课通过动手操作,在合作交流、比较中共同发现问题,培养直观发现问题的能力,在反思中发现新知,体会解决问题的方法.通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求,可知判定直角三角形全等有五种方法.(教师让学生讨论归纳)

五、布置作业,专题突破

1.课本P44习题12.2第7,8题。

六、课堂总结,发展潜能

由学生谈学习收获

七、板书设计

把黑板分成三份,重复使用,左边部分板书直角三角形判定定理等有关概念,中间部分板书“探究”,右边部分板书例题.

12.3 角的平分线的性质(1)

教学内容

本节课首先介绍作一个角的平分线的方法,然后用三角形全等证明角平分线的性质定理.

教学目标

1.知识与技能

通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.

2.过程与方法

31

经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法.

3.情感、态度与价值观

激发学生的几何思维,启迪他们的灵感,使学生体会到几何的真正魅力.

重、难点与关键

1.重点:领会角的平分线的两个互逆定理.

2.难点:两个互逆定理的实际应用.

3.?关键:可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论.利用全等来证明它的逆定理.

教具准备

投影仪、制作如课本图11.3─1的教具.

教学方法

采用“问题解决”的教学方法,让学生在实践探究中领会定理.

教学过程

一、创设情境,导入新课

【问题探究】(投影显示)

如课本图11.3─1,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?

【教师活动】首先将“问题提出”,然后运用教具(如课本图11.3─1?)直观地进行讲述,提出探究的问题.

【学生活动】小组讨论后得出:根据三角形全等条件“边边边”课本图11.3─1判定法,可以说明这个仪器的制作原理.

【教师活动】

请同学们和老师一起完成下面的作图问题.

操作观察:

已知:∠AOB.

求法:∠AOB的平分线.

作法:(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.(2)分别以M、N为圆心,大于1MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.(3)作射线OC,射线OC?即为所求(课本图11.32

─2).

【学生活动】动手制图(尺规),边画图边领会,认识角平分线的定义;同时在实践操作中感知.

32

【媒体使用】投影显示学生的“画图”.

【教学形式】小组合作交流.

二、随堂练习,巩固深化

课本P19练习.

【学生活动】动手画图,从中得到:直线CD与直线AB是互相垂直的.

【探研时空】(投影显示)

如课本图12.3─3,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?

【教师活动】操作投影仪,提出问题,提问学生.

【学生活动】实践感知,互动交流,得出结论,“从实践中可以看出,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.” 论证如下:

已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E(课本图11.3─4)

求证:PD=PE.

证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,

∴∠PDO=∠PEO=90°

在△PDO和△PEO中,

??PDO??PEO,???AOC??BOC,

?OP?OP,?

∴△PDO≌△PEO(AAS)

∴PD=PE

【归纳如下】

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【教学形式】师生互动,生生互动,合作交流.

三、情境合一,优化思维

【问题思索】(投影显示)

如课本图11.3─5,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,?离公路与铁路交叉

33

处500米,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:20 000)?

【学生活动】四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知:角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边的距离相等的点也在角的平分线.

证明如下:

已知:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE.

求证:点P在∠AOB的平分线上.

证明:经过点P作射线OC.

∵PD⊥OA,PE⊥OB

∴∠PDO=∠PEO=90°

在Rt△PDO和Rt△PEO中,

?OP?OP, ?PD?PE,?

∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)

∴∠AOC=∠BOC,

∴OC是∠AOB的平分线.

【教师活动】启发、引导学生;组织小组之间的交流、讨论;帮助“学困生”.

【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

【教学形式】自主、合作、交流,在教师的引导下,比较上述两个结论,弄清其条件和结论,加深认识.

四、范例点击,应用所学

【例】 如课本图12.3─6,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:点P?到三边AB,BC,CA的距离相等.

【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们.所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.

【教师活动】操作投影仪,显示例子,分析例子,引导学生参与.

证明:过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F.

∴BM是△ABC的角平分线,点P在BM上.

34

∴PD=PE

同理 PE=PF

∴PD=PE=PF

即点P到边AB、BC、CA的距离相等.

【评析】在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.

【学生活动】参与教师分析,主动探究学习.

五、随堂练习,巩固深化

课本P22练习.

六、课堂总结,发展潜能

1.学生自行小结角平分线性质及其逆定理,和它们的区别.

2.说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题,?说明这一点是三角形的内切圆的圆心(为以后学习设伏).

七、布置作业,专题突破

1.课本P22习题11.3第1、2、3题.

2.选用课时作业设计.

八、板书设计

把黑板分成三部分,左边部分板书概念、定理等,中间部分板书探究,右边部分板书例题,重复使用时,中间部分和右边部分板书练习题.

12.3 角的平分线的性质(巩固练习)

教学内容

本节课主要是对角的平分线的性质定理的应用展开讨论,让学生熟练地应用它们解决实际问题. 教学目标

1.知识与技能 能应用角的平分线的性质定理解决一些实际的问题.

2.过程与方法

经历探索角的平分线性质的应用过程,领会几何分析的内涵,掌握综合法的表达思想.

3.情感、态度与价值观

激发学生的逻辑思维,在比较中获取知识,使学生感悟几何的简练思维.

重、难点与关键

35

1.重点:应用角的平分线性质定理.

2.难点:应用“综合法”进行表达.

3.关键:通过观察、操作、分析来感悟定理的内涵,?抓住问题的因果关系进行推理.

教具准备 投影仪、幻灯片、直尺、圆规.

教学方法

一、回顾交流,练中反思

【概念复习】

【教学提问】同学们能否从集合的观点来说明角的平分线的性质.

【学生活动】在教师对“集合”的思想做初步讲解后,学生可以通过交流得出:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

【分层练习】(投影显示)

1.已知:如图1,△ABC中,AD是角的平分线,BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,E、F是垂足,求证:EB=FC.

【思路点拨】只要证明EB和FC分别所在的两个三角形全等(△EBD≌△FCD).

【教师活动】操作投影仪,巡视,启发引导,适时提问.

【学生活动】小组合作学习,寻求解题思路,踊跃上台演示自己的证明.

证明:∵AD是角的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,

∴DE=DF

在△EBD和△FCD中,

??BED??CFD?90?,? ?BD?CD,

?DE?DF.?

∴△EBD≌△FCD(HL)

∴EB=FC

【媒体使用】投影显示“分层练习1”和学生的练习.

【教学形式】小组合作(4人小组)交流,然后全班汇报,以练促思.

2.已知:如图2,河的南区有一个工厂,在公路西侧,到公路的距离与到河岸的距离相等,并且与河上公路桥的距离为300米,在图上标出工厂的位置,并说明理由.

36

【思路点拨】画图略,根据角的平分线性质,工厂应在河流与公路交角的平分线上.

【教师活动】操作投影仪,提出问题,参与学生的思考和讨论.

【学生活动】分四人小组积极地讨论,得出结论,踊跃发表自己的看法.

【媒体使用】投影显示“分层练习2”.

【教学形式】合作学习,生生互动交流.

二、操作观察,辨析理解

【操作思考】(投影显示)

首先按如下步骤进行操作:

(1)在一张纸上任意画一个角(角的边不要画得太短)∠AOB.

(2)剪下所画的角.

(3)折叠所画的角,使角的两边OA与OB重合,设折痕为Ox,如图3.

(4)在折叠形成的两层纸之间放入复写纸.

(5)在Ox上取一点P,并且过点P画OA的垂线.

(6)拿出复写纸,并且把折叠的纸展开观察展开后的图形,并进行思考,上面的操作反映了哪条规律?是课本上一节课中的那个概念吗?

【教师活动】操作投影仪,巡视,参与学生的讨论,引导启发.

【学生活动】分四人小组合作学习,从操作中感悟知识和规律,得到结论:反映规律是:角的平分线上的点到角的两边距离相等.

【媒体使用】投影显示“操作思考”.

【教学形式】分四人小组合作学习,动手动脑,互动交流.

三、课堂演练,系统跃进

1.已知:如图4,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E、F是垂足,DE=BF.求证:(1)AE=CF;(?2)AB∥CD.

37

[提示]应用HL证Rt△ABC≌Rt△CED

2.已知:如图5,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,?垂足分别是M、N,求证PM=PN.

AN

CB

[提示]∵∠ABD=∠CBD,AB=CB,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,又PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN.

四、课堂总结,发展潜能

由学生分四人小组进行学习反思,然后各小组汇报学习情况.

五、布置作业,专题突破

1.课本P51习题12.3第4、5题.

六、板书设计

把黑板分成左右两份,左边板书概念和例题,右边板书学生的练习,重复使用.

第十二章 全等三角形复习与交流

教学内容

本节课主要进行系统的复习,让学生建构出完整的知识体系.

教学目标

1.知识与技能

理解全等三角形的性质与判定定理,以及角的平分线性质,会应用在实际的问题中.

2.过程与方法

经历探究全等三角形有关性质和判定等概念,掌握几何的分析思想,能应用“综合法”表达问题.

3.情感、态度与价值观

发展学生的逻辑思维,提高合情推理能力,体会几何学的实际应用价值.

重、难点与关键

1.重点:应用全等三角形性质与判定定理解决实际问题.

38

2.难点:分析思路的形成.

3.关键:明确全等三角形的应用思想,养成说理有据的意识.

教具准备 投影仪、幻灯片.

教学方法 采用“精讲─精练”的教学方法,让学生自主构筑知识体系.

教学过程

一、回顾交流,系统跃进

【交流讨论】

教学形式:分四人小组,回顾小结.然后,教师请三位同学谈谈他是怎么总结的.

【知识结构图】见课本,用投影显示.

教师提问:

1.举一些全等形的实例,全等三角形的对应边有什么关系?对应角呢?

【学生活动】踊跃举手,发言:全等三角形对应角相等,对应边相等.

【媒体使用】投影显示一些生活中的全等图形,配合学生的认知.

【教师提问】一个三角形有三条边,三个角,从中任选三个来判定两个三角形全等,哪些是能够判定的?哪些是不能够判定的?

【学生活动】小组讨论,互动交流.

形成共识:(1)边边边;(2)边角边;(3)角边角;(4)角角边;(5)斜边、直角边(证Rt△)等能够判定两个三角形全等.(1)SSA,(2)AAA,是不能够判定两个三角形全等的.

【教师提问】

1.你对角的平分线有了哪些新的认识??你能用全等三角形证明角的平分线性质吗?

2.你能结合本章的有关问题,说一说证明一个结论的过程吗?

【学生活动】小组讨论,形成共识.

二、课堂演练,巩固学习

【演练题1】如图1,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于F,∠ACB=∠AED=105°,∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,求∠DFB和∠DGB的度数.(85°,60°)

(1) (2) (3)

【演练题2】如图2,点A,B,C,D在一条直线上,△ACE≌△BDF.

39

求证:(1)AE∥BF;(2)AB=CD.

[(1)∵△ACE≌△BDF,∴∠A=∠DBF,∴AE∥BF;

(2)∵△ACE≌△BDF,?∴AC=BD,∴AB=CD]

【演练题3】若△ABC≌△A′B′C′,∠A=∠A°,∠B=∠B′,且∠C=50°,∠B′=75°,AC=4cm;求∠A,∠B的度数及A′C′的长.(∠A=55°,∠B=75°,A′C′=4cm)

【教师活动】操作投影仪,巡视、关注学生的思维,请三位学生上台演示.

【学生活动】书面练习,与同伴交流,踊跃上台演示.

【媒体使用】投影显示“演练题”,和学生的练习(实物投影).

【教学形式】自主、合作、交流.

【教师活动】和学生一起总结,认识,提高.

【评析】上述演练题主要是复习全等三角形性质.

【演练题4】已知如图3,AD与CB交于O,AO=OD,CO=OB,EF过O与AB、CD?分别交于E、F,求证:∠AEO=∠DFO.

【思路点拨】观察图形,分析已知条件和结论,欲证∠AEO=∠BFO,?只需证AB?∥DC,由已知条件易知△AOB≌△DOC,必有∠A=∠D,这样就可解得AB∥CD,?从而证明∠AEO=∠DFO.

三、随堂练习,巩固深化

课本P26复习题第4、7、10题.

四、布置作业,专题突破

1.课本P55--56复习题第2,3,5,6,9,11题.

2.选用课时作业设计.

五、板书设计

把黑板分成两份,左边部分板书例题,右边部分板书学习练习题,重复使用

六、 疑难解析

如图4,在△ABC中,∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=60°,求证:CD+BE=BC.

证明:在BC上截取BF=BE,连接IF.

∵BI=BI,∠1=∠2,BF=BE,

∴△BFI≌△BEI,∴∠5=∠6.

∵∠1=∠2.∠3=∠4,∠A=60°,

∴∠BIC=120°,∴∠5=60°.

∴∠7=∠5=60°,∠6=∠5=60°,∠8=120°-60°=60°,∴∠7=∠8.

∵∠3=∠4,CI=CI,∠7=∠8,∴△IDC≌△IFC,∴CD=CF.

40

∴CD+BE=CF+BF,即CD+BE=BC.

从上述例子可以归纳:证明m=b+c时,常用两种方法,(1)截长法,即在m?上截取一段等于b(或c),证明剩下一段等于c(或b);(2)补短法:延长b(或c),?证明它们的和等于a,上述例子由于∠1=∠2,因此,在BC上截取BF=BE,连接HTY3IF是较为常用的方法.

第十三章轴对称

13.1.1轴对称(一)

教学目标:

〔知识与技能〕

1.在生活实例中认识轴对称图.

2.分析轴对称图形,理解轴对称的概念.轴对称图形的概念

〔过程与方法〕

1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯;

2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培说理和进行简单推理的能力。

〔情感、态度与价值观〕

1、 体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心;2、会应用数学知识解决一些简单

的实际问题,增强应用意识;3、使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的

辩证唯物主义观点。

教学重点:.

理解轴对称的概念

教学难点

能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.

教具准备: 三角尺

教学过程

一.创设情境,引入新课

1.举实例说明对称的重要性和生活充满着对称。

2. 对称给我们带来多少美的感受!初步掌握对称的奥秒,不仅可以帮助我们发现一些图形的特征,还可以使我们感受到自然界的美与和谐.

3.轴对称是对称中重要的一种,让我们一起走进轴对称世界,探索它的秘密吧!

二.导入新课

1.观察:几幅图片(出示图片),观察它们都有些什么共同特征.

强调:对称现象无处不在,从自然景观到分子结构,从建筑物到艺术作品,?甚至日常生活用品,人

41

们都可以找到对称的例子.

练习:从学生生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子.

2.观察: 如图12.1.2,把一张纸对折,剪出一个图案(折痕处不要完全剪断),?再打开这张对折的纸,就剪出了美丽的窗花.你能发现它们有什么共同的特点吗?

3.如果一个图形沿一直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.我们也说这个图形关于这条直线(成轴)?对称.

4.动手操作: 取一张质地较硬的纸,将纸对折,并用小刀在纸的中央随意

刻出一个图案,将纸打开后铺平,你得到两个成轴对称的图案了吗?

归纳小结:由此我们进一步了解了轴对称图形的特征:一个图形沿一条直线折叠后,折痕两侧的图形完全重合.

5.练习:你能找出它们的对称轴吗?分小组讨论.

思考:大家想一想,你发现了什么?

小结得出:.像这样,?把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,?这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.

三.随堂练习

1、课本60练习 1、 2。

四.课时小结

这节课我们主要认识了轴对称图形,了解了轴对称图形及有关概念,进一步探讨了轴对称的特点,区分了轴对称图形和两个图形成轴对称.

42

五.课后作业

习题13.1. 1、2、6题.

13.1.1轴对称(二)

教学目标

〔知识与技能〕

1.了解两个图形成轴对称性的性质,了解轴对称图形的性质.

2.探究线段垂直平分线的性质.

〔过程与方法〕

1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯;

2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培说理和进行简单推理的能力。

〔情感、态度与价值观〕

1、体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心;2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识。

教学重点:

轴对称的性质,线段垂直平分线的性质

教学难点 :

1.轴对称的性质. 2.线段垂直平分线的性质.3.体验轴对称的特征.

教具准备:圆规、三角尺、

教学过程

一.创设情境,引入新课

1.什么样的图形是轴对称图形呢?

2.轴对称图形有哪些性质,从图形中能得到结论?

二.导入新课

1.如下图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,点A′、B′、C′分别是点A、?B、C对称点,线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系?为什么?(学生思考并做小范围讨论)

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.

2.画一个轴对称图形,并找出两对称点,看一下对称轴和两对称点连线的关系.

3.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂

归纳图形轴对称的性质:

43 直于这条线段.

如果两个图形关于某条直线对称,?那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.

下面我们来探究线段垂直平分线的性质.

[探究1]如下图.木条L与AB钉在一起,L垂直平分AB,P1,P2,P3,?是L

上的点,?分别量一量点P1,P2,P3,?到A与B的距离,你有什么发现?

证法一:利用判定两个三角形全等.

如下图,在△APC和△BPC中,

?PC?PC ??PCA??PCB???AC?BC?R?t

? △APC≌△BPC ? PA=PB.

证法二:利用轴对称性质.

由于点C是线段AB的中点,将线段AB沿直线L对折,

线段PA与PB是重合的,?因此它们也是相等的.

带着探究1的结论我们来看下面的问题.

[探究2]

如下图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢?为什么?

探究结论:

与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质,即:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.?所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.

三.随堂练习 课本P34练习

1.如下图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平

分线上,AB、AC、CE的长度有什么关系?AB+BD与DE

有什么关系?

2.如下图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?

四.课时小结:

这节课通过探索轴对称图形对称性的过程,?了解了线段的垂直平分线的有关性质,同学们应灵活运用这些性质来解决问题.

五.课后作业课本习题13.1 、3、4、9题.

44

13.1.2 线段的垂直平分线的性质

教学目标:

〔知识与技能〕

1. 探索作出轴对称图形的对称轴的方法.掌握轴对称图形对称轴的作法.

2.在探索的过程中,培养学生分析、归纳的能力.

〔过程与方法〕

1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯;

2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培说理和进行简单推理的能力。

〔情感、态度与价值观〕

1、体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心;2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识。

教学重点:

轴对称图形对称轴的作法.

教学难点:

探索轴对称图形对称轴的作法.

教具准备:圆规、三角尺

教学过程

一.提出问题,引入新课

1.有时我们感觉两个图形是轴对称的,如何验证呢?不折叠图形,?你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗?

2.轴对称图形性质.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴,是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.

3.找到一对对应点,作出连结它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴了.

4.问题:如何作出线段的垂直平分线?

二.导入新课

1.要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定定理,到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,又由两点确定一条直线这个公理,那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点,这样才能确定已知线段的垂直平分线.

[例]如图(1),点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?

45

已知:线段AB[如图(1)].

求作:线段AB的垂直平分线.

作法:如图(2)

(1).分别以点A、B为圆心,以大于

(2).作直线CD.

直线CD就是线段AB的垂直平分线.

2.[例]图中的五角星有几条对称轴?作出这些对称轴.

作法:

1.找出五角星的一对对应点A和A′,

连结AA′.

2.作出线段AA′的垂直平分线L.

则L就是这个五角星的一条对称轴.

用同样的方法,可以找出五条对称轴,所以五角星有五条对称轴.

三.随堂练习

(一)课本35练习 1、2、3

如图,与图形A成轴对称的是哪个图形?画出它们的对称轴.

1AB的长为半径作弧,两弧相交于C和D两点; 2

答案:与A成轴对称的是图形D(或B).

四.课时小结

本节课我们探讨了尺规作图,作出线段的垂直平分线.并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法:找出轴对称图形的任意一对对应点,连结这对对应点,?作出连线的垂直平分线,该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴.

五.课后作业

课本P36-37习题12.1 5、10、11、12题.

46

课题:§12.2.1 画轴对称图形 新授课

教学目标

(一)〔知识与技能〕

1.通过实际操作,了解什么叫做轴对称变换.

2.如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形.

(二)〔过程与方法〕

经历实际操作、认真体验的过程,发展学生的思维空间,并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用.

(三)〔情感、态度与价值观〕

1.鼓励学生积极参与数学活动,培养学生的数学兴趣.

2.初步认识数学和人类生活的密切联系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的应用意识.

3.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

教学重点

1.轴对称变换的定义.

2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.

教学难点

1.作出简单平面图形关于直线的轴对称图形.

2.利用轴对称进行一些图案设计.

教学过程

Ⅰ.提出问题,创设情境

[师]上节课我们学习了轴对称变换的概念,?知道了一个图形经过轴对称变换可以得到它的轴对称图形,那么具体过程如何操作呢?这就是我们这节课要学习的.?下面同学们来仔细观察一个图案.(小黑板展示)

以虚线为对称轴画出图的另一半:

[生甲]这个图案(1)左右两边应该完全相同,画出的整个图案的形状应该是个脸.

[生乙]图案(2)画出另一半后应该是一座小房子.

[师]大家能把这两个图案的另一半画出来吗?

[师]我们利用方格纸来试着画一画.

??

[师]画好了吧?我们今天就来学习作出简单平面图形经过轴对称后的图形.

Ⅱ.导入新课

[师]如何作一个图形经过轴对称后的图形呢?我们知道:任何一个图形都是由点组成的.因为我们来作一个点关于一条直线的对称点.由已经学过的知识知道:?对应点的连线被对称轴垂直平分.所以,已知对称轴L和一个点A,要画出点A关于L?的对应点A′,可采取如下方法:

47

(1)过点A作对称轴L的垂线,垂足为B;

(2)在垂线上截取BA′,使BA′=AB.

点A′就是点A关于直线L的对应点.

好,大家来动手画一点A关于直线L对称的对应点,教师口述,大家来画图,要注意作图的准确性. ??

[师]画好了没有?

[生]画好了.

[师]好,现在我们会画一点关于已知直线的对称点,那么一个图形呢??

[例1]如图(1),已知△ABC和直线L,作出与△ABC关于直线L对称的图形.

[师]同学们讨论一下.

??

[生甲]可以在已知图形上找一些点,然后作出这些点关于这条直线的对应点,再按图形上点的顺序连结这些点.这样就可以作出这个图形关于直线L的对称图形了.

[师]说说看,找几个什么样的点就行呢?

[生乙]△ABC可以由三个顶点的位置确定,只要找A、B、C三点就可以了.

[师]好,下面大家一起动手做.

作法:如图(2).

(1)过点A作直线L的垂线,垂足为点O,在垂线上截取OA′=OA,点A′就是点A关于直线L的对称点;

(2)类似地,作出点B、C关于直线L的对称点B′、C′;

(3)连结A′B′、B′C′、C′A′,得到△A′B′C′即为所求.

[师]大家做完后,?我们共同来归纳一下如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形.

归纳:

几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点,再连结这些对应点,就可得到原图形的轴对称图形;对于一些由直线、?线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对应点,连结这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形.

[师]看来在作一个平面图形关于直线轴对称的图形,找一些特殊点是关键.下图中,要作出图形的另一半,哪些点可以作为特殊点?并画出图形的另一半.

48

[师]大家作个简单讨论,共同来完成这个题.

[生]在图形(1)上找三个点,在图形(2)中找一个点就可以,如下图:

[师]现在我们来做练习.

Ⅲ.随堂练习

(一)课本P41练习 1、2.

1.如图,把下列图形补成关于直线L对称的图形.

提示:找特殊点.

答案:图(略)

2.用纸片剪一个三角形,分别沿它一边的中线、高、角平分线对折,?看看哪些部分能够重合,哪些部分不能重合.

答案:本题答案不唯一,要求学生尽可能用准确的数学语言将自己剪出的三角形的情况进行表述.

(二)阅读课本P127~P130,然后小结.

Ⅳ.课时小结

本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形.在按要求作图时要注意作图的准确性.

求作一个几何图形关于某条直线对称的图形,可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对称点.对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段的端点)的对称点,连结这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P45习题12.2的1、5、8、9题.

(二)预习内容P42~P44.

Ⅵ.活动与探究

[探究1]

如图(1).要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.?泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?

你可以在L上找几个点试一试,能发现什么规律吗?

49

过程:把管道L近似地看成一条直线如图(2),设B′是B的对称点,?将问题转化为在L上找一点C使AC与CB′的和最小,由于在连结AB′的线中,线段AB′最短.因此,线结AB′与直线L的交点C的位置即为所求.

结果:作B关于直线L的对称点B′,连结AB′,交直线L于点C,C为所求.

[探究2]

为什么在点C的位置修建泵站,就能使所用的输管道最短?

过程:将实际问题转化为数学问题,该问题就是证明AC+CB最小.

结果:

如上图,在直线L上取不同于点C的任意一点C′.由于B′点是B点关于L的对称点,所以BC′=B′C′,故AC′+BC′=AC′+B′C′,在△A′B′C′中AC′+BC′>AB′,?而AB′=AC+CB′=AC+CB,则有AC+CB<AC′+C′B.由于C′点的任意性,所以C点的位置修建泵站,可以使所用输气管线最短

备课资料

参考练习

1.已知△ABC,过点A作直线L.

求作:△A′B′C′使它与△ABC关于L对称.

作法:(1)作点C关于直线L的对称点C′;

(2)作点B关于直线L的对称点B′;

(3)点A在L上,故点A的对称点A′与A重合;

(4)连结A′B′、B′C′、C′A′.

则△A′B′C′就是所求作的三角形.

50

2.已知a⊥b,a、b相交于点O,点P为a、b外一点.

求作:点P关于a、b的对称点M、N,并证明OM=ON(不许用全等).

作法:(1)过点P作PC⊥a,并延长PC到M,使CM=PC.

(2)过点P作PD⊥b,并延长PD到N,使得DN=PD.

则点M、N就是点P关于a、b的对称点.

证明:∵点P与点M关于直线a对称,

∴直线a是线段PM的中垂线.

∴OP=OM.

同理可证:OP=ON.

∴OM=ON.

3.为美化校园,学校准备在一块圆形空地上建花坛,现征集设计方案,?要求设计的图案由圆、三角形、矩形组成(三种几何图案的个数不限),并且使整个圆形场地成轴对称图形,请你画出你的设计方案. 答案:略。

课题:§12.2.3 用坐标表示轴对称 新授课

教学目标

(一)〔知识与技能

1.在平面直角坐标系中,探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律.

2.利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律,能作出关于x轴、y?轴对称的图形.

(二)〔过程与方法〕

1.在探索关于x轴,y轴对称的点的坐标的规律时,?发展学生数形结合的思维意识.

2.在同一坐标系中,?感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.

(三)〔情感、态度与价值观〕

在探索规律的过程中,提高学生的求知欲和强烈的好奇心.

教学重点

1.理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.

2.在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识.

教学难点

用坐标表示轴对称.

教学方法

探索发现法.

教具准备

坐标纸.

学具准备

坐标纸.

课后反馈:

教学过程

Ⅰ.提出问题,创设情境

51

[活动1]

1.如图:

(1)观察上图中两个圆脸有什么关系?

(2)已知右边图脸右眼的坐标为(4,3),左眼的坐标为(2,3),嘴角两个端点,右端点的坐标为(4,1),左端点的坐标为(2,1).

你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼,右眼及嘴角两端点的坐标吗?

2.在平面直角坐标系中,将坐标为(2,2),(4,2),(4,4),(2,4),(2,2)的点用线段依次连结起来形成一个图案.

(1)纵坐标不变,横坐标分别乘以-1,再将所得的各个点用线段依次连结起来,所得的图案与原图案相比有何变化?

(2)横坐标不变,纵坐标分别乘以-1,再将所得的各个点用线段依次连结起来,所得的图案又与原图案相比有何变化?

设计意图:

通过有趣的轴对称图形的研究,激发学生探究坐标特点的好奇心,是一种形到数的探究,接着又从对坐标实施变化,引起图案的变化,?使学生在坐标的变化中产生对每对关于x轴、y轴对称的点的坐标规律的探究.

师生行为:

[生]1.(1)观察可发现图中的两个圆脸关于y轴对称.

(2)我们可以设右脸中的左眼为A点,右眼为B点,则A(2,3),B(4,3),?嘴角的左右端为D(2,1),C(4,1).根据轴对称的性质,A与A1关于y轴对称,则A1到y轴的距离和A?到y轴的距离相等,A1、A到x轴的距离也相等,∵A1在第二象限,∴A1的坐标为(-2,3).

同理,B1、C1、D1的坐标分别为(-4,3)、(-4,1)、(-2,1).

2.师生共同完成

[生]在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图.A(2,2),B(4,2),?C(4,4),D(2,

4).

52

(1)纵坐标不变,横坐标乘以-1,得到相应四个点为A1(-2,2),B1(-4,2),C1(-4,4)?,D1(-2,4).顺次连结所得到的图案和原图案比较,不难发现它们是关于y轴对称的.

(2)横坐标不变,纵坐标乘以-1,得到相应的四个点为A2(2,-2),B2(4,-2),C2(4,-4),D2(2,-4).顺次连结所得到的图案和原图案比较,可得它们是关于x轴对称的.

[师]A(2,2)与A1(-2,2)关于y轴对称,

B(4,2)与B1(-4,2)关于y轴对称,

C(4,4)与C1(-4,4)关于y轴对称,

D(2,4)与D1(-2,4)关于y轴对称.

那么关于y轴对称的点具有什么规律呢?

A(2,2)与A2(2,-2)关于x轴对称,

B(4,2)与B2(4,-2)关于x轴对称,

C(4,4)与C2(4,-4)关于x轴对称,

D(2,4)与D2(2,-4)关于x轴对称.

那么关于x轴对称的点有何规律呢?

这节课我们就来研究关于x轴,y轴对称的每对对称点坐标的规律.

Ⅱ.导入新课

[活动2]

在如图所示的平面坐标系中,画出下列已知点及其对称点,并把坐标填入表格中.看看每对对称点的坐标有怎样的规律.再和同学讨论一下.

已知点A(2,-3),B(-1,2),C(-6,-5),D(1,1),E(4,0). 2

关于x轴的对称点A′(____,____)B′(_____,______)C?′(?_____,?_____)??D′(____,_____)E′(_____,_____).

关于y轴的对称点A″(_____,____)B″(_____,______)C″(?_____,?_____)??D″(____,_____)E″(_____,_____).

设计意图:

通过学生动手操作,分别作A,B,C,D,E关于x轴、y轴的对称点A′,B′,C′,D′,E′;A″,B″,C″,D″,E″,并且求出它们的坐标,观察,归纳它们坐标之间的关系.

师生行为:

教师引导,学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律.

[生]如图,我们先在直角坐标系中描出A(2,-3),B(-1,2),C(-6,-5),D(

1,1),E(4,0)253

点.

我们先在坐标系中作出A点关于x轴的对称点,即过A作x轴的垂线交x轴于M点,?M点的坐标为(2,0).在AM的延长线上截A′M=AM,则A′就是A点关于x轴的对称点,所以A′在第一象限,因为A′M=AM,所以A′的纵坐标为3,因为AA′⊥x轴,即AA′∥y轴,?所以A′的横坐标为2,即A′的坐标为(2,3).

同理可求得B,C,D,E关于x轴的对称点B′,C′,D′,E′的坐标分别为B′(-1,?-2),C′(-6,5),D′(

1

,-1),E′(4,0).列表如下:

续表

[师]观察上表每对对称点坐标之间的关系,你发现什么规律?

[生]每对对称点的横坐标相同,纵坐标互为相反数.

[师]我们不仿再找几对关于x轴对称的点,写出它们的坐标,还有上面的规律吗?

学生亲自动手进一步尝试,在学生认可的情况下明确关于x轴对称的每对对称点的坐标的规律. [师生共析]

关于x轴对称的每对对称点的坐标:横坐标相同,纵坐标互为相反数.

接着我们再来作出A,B,C,D,E关于y轴的对称点,并求出它们的坐标. [生]同样,我们先作出A关于y轴的对称点A″,并求出A″的坐标.

过A作y轴的垂线AN,垂足为N,则N点坐标为(0,-3),然后在AN的延长线上截A″N,使A″N=AN,则A″就是所求的A关于y轴的对称点.A″在第三象限,AA″⊥y轴,?且AN=A″N,所以A″的坐标为(-2,-3),同理可求得B,C,D,E关于y轴的对称点B″,C″,D″,E″的坐标分别为B″(1,2),C″(6,-5),D″(-续表

54

1

,1)

,E″(-4,0).列表如下:

[师]观察上表,比较每对关于y轴的对称点的坐标,你能发现什么规律?

[生]关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同,横坐标互为相反数.

例2(书P44)

Ⅲ.随堂练习(教科书P44练习)

Ⅳ.课时小结

本节课的主要内容(由学生在教师的引导下共同回忆总结):

1.在直角坐标系中,探索了关于x轴,y轴对称的对称点坐标规律.

2.利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,作已知图形的轴对称图形,体现了数形结合的数学思想. Ⅴ.课后作业

教科书习题12.2─2、3、4题,第6题、第7题(学有余力的同学做).

课题:§12.3.1.1 等腰三角形(一)新授课

教学目标

(一)教学知识点

1.等腰三角形的概念.

2.等腰三角形的性质.

3.等腰三角形的概念及性质的应用.

(二)能力训练要求

1.经历作(画)出等腰三角形的过程,?从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点.

2.探索并掌握等腰三角形的性质.

(三)情感与价值观要求

通过学生的操作和思考,使学生掌握等腰三角形的相关概念,并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.

教学重点

1.等腰三角形的概念及性质.

2.等腰三角形性质的应用.

教学难点

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.

教学方法

探究归纳法.

教具准备

生:硬纸、剪刀.

教学过程

Ⅰ.提出问题,创设情境

[师]在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,?并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,?还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形?

[生]有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.

[师]那什么样的三角形是轴对称图形?

55

[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,?也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形.

[师]很好,我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.

Ⅱ.导入新课

[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.

AA

BIC

作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连结AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形.

[生乙]在甲同学的做法中,A点可以取直线L上的任意一点.

[师]对,按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀,按自己设计的方法,也可以用课本P49探究中的方法,?剪出一个等腰三角形.

??

[师]按照我们的做法,可以得到等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.

[师]有了上述概念,同学们来想一想.

1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.

2.等腰三角形的两底角有什么关系?

3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?

4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗??底边上的高所在的直线呢?

[生甲]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.

[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系.

[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后,发现等腰三角形的两个底角相等.

[生丙]我把等腰三角形折叠,使两腰重合,这样顶角平分线两旁的部分就可以重合,所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.

[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折,可以看到它两旁的部分互相重合,说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.

[生戊]老师,我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.

[师]你们说的是同一条直线吗?大家来动手折叠、观察.

[生齐声]它们是同一条直线.

[师]很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.

[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,?而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高.

[师]很好,我们来总结等腰三角形的性质:

1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).

2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、?底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).

[师]由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).

56

[生甲]如右图,在△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD,因为

,?AB?AC?, ?BD?CD

?AD?AD,?

所以△BAD≌△CAD(SSS).

所以∠B=∠C.

[生乙]如右图,在△ABC中,AB=AC,作顶角∠BAC的角平分线AD,因为 ABDC

,?AB?AC? ??BAD??CA,D

?AD?AD,?

所以△BAD≌△CAD. A1 所以BD=CD,∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°. 2BDC

[师]很好,甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明,过程也写得很条理、很规范.下面我们来看例题.

A [例1]如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,

求:△ABC各角的度数.

[师]同学们先思考一下,我们再来分析这个题. D[生]根据等边对等角的性质,我们可以得到

∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,? C再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A. B

再由三角形内角和为180°,?就可求出△ABC的三个内角.

[师]这位同学分析得很好,对我们以前学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把∠A设为x的话,那么∠ABC、∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷.

[例]因为AB=AC,BD=BC=AD,

所以∠ABC=∠C=∠BDC.

∠A=∠ABD(等边对等角).

设∠A=x,则

∠BDC=∠A+∠ABD=2x,

从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.

于是在△ABC中,有

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,

解得x=36°.

在△ABC中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°.

[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.

Ⅲ.随堂练习

(一)课本P56练习 1、2、3.

(二)阅读课本P49~P51,然后小结.

Ⅳ.课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等(等边对等角),等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高.

我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应用它们.

57

Ⅴ.课后作业

(一)课本P56─1、3、4、8题.

(二)1.预习课本P141~P143.

2.预习提纲:等腰三角形的判定.

Ⅵ.活动与探究

如右图,在△ABC中,过C作∠BAC的平分线AD的垂线,垂足为D,DE∥AB交AC于E.

求证:AE=CE.

BD

AE

过程:通过分析、讨论,让学生进一步了解全等三角形的性质和判定,?等腰三角形的性质. 结果:

证明:延长CD交AB的延长线于P,如右图,在△ADP和△ADC中

2,??1???, ?AD?AD

??ADP??AD,C? ∴△ADP≌△ADC.

B ∴∠P=∠ACD. D

又∵DE∥AP,

∴∠4=∠P.

∴∠4=∠ACD. AE ∴DE=EC.

同理可证:AE=DE.

∴AE=CE.

备课资料

参考练习

一、选择题

1.如果△ABC是轴对称图形,则它的对称轴一定是( )

A.某一条边上的高; B.某一条边上的中线

C.平分一角和这个角对边的直线; D.某一个角的平分线

2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是( )

A.80° B.20° C.80°和20° D.80°或50°

答案:1.C 2.C

二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm,并且它的周长为16cm.

求这个等腰三角形的边长.

解:设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得

2(x+2)+x=16.

解得x=4.

所以,等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm.

课题:§12.3.1.2 等腰三角形(二) 新授课

教学目标

58

(一)〔知识与技能

探索等腰三角形的判定定理.

(二)〔过程与方法〕

探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.

(三)〔情感、态度与价值观〕

通过对等腰三角形的判定定理的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.

教学重点

等腰三角形的判定定理及其应用.

教学难点

探索等腰三角形的判定定理.

教学方法

讲练结合法.

教具准备

三角板

教学过程

Ⅰ.提出问题,创设情境

[师]上节课我们学习了等腰三角形的性质,现在大家来回忆一下,等腰三角形有些什么性质呢?

[生甲]等腰三角形的两底角相等.

[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

[师]同学们回答得很好,我们已经知道了等腰三角形的性质,那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢?这就是我们这节课要研究的问题.

Ⅱ.导入新课

[师]同学们看下面的问题并讨论:(书P51)

思考:如图,位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,?能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)?

在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?

[生甲]应该能同时赶到出事地点.因为两艘救生船的速度相同,同时出发,?在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.

[生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要,也就是∠A如果不等于∠B,?那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点.

[师]现在我们把这个问题一般化,在一般的三角形中,如果有两个角相等,?那么它们所对的边有什么关系?

[生丙]我想它们所对的边应该相等.

[师]为什么它们所对的边相等呢?同学们思考一下,给出一个简单的证明.

[生丁]我是运用三角形全等来证明的.

[例1]已知:在△ABC中,∠B=∠C(如图).

A 求证:AB=AC.

证明:作∠BAC的平分线AD.

在△BAD和△CAD中

DC59

??1??2,? ??B??C,

?AD?AD,?

∴△BAD≌△CAD(AAS).

∴AB=AC.

[师]太好了.从丁同学的证明结论来看,在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也是相等,也就说这个三角形就是等腰三角形.这个结论也回答了我们一开始提出的问题.也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形.

等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

[师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用.

[例2]求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个E三角形是等腰三角形.

[师]这个题是文字叙述的证明题,?我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形. AD2 已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图).

求证:AB=AC.

[师]同学们先思考,再分析.

[生]要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.

[师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容,很好! [生]接下来,可以找∠B、∠C与∠1、∠2的关系.

[师]我们共同证明,注意每一步证明的理论根据.

证明:∵AD∥BC,

∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等),

∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).

又∵∠1=∠2,

∴∠B=∠C,

∴AB=AC(等角对等边).

[师]看小黑板,同学们试着完成这个题.

D 已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.

求证:AB=AD.

证明:∵AD∥BC,

∴∠ADB=∠DBC(两直线平行,内错角相等).

B 又∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠DBC,

∴∠ABD=∠ADB,

∴AB=AD(等角对等边).

[师]下面来看另一个例题.

[例3]如图(1),标杆AB的高为5米,为了将它固定,需要由它的中点C?向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子,使得D、B、E在一条直线上,量得DE=4米,?绳子CD和CE要多长?

60

AB(1)

E

(2)

[师]这是一个与实际生活相关的问题,解决这类型问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题. 解:选取比例尺为1:100(即为1cm代表1m). (1)作线段DE=4cm;

(2)作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B; (3)在MN上截取BC=2.5cm;

(4)连接CD、CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的长,?就可以算出要求的绳长. [师]同学们按以上步骤来做一做,看结果是多少. Ⅲ.随堂练习

(一)课本P53 1、2、3. Ⅳ.课时小结

本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理,?并对判定定理的简单应用作了一定的了解.在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力. Ⅴ.课后作业

(一)课本P56─2、4、5、9、13题. (二)预习P53~P54. Ⅵ.活动与探究

[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等.

过程:利用等腰三角形的性质即等边对等角,全等三角形的判定及性质. 结果:

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的平分线. 求证:BD=CE. 证明:∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). ∵∠1=

11

∠ABC,∠2=∠ACB, 22

∴∠1=∠2.

在△BDC和△CEB中,

∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,

∴△BDC≌△CEB(ASA).

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等). [探究2]等腰三角形两腰上的高相等. 过程:同探究1. 结果:

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BE、CF分别是 求证:BE=CF. 证明:∵AB=AC,

E

D

C

A

△ABC的高.

E

D

61

B

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

又∵BE、CF分别是△ABC的高,

∴∠BFC=∠CEB=90°.

在△BFC和△CEB中,

∵∠ABC=∠ACB,∠BFC=∠CEB,BC=CB,

∴△BFC≌△CEB(AAS).

∴BE=CF.

[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等.

过程:同探究1.

结果:

已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是两腰上的中线.

求证:BD=CE.

证明:∵AB=AC,

A ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

又∵CD=11AC,BE=AB, 22

ED ∴CD=BE.

在△BEC和△CDB中,

∵BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB,

∴△BEC≌△CDB(SAS).

∴BD=CE.

C

课题:§12.3.2.1 等边三角形(一)新授课

教学目标

(一)〔知识与技能

经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程.

(二)〔过程与方法〕

1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.

2.经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

(三)〔情感、态度与价值观〕

1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.

2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

教学重点

等边三角形判定定理的发现与证明.

教学难点

1.等边三角形判定定理的发现与证明.

2.引导学生全面、周到地思考问题.

教学方法

探索发现法.

教具准备

三角板

教学过程

Ⅰ.提出问题,创设情境

62

[师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理,我们知道,在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形,叫等边三角形.回答下面的三个问题.

1.把等腰三角形的性质用到等边三角形,能得到什么结论?

2.一个三角形满足什么条件就是等边三角形?

3.你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗??你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流.

(教师应给学生自主探索、思考的时间)

[生甲]由等边对等角的性质可知,等边三角形的三个角相等,又由三角形三内角和定理可知,等边三角形的三个角相等,并且都等于60°.

[生乙]等腰三角形已有两边分别相等,所以我认为只要腰和底边相等,等腰三角形就是等边三角形了.

[生丙]等边三角形的三个内角都相等,且分别都等于60°,我认为等腰三角形的三个内角都等于60°,也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了.

(此时,部分同学同意此生看法,部分同学不同意此生看法,引起激烈的争论,?教师可让同学代表发表自己的看法)

[生丁]我不同意这个同学的看法,?因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根据等角对等边,三个内角都是60°,所以它们所对的边一定相等,但这一问题中“已知是等腰三角形,满足什么条件时便是等边三角形”,?我觉得他给的条件太多,浪费!

[师]给三个角都是60°,这个条件确实有点浪费,那么给什么条件不浪费呢??下面同学们可以在小组内交流自己的看法.

Ⅱ.导入新课

探索等腰三角形成等边三角形的条件.

[生]如果等腰三角形的顶角是60°,那么这个三角形是等边三角形.

[师]你能给大家陈述一下理由吗?

[生]根据三角形的内角和定理,顶角是60?°,?等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°,再根据等腰三角形两个底角是相等的,?所以每个底角分别是120°÷2=60°,则三个内角分别相等,根据等角对等边,?则此时等腰三角形的三条边是相等的,即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形.

[生]等腰三角形的底角是60°,那么这个三角形也是等边三角形,同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质.

[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现:?在等腰三角形中,?不论底角是60°,还是顶角是60°,那么这个等腰三角形都是等边三角形.?你能用更简洁的语言描述这个结论吗?

[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

(这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点,难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况.这是一种分类讨论的思想,教师要关注学生得出证明思路的过程,引导学生全面、周到地思考问题,并有意识地向学生渗透分类的思想方法)

[师]你在与同伴的交流过程中,发现了什么或受到了何种启示?

[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”,在等腰三角形中有两种情况:(1)这个角是底角;(2)这个角是顶角.也就是说我们思考问题要全面、周到.

[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况,?我们鼓掌表示对他们的鼓励.

今天,我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形,我们在证明这个定理的过程中,还得出了三角形为等边三角形的条件,是什么呢?

[生]三个角都相等的三角形是等边三角形. A [师]下面就请同学们来证明这个结论.

已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.

求证:△ABC是等边三角形.

证明:∵∠A=∠B,

B63

∴BC=AC(等角对等边).

又∵∠A=∠C,

∴BC=AC(等角对等边).

∴AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形.

[师]这样,我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到.

等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;

三个角都相等的三角形是等边三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

[师]有了上述结论,我们来学习下面的例题,体会上述定理.

例4(书P54)

[例5]如图,课外兴趣小组在一次测量活动中,测得∠APB=60°,

AP=BP=200m,?他们便得出一个结论:A、B之间距离不少于200m,

对吗?

分析:我们从该问题中抽象出△APB,由已知条件∠APB=60°

?由本节课探究结论知△APB为等边三角形.

解:在△APB中,AP=BP,∠APB=60°,

所以∠PAB=∠PBA=他们的结论且AP=BP,11(180°-∠APB)=(180°-60°)=60°. 22

于是∠PAB=∠PBA=∠APB.

从而△APB为等边三角形,AB的长是200m,?由此可以得出兴趣小组的结论是正确的.

Ⅲ.随堂练习

(一)课本P54练习 1、2.

(二)补充练习

如图,△ABC是等边三角形,∠B和∠C的平分线相交于D,BD、CD?的垂直平分线分别交BC于E、F,求证:BE=CF.

A

D

EC

证明:连结DE、DF,则BE=DE,DF=CF.

由△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,得∠1=30°,故∠2=30°,从而∠DEF=60°. 同理∠DFE=60°,

故△DEF是等边三角形.

DE=DF,

因而BE=CF.

Ⅳ.课时小结

这节课,我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件,?并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法.这节课我们学的定理非常重要,在我们今后的学习中起着非常重要的作用. Ⅴ.课后作业 A (一)课本P56─5、6、7、10题.

(二)预习P55~P56.

Ⅵ.活动与探究

D

E64

探究:如图,在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE.△ADE是等边三角形吗?试说明理由.

过程:通过分析、讨论,让学生进一步了解等边三角形的性质及判定. 结果:

已知:三角形ABC为等边三角形.D、E为边AB、AC上两点,且AD=AE.判断△ADE?是否是等边三角形,并说明理由.

解:△ADE是等边三角形, ∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=60°. 又∵AD=AE,

∴△ADE是等腰三角形.

∴△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).

备课资料

立柱AD⊥度数.

参考例题

1.已知,如图,房屋的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的BC.屋椽AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的 解:在△ABC中, ∵AB=AC(已知),

∴∠B=∠C(等边对等角). ∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=40°(三角形内角和定

A

BDC

理).

1

2

又∵AD⊥BC(已知),

∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合). ∴∠BAD=∠CAD=50°.

2.已知:如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使CE=CD. 求证:DB=DE.

A

证明:∵△ABC是等边三角形,且BD是中线, ∴BD⊥AC,∠ACB=60°,∠DBC=30°.

D 又∵CD=CE, ∴∠CDE=∠E=

1

∠ACB=30°. 2

A

∴∠DBC=∠E. ∴DB=DE. 3.已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB、 求证:△ADE是等边三角形.

证明:∵△ABC是等边三角形(已知), ∴∠A=∠B=∠C(等边三角形各角相等). ∵DE∥BC,

AC于D、E.

E65

∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等).

∴∠A=∠ADE=∠AED.

∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).

课题:§12.3.2.2 等边三角形(二) 新授课

教学目标

(一)〔知识与技能

1.探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质.

2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用.

(二)〔过程与方法〕

1.经历“探索──发现──猜想──证明”的过程,?引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.

2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.

(三)〔情感、态度与价值观〕

1.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.

2.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.

教学重点

含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.

教学难点

1.含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.

2.引导学生全面、周到地思考问题.

教学方法

探索发现法.

教具准备

两个全等的含30°角的三角尺;

教学过程

Ⅰ.提出问题,创设情境

[师]我们学习过直角三角形,今天我们先来看一个特殊的直角三角形,看它具有什么性质.大家可能已猜到,我让大家准备好的含30°角的直角三角形,?它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢? 问题:用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形??能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由.

由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗?

Ⅱ.导入新课

(让学生经历拼摆三角尺的活动,发现结论,同时引导学生意识到,通过实际操作探索出来的结论,还需要给予证明)

[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形.

A

A

D

(1)C

BD(2)C 66

其中,图(1)是等边三角形,因为△ABD≌△ACD,所以AB=AC,又因为Rt△ABD中,∠BAD=60°,所以∠ABD=60°,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

[生]图(1)中,∠B=∠C=60°,∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°,所以∠B=∠C=∠BAC=60°,即△ABC是等边三角形.

[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形.由此你能得出在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边的关系吗?

[生]在直角三角形中,30°角所对直角边是斜边的一半.

[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明,你能证明它吗?

[生]可以,在图(1)中,我们已经知道它是等边三角形,所以AB=BC=AC.?而∠ADB=90°,即AD⊥BC.根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得BD=DC=11BC.所以BD=AB,?即在Rt△ABD22

中,∠BAD=30°,它所对的边BD是斜边AB的一半.

[师生共析]这位同学能结合前后知识,把问题思路解释得如此清晰,很了不起.?下面我们一同来完成这个定理的证明过程.

定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,?那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.

求证:BC=1AB. 2

AA

分析:从三角尺的摆拼过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,则∠B=60°.

延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如下图)

∵∠ACB=60°, ∴∠ACD=90°.

∵AC=AC,

∴△ABC≌△ADC(SAS).

∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).

∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).

∴BC=BBCD11BD=AB. 22

[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用,因为它由角的特殊性,揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系,下面我们就来看一个例题.

[例5]右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、

BDE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BD、DE要多长?

D 分析:观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中,由于∠A=30°,

所以DE=11AD,BC=AB,又由D是AB的中点,所以22AECDE=1AB. 4 解:因为DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°,由定理知

BC=11AB,DE=AD, 22

67

所以BD=

又AD=1×7.4=3.7(m). 21AB, 2

11 所以DE=AD=×3.7=1.85(m). 22

答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.

[师]再看下面的例题.

[例]等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高.

已知:如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠

CD是腰AB上的高.

求:CD的长.

分析:观察图形可以发现,在Rt△ADC中,AC=2a,

B△ABC的一个外角,?则∠DAC=15°×2=30°,根据在

中,30°角所对的边是斜边的一半,?可求出CD.

解:∵∠ABC=∠ACB=15°,

∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°.

∴CD=ACB=15°,DAC而∠DAC是直角三角形1AC=a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 2

[师]下面我们来做练习.

Ⅲ.随堂练习

(一)课本P56练习

(二)补充练习

1.已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.

求证:BD=1AB. 4

C 证明:在Rt△ABC中,∠A=30°,

∴BC=1AB. 2

D 在Rt△BCD中,∠B=60°,

∴∠BCD=30°.

∴BD=11BC. ∴BD=AB. 24

2.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍,这个角的平分线把对边分成两条线段. 求证:其中一条是另一条的2倍.

已知:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线.

求证:CD=2AD.

证明:在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,

∴∠ABC=60°,∠C=30°.

A 又∵BD是∠ABC的平分线,

D ∴∠ABD=∠DBC=30°.

∴AD=1BD,BD=CD. ∴CD=2AD. 2

Ⅳ.课时小结

这节课,我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系.这个定理是个非常重要的定理,在今后的学习中起着非常重要的作用.

68 B

Ⅴ.课后作业

(一)课本P58─11、12、13、14题.

(二)预习P60~P61,并准备活动课.

1.找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字.

2.思考镜子对实物的改变.

Ⅵ.活动与探究

在三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°.

过程:可以从证明“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”.从辅助线的作法中得到启示. A 结果:

已知:如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=

求证:∠BAC=30°.

证明:延长BC到D,使CD=BC,连结AD.

∵∠ACB=90°,

∴∠ACD=90°.

又∵AC=AC,

∴△ACB≌△ACD(SAS).

∴AB=AD.

∵CD=BC, 1AB. 2(1)C

1BD. 2

1 又∵BC=AB, 2 ∴BC=A ∴AB=BD.

∴AB=AD=BD,

即△ABD为等边三角形.

∴∠B=60°. BDC

在Rt△ABC中,∠BAC=30°. (2)

备课资料

参考例题

1.已知,如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.

求证:AN=BM.

证明:△ACM与△CBN是等边三角形.

N ∴∠ACM=∠BCN.

∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM, M

即∠ACN=∠MCB.

在△ACN和△MCB中,

,?AC?MC?, B ??ACN??MC

?CN?C,B?CB

∴△ACN≌△MCB(SAS).

∴AN=BM.

2.一个直角三角形房梁如图所示,其中BC⊥AC,∠BAC=30°,AB=10cm,?CB1⊥AB,B1C⊥AC1,垂足分别是B1、C1,那么BC的长是多少?

69

解:在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=10cm.

∴BC=1AB=5cm. 2

B

B ∵CB1⊥AB, ∴∠B+∠BCB1=90°. 又∵∠A+∠B=90°,

∴∠BCB1=∠A=30°.

在Rt△ACB1中,BB1=1BC=2.5cm. 2C1C

∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(cm).

∴在Rt△AB1C1中,∠A=30°.

∴B1C1=11AB1=×7.5=3.75(cm). 22

课题:第十二章轴对称(一)复习课

教学目标

(一)〔知识与技能

1.本章的所有基本概念.

2.本章的所有性质.

3.本章的所有基本概念及其性质的应用.

(二)〔过程与方法〕

通过学生的操作和思考,使学生掌握本章的基本概念,并在运用概念及其性质解题的过程中培养学生认真思考的习惯.

教学重点

1.本章的基本概念及性质.

2.本章性质的应用.

教学难点

本章性质的理解及其应用.

课教学过程

一、选择题:

1.下列图案是轴对称图形的有( )。

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

2.将写有字“

)。

(A)B (B) (C (D)

3.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝,则斜边的长为( )

(A)2 ㎝ (B)4 ㎝ (C) 6 ㎝ (D)8㎝

4.点M(1,2)关于x轴对称的点的坐标为 ( )

(A)(—1,2) (B)(-1,-2) (C)(1,-2) (D)(2,-1)

5.下列说法正确的是( )

70

A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B.顶角相等的两个等腰三角形全等

C.等腰三角形一边不可以是另一边的二D.等腰三角形的两个底角相等

6.如图(1),DE是?ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10

则?EBC的周长为( )厘米

A.16 B.28 C.26 D.18

(A) 50°或80° (B) 80° (C) 50° (D) 20°或80°

8.如图(2),是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE等于 ( )

(A)1m (B) 2m

(C)3m (D) 4m

图(2) 图(3)

9.如图(3),五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,则∠AMB的度数为( )

(A)144° (B)120° (C)108° (D)100°

10.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 ( )

(A)75°或15° (B)75° (C)15° (D)75°和30°

二、填空题

1、如图(4),△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,BD=5cm ,则CD=____________cm .

2、等腰三角形一个底角是30°,则它的顶角是__________度.

3、等腰三角形的腰长是6,则底边长3,周长为______________________。

4、等腰三角形一个外角为50°,则此等腰三角形顶角是________度,底角是________度。

5、如图(5),△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形有_____________个.

6、如图(6),△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为____________.

BDCBC7.等腰三角形的一个角是80°,则它的底角是( )图(1) AAADEBCDC 图(4) 图(5) 图(6)

7、到三角形各顶点距离相等的点是三角形

71

8、在直角坐标系内有两点A(-1,1)、B(3,3),若M为x轴上一点,且MA+MB最小,则M的坐标是________。

三、解答题(第1--6每题6分,第7题10分,共46分)

1、如图,根据要求回答下列问题:

解:(1)点A关于x轴对称点的坐标是 ;

点B关于y轴对称点的坐标是 ;

点C关于原点对称点的坐标是 ;

(2)作出与△ABC关于x轴对称的图形(不要求写作法)

2、等腰△ABC中,∠A=70度,求∠B、∠C的度数。

3、如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求∠A,∠ADB的度数.

4、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,求证:∠ABC=∠ADC. A

A

D

BD

BC

5、如图,在△ABC中,∠ACB=90,DE是AB的垂直平分线,∠CAE:∠EAB=4:1.求∠B的度数. C

A

B

EC

十四章 整式的乘法与因式分解

14.1.1同底数幂的乘法

教学目标

1.知识与技能

在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则,并掌握“法则”的应用.

2.过程与方法

经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,感受幂的意义,发展推理能力和表达能力,提高计算能力.

3.情感、态度与价值观

72

在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.

重、难点与关键

1.重点:同底数幂乘法运算性质的推导和应用.

2.难点:同底数幂的乘法的法则的应用.

3.关键:幂的运算中的同底数幂的乘法教学,要突破这个难点,?必须引导学生,循序渐进,合作交流,获得各种运算的感性认识,进而上各项到理性上来,提醒学生注意-a2与(-a)2的区别.

教学方法

采用“情境导入──探究提升”的方法,让学生从生活实际出发,认识同底数幂的运算法则.

教学过程

一、创设情境,故事引入

【情境导入】

“盘古开天壁地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.

【教师提问】盘古的左眼变成了太阳,那么,太阳离我们多远呢?你可以计算一下,太阳到地球的距离是多少?

光的速度为3〓105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5〓102秒,?你能计算出地球距离太阳大约有多远呢?

【学生活动】开始动笔计算,大部分学生可以列出算式:

3〓105〓5〓102=15?〓105〓102=15〓?(引入课题)

【教师提问】到底105〓102=?同学们根据幂的意义自己推导一下,现在分四人小组讨论.

【学生活动】分四人小组讨论、交流,举手发言,上台演示.

计算过程:105〓102=(10〓10〓10〓10〓10)〓(10〓10)

=10〓10〓10〓10〓10〓10〓10

=107

【教师活动】下面引例.

1.请同学们计算并探索规律.

(1)23〓24=(2〓2〓2)〓(2〓2〓2〓2)=2( );

(2)53〓54=_____________=5( );

(3)(-3)7〓(-3)6=___________________=(-3)( );

73

(4)(111)3〓()=___________=()( ); 101010

(5)a3〃a4=________________a( ).

提出问题:①这几道题目有什么共同特点?

②请同学们看一看自己的计算结果,想一想,这些结果有什么规律?

【学生活动】独立完成,并在黑板上演算.

【教师拓展】计算a〃a=?请同学们想一想.

m+n a?a???a)?(a?a???a)?(a?a?a???a)=a 【学生总结】a〃a=(???????????????

m个an个a(m?n)个a

这样就探究出了同底数幂的乘法法则.

二、范例学习,应用所学

【例】计算:

(1)103〓104; (2)a〃a3; (3)a〃a3〃a5; (4)x〃x2+x2〃x

【思路点拨】(1)计算结果可以用幂的形式表示.如(1)103〓104=103+4=107,但是如果计算较简单时也可以计算出得数.(2)注意a是a的一次方,?提醒学生不要漏掉这个指数1,x3+x3得2x3,提醒学生应该用合并同类项.(3)上述例题的探究,?目的是使学生理解法则,运用法则,解题时不要简化计算过程,要让学生反复叙述法则.

【教师活动】投影显示例题,指导学生学习.

【学生活动】参与教师讲例,应用所学知识解决问题.

三、随堂练习,巩固深化

课本练习题.

【探研时空】

据不完全统计,每个人每年最少要用去106立方米的水,1立方米的水中约含有3.34〓1019个水分子,那么,每个人每年要用去多少个水分子?

四、课堂总结,发展潜能

1.同底数幂的乘法,使用范围是两个幂的底数相同,且是相乘关系,?使用方法:乘积中,幂的底数不变,指数相加.

2.应用时可以拓展,例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘,仍成立,?底数和指数,它既可以取一个或几个具体数,由可取单项式或多项式.

3.运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆.

五、布置作业,专题突破

1.课本P96习题14.1第1(1),(2),2(1)题.

2.选用课时作业设计.

板书设计

74

14.1.2 幂的乘方

教学目标

1.知识与技能

理解幂的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义;通过推理得出幂的乘方的运算性质,并且掌握这个性质.

2.过程与方法

经历一系列探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通过情境教学,培养学生应用能力.

3.情感、态度与价值观

培养学生合作交流意义和探索精神,让学生体会数学的应用价值.

重、难点与关键

1.重点:幂的乘方法则.

2.难点:幂的乘方法则的推导过程及灵活应用.

3.关键:要突破这个难点,在引导这个推导过程时,步步深入,层层引导,?要求对性质深入地理解.

教学方法

采用“探讨、交流、合作”的教学方法,让学生在互动交流中,认识幂的乘方法则.

教学过程 一、创设情境,导入新知

【情境导入】

大家知道太阳,木星和月亮的体积的大致比例吗?我可以告诉你,?木星的半径是地球半径的102倍,太阳的半径是地球半径的103倍,假如地球的半径为r,那么,?请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少?(球的体积公式4为V=?r3) 3 【学生活动】进行计算,并在黑板上演算.

解:设地球的半径为1,则木星的半径就是102,因此,木星的体积为 4V木星=?〃(102)3=?(引入课题). 3 【教师引导】(102)3=?利用幂的意义来推导.

75

【学生活动】有些同学这时无从下手.

【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么?(102)3呢?

【学生回答】a3=a〓a〓a,指3个a相乘.(102)3=102〓102〓102,就变成了同底数幂乘法运算,根据同底数幂乘法运算法则,底数不变,指数相加,102〓102〓102=102+2+2=106,?因此(102)3=106.

【教师活动】下面有问题:

利用刚才的推导方法推导下面几个题目:

(1)(a2)3;(2)(24)3;(3)(bn)3;(4)-(x2)2.

【学生活动】推导上面的问题,个别同学上讲台演示.

【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目,推导一下(a)的结果是多少?

【学生活动】归纳总结并进行小组讨论,最后得出结论:

(am)n== amn.

评析:通过问题的提出,再依据“问题推进”所导出的规律,利用乘方的意义和幂的乘法法则,让学生自己主动建构,获取新知:幂的乘方,底数不变,指数相乘.

二、范例学习,应用所学

【例】计算:

(1)(103)5;(2)(b3)4;(3)(xn)3;(4)-(x7)7.

【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算.

【教师活动】启发学生共同完成例题.

【学生活动】在教师启发下,完成例题的问题:并进一步理解幂的乘方法则:

解:(1)(103)5=103〓5=1015; (3)(xn)3=xn〓3=x3n;

(2)(b3)4=b3〓4=b12; (4)-(x7)7=-x7〓7=-x49.

三、随堂练习,巩固练习

课本P97练习.

【探研时空】

计算:-x2〃x2〃(x2)3+x10.

【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生,媒体显示练习题.

【学生活动】书面练习、板演.

四、课堂总结,发展潜能

1.幂的乘方(am)n=amn(m,n都是正整数)使用范围:幂的乘方.方法:底数不变,指数相乘.

76

2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,可以是字母,?也可以是单项式或多项式.

3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于,一个是“指数相乘”,?一个是“指数相加”.

五、布置作业,专题突破

课本P104习题14.1第1、2题.

14.1.3 积的乘方

教学目标

1.知识与技能

通过探索积的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义,在推理得出积的乘方的运算性质的过程中,领会这个性质.

2.过程与方法

经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.

3.情感、态度与价值观

通过小组合作与交流,培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.

重、难点与关键

1.重点:积的乘方的运算.

2.难点:积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.

3.关键:要突破这个难点,教师应该在引导这个推导过程时,步步深入,?层层引导,而不该强硬地死记公式,只有在理解的情况下,才可以对积的乘方的运算性质灵活地应用.

教学方法

采用“探究──交流──合作”的方法,让学生在互动中掌握知识. 教学过程

一、回顾交流,导入新知

77

【教师活动】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则;幂的乘方运算法则的内容以及区别.

【学生活动】踊跃举手发言,解说老师的提问.

【课堂演练】

计算:(1)(x4)3 (2)a〃a5 (3)x7〃x9(x2)3

【学生活动】完成上面的演练题,并从中领会这两个幂的运算法则.

【教师活动】巡视,关注学生的练习,并请3位学生上台演示,?然后再提出下面的问题.

同学们思考怎样计算(2a3)4,每一步的根据是什么?

【学生活动】先独立完成上面的问题,再小组讨论.

(2a3)4=(2a3)〃(2a3)〃(2a3)〃(2a3)(乘方的含义)

=(2〃2〃2〃2)〃(a3〃a3〃a3〃a3)(乘法交换律、结合律)

=24〃a12(乘方的意义与同底数幂的乘法运算)

=16a12

【教师活动】提出应用以上分析问题的过程,再计算(ab)4,说出每一步的根据是什么?

【学生活动】独立思考之后,再与同学交流.

(ab)4=(ab)〃(ab)〃(ab)〃(ab)(乘方的含义)

=(aaaa)〃(bbbb)(交换律、结合律)

=a4〃b4(乘方的含义)

【教师提问】(1)请同学们通过计算,观察乘方结果之后,?你能得出什么规律?(2)如果设n为正整数,将上式的指数改成n,即:(ab)n,其结果是什么?

【学生活动】回答出(ab)n=anbn.

【师生共识】我们得到了积的乘方法则:(ab)n=anbn(n为正整数),这就是说,积的乘方等于积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

(ab)n==anbn

【教师活动】拓展训练:三个或三个以上的积的乘方,如(abc)n,

【学生活动】回答出结果是(abc)n =a n b n c n.

二、范例学习,应用所学

【例】计算:

(1)(2b)3;(2)(2〓a3)2;(3)(-a)3;(4)(-3x)4.

【教师活动】组织、讲例、提问.

【学生活动】踊跃抢答.

三、随堂练习,巩固深化

78

课本P98练习.

【探研时空】

计算下列各式:

(1)(-)2〃(-)3; (2)(a-b)3〃(a-b)4;

(3)(-a5)5; (4)(-2xy)4;

(5)(3a2)n; (6)(xy3n)2-[(2x)2] 3;

(7)(x4)6-(x3)8; (8)-p〃(-p)4;

(9)(tm)2〃t; (10)(a2)3〃(a3)2.

四、课堂总结,发展潜能

本节课注重课堂引入,激发学生兴趣,“良好开端等于成功一半”.

1.积的乘方(ab)n=anbn(n是正整数),使用范围:底数是积的乘方.方法:把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

2.在运用幂的运算法则时,注意知识拓展,底数和指数可以是数,?也可以是整式,对三个以上因式的积也适用.

3.要注意运算过程,注意每一步依据,还应防止符号上的错误.

4.在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系.

五、布置作业,专题突破

1.课本P104习题15.1第1、2题.

14.1.4 单项式乘以单项式

教学目标

1.知识与技能

理解整式运算的算理,会进行简单的整式乘法运算.

2.过程与方法

经历探索单项式乘以单项式的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语言表达能力.

79 3535

3.情感、态度与价值观

培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神. 重、难点与关键

1.重点:单项式乘法运算法则的推导与应用.

2.难点:单项式乘法运算法则的推导与应用.

3.关键:通过创设一定的问题情境,?推导出单项式与单项式相乘的运算法则,可以采用循序渐进的方法突破难点.

教学方法

采用“情境──探究”的教学方法,让学生在创设的情境之中自然地领悟知识.

教学过程

一、创设情境,操作导入

【手工比赛】

让学生在课前准备一张自己最满意的照片,自己制作一个美丽的像框.上课之后,首先来做游戏,“才艺大献”,把自己的照片加一个美丽的像框,看谁在10分钟之内,可以装饰出美丽的照片,谁的最好,老师就送他个好礼物.

【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”.

【学生活动】完成上述手工制作,与同伴交流.

【教师引导】在学生完成之后,教师拿出一张美丽的风景照片,提出问题:你们看这幅美丽的风景图片,如何装饰它会更漂亮?

【学生回答】加一个美丽的像框.

【引入课题】假如要加一个美丽的像框,需要知道这幅图片的大小,现在告诉你,图片的长为mx,宽为x,你能计算出图片的面积吗?

【学生活动】动手列式,图片的面积为mx〃x=?

【教师提问】对于mx〃x=?的问题,前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则,现在请你运用已学知识推导出它的结果.

【学生活动】先独立思考,再与同伴交流.

实际上mx〃x=m(x〃x)=m〃x2=mx2.

【拓展延伸】请同学们继续计算mx〃x=?

【学生活动】先独立完成,再与同伴交流,踊跃上台演示.

mx〃x=m〃x〃x=m〃x2=mx2.

【教师活动】请部分学生上台演示,然后大家共同讨论.

【继续探究】计算:(1)x〃mx; (2)2a2b〃3ab3; (3)(abc)〃b2c.

【学生活动】独立完成,再与同学交流.

【教师活动】总结新知:我们根据自己做的题目的原则,得到单项式与单

80 5454545454

项式相乘的运算法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,放在积的因式中.

二、范例学习,应用所学

【例1】计算.

(1)3x2y〃(-2xy3) (2)(-5a2b3)〃(-4b2c)

【思路点拨】例1的两个小题,可先利用乘法交换律、?结合律变形成数与数相乘,同底数幂与同底数幂相乘的形式,单独一个字母照抄.

【例2】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9〓103米/秒,?则卫星运行3〓102秒所走的路程约是多少?

【教师活动】:引导学生参与到例1,例2的解决之中.

【学生活动】参与到教师的讲例之中,巩固新知.

三、问题讨论,加深理解

【问题牵引】

1.a〃a可以看作是边长为a的正方形的面积,a〃ab又怎样理解呢?

2.想一想,你会说明a〃b,3a〃2a以及3a〃5ab的几何意义吗?

【教师活动】问题牵引,引导学生思考,提问个别学生.

【学生活动】分四人小组,合作学习.

四、随堂练习,巩固深化

课本P145练习第1、2题.

五、课堂总结,发展潜能

本节内容是单项式乘以单项式,重点是放在对运算法则的理解和应用上. 提问:(1)请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则.

(2)在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么?

六、布置作业,专题突破

1.课本P149习题15.1第3题.

2.选用课时作业设计.

板书设计

81

14.1.5 单项式与多项式相乘

教学目标

1.知识与技能

让学生通过适当尝试,获得一些直接的经验,体验单项式与多项式的乘法运算法则,会进行简单的整式乘法运算.

2.过程与方法

经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理地思考及语言表达能力.

3.情感、态度与价值观

培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值. 重、难点与关键

1.重点:单项式与多项式相乘的法则.

2.难点:整式乘法法则的推导与应用.

3.?关键:应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来,注意知识迁移.

教学方法

采用“情境──探究”教学方法,让学生直观地理解单项式与多项式相乘的法则.

教学过程

一、回顾交流,课堂演练

1.口述单项式乘以单项式法则.

2.口述乘法分配律.

3.课堂演练,计算:

(1)(-5x)〃(3x)2 (2)(-3x)〃(-x) (3)xy〃xy2

(4)-5m2〃(-mn) (5)-x4y6-2x2y〃(-

【教师活动】组织练习,关注中下水平的学生.

82

13231315125xy) 2

【学生活动】先独立完成上述“演练题”,再相互交流,部分学生上台演示.

二、创设情境,引入新课

小明作了一幅水彩画,所用纸的大小如图1,她在纸的左右两边各留了a米的空白,请同学们列出这幅画的画面面积是多少?

【学生活动】小组合作,讨论.

16

【教师活动】在学生讨论的基础上,提问个别学生.

【情境问题2】夏天将要来临,有3家超市以相同价格n?(单位:元/台)销售A牌空调,他们在一年内的销售量(单位:台)分别是x,y,z,?请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入.

【学生活动】分四人小组,与同伴交流,寻求不同的表示方法.

方法一:首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量(单位:台),?再计算出总的收入(单位:元).

即:n(x+y+z).

方法二:采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入,?然后再计算出他们的总收入(单位:元).

即:nx+ny+nz. 由此可得:n(x+y+z)=nx+ny+nz.

【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中,找到规律:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加.

三、范例学习,应用所学

【例1】计算:(-2a2)〃(3ab2-5ab3).

解:原式=(-2a2)(3ab2)-(-2a2)〃(5ab3)

=-6a3b2+10a3b3

【例2】化简:-3x2〃(xy-y2)-10x〃(x2y-xy2)

解:原式=-x3y+3x2y2-10x3y+10x2y2

=-11x3y+13x2y2

【例3】解方程:8x(5-x)=19-2x(4x-3)

40x-8x2=19-8x2+6x

40x-6x=19

34x=19

83 13

x=19 34

四、随堂练习,巩固深化

课本P146练习.

【探研时空】

计算:(1)5x2(2x2-3x3+8) (2)-16x(x2-3y)

(3)-2a2(112ab2+b4) (4)(x2y3-16xy)〃xy2 223

【教师活动】巡视,关注中差生.

五、课堂总结,发展潜能

1.单项式与多项式相乘法则:单项式与多项式相乘,?就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

2.单项式与多项式相乘,应注意(1)“不漏乘”;(2)注意“符号”.

六、布置作业,专题突破

课本P104习题14.1第4、6题.

14.1.6 多项式与多项式相乘

教学目标

1.知识与技能

让学生理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.

2.过程与方法

经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,体会其运算的算理.

3.情感、态度与价值观

通过推理,培养学生计算能力,发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯.

重、难点与关键

1.重点:多项式与多项式的乘法法则的理解及应用.

84

2.难点:多项式与多项式的乘法法则的应用.

3.?关键:多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决.

教学方法

采用“情境──探索”教学方法,让学生在设置的情境中,通过操作感知多项式与多项式乘法的内涵.

教学过程

一、创设情境,操作感知

【动手操作】

首先,在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形,并且分成如下图1?所示的四部分,标上字母.

【学生活动】拿出准备好的硬纸板,画出上图1,并标上字母.

【教师活动】要求学生根据图中的数据,求一下这个矩形的面积.

【学生活动】与同伴交流,计算出它的面积为:(m+b)〓(n+a).

【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开,分成如下图两部分,如图2.剪开之后,分别求一下这两部分的面积,再求一下它们的和.

【学生活动】分四人小组,合作探究,求出第一块的面积为m(n+a),第二块的面积为b(n+a),它们的和为m(n+a)+b(n+a).

【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开,将图形分成四部分,如图3,?然后再求这四块长方形的面积.

【学生活动】分四人小组合作学习,求出S1=mn;S2=nb;S3=am;S4=ab,?它们的和为S=mn+nb+am+ab.

【教师提问】依据上面的操作,求得的图形面积,探索(m+b)(n+a)应该

85

等于什么?

【学生活动】分四人小组讨论,并交流自己的看法.

(m+b)〓(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab,因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算,那么,两次的计算结果应该是相同的,所以(m+b)〓(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab.

【师生共识】多项式与多项式相乘,用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的结果相加.

字母呈现: =ma+mb+na+nb.

二、范例学习,应用所学

【例1】计算:

(1)(x+2)(x-3) (2)(3x-1)(2x+1)

【例2】计算:

(1)(x-3y)(x+7y) (2)(2x+5y)(3x-2y)

【例3】先化简,再求值:

(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2,其中a=-8,b=-6.

【教师活动】例1~例3,启发学生参与到例题所设置的计算问题中去.

【学生活动】参与其中,领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题.

三、随堂练习,巩固新知

课本P148练习第1、2题.

【探究时空】

一块长m米,宽n米的玻璃,长宽各裁掉a?米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小),问台面面积是多少?

四、课堂总结,发展潜能

1.多项式与多项式相乘,?应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果,利用乘法分配律来理解(m+n)与(a+b)相乘的结果,导出多项式乘法的法则.

2.多项式与多项式相乘,第一步要先进行整理,?在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时,要“依次”进行,不重复,不遗漏,且各个多项式中的项不能自乘,多项式是几个单项式的和,每一项都包括前面的符号,在计算时要正确确定积中各项的符号.

五、布置作业,专题突破

课本P104习题14.1第5、6、7(2)、9、10题.

板书设计

86

14.2.1平方差公式(二)

教学目标

1.知识与技能

探究平方差公式的应用,熟练地应用于多项式乘法之中.

2.过程与方法

经历平方差公式的运用过程,体会平方差公式的内涵.

3.情感、态度与价值观

培养良好的运算能力,以及观察事物的特征的能力,感受到学习数学知识的实际价值.

重、难点与关键

1.重点:运用平方差公式进行整式计算.

2.难点:准确把握运用平方差公式的特征.

3.关键:弄清平方差公式的结构特点,左边:(1)两个二项式的积;(2)?两个二项式中一项相同,另一项互为相反数.右边:(1)二项式;(2)两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方.

教学方法

采用“精讲.精练”分层递推的教学方法,让学生在训练中,熟练掌握平方差的特征.

教学过程

一、回顾交流,课堂演练

1.用平方差公式计算:

(1)(-9x-2y)(-9x+2y) (2)(-0.5y+0.3x)(0.5y+0.3x)

(3)(8a2b-1)(1+8a2b) (4)20082-2009〓2007

2.计算:(a+11b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b) 22

【教师活动】请部分学生上讲台“板演”,然后组织学生交流.

【学生活动】先独立完成课堂演练,再与同学交流.

二、范例学习,巩固深化

【例1】计算:

87

(1)(y+2

5

634113x)(2x-y); 22456 (2)(-x-0.7a2b)(x-0.7a2b);

(3)(2a-3b)(2a+3b)(4a2+9b2)(16a4+81b4).

25292x?y 416

55 (2)原式=(-0.7a2b-x)(-0.7a2b+x) 66

525 =(-0.7a2b)2-(x)2=0.4 9a4b2-x2 63652345234 解:(1)原式=(x+y)(x-y)=

(3)原式=(4a2-9b2)(4a2+9b2)(16a4+81b4)

=(16a4-81b4)(16a4+81b4)

=256a8-6561b8

1

4

3111 【思路点拨】因为7可改写为8-,8可改写成8+,这样可用平方差4444 【例2】运用乘法公式计算:7〓8 34

公式计算.

解:7〓8=(8-)(8+)=82-()2=64-3

414141414115=63. 1616

【教师活动】边讲例边引导学生学会应用平方差公式.

【学生活动】参与到例1~2的学习中去.

三、课堂演练,拓展思维

【演练题1】想一想:(1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特征. ?6?8????7?7???13?15????14?14???61?63????62?62???59?61?? ?60?60???

(2)从以上的过程中,你能寻找出什么规律?

(3)请你用字母表现你所发现的规律,并得出结论.

【演练题2】

1.计算:(1)118〓122 (2)105〓95 (3)1007〓993

2.求(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的个位数字.

【教师活动】组织学生进行课堂演练,并适时归纳.

【学生活动】先独立完成上面的演练题,再与同伴交流.

四、随堂练习,巩固提升

【探研时空】

1.计算:[2a2-(a+b)(a-b)][(-a-b)(-a+b)+2b2];

2.解不等式:(3x+4)(3x-4)<9(x-2)(x+3);

88

3.利用平方差公式计算:1.97〓2.03;

4.化简求值:x4-(1-x)(1+x)(1+x2)其中x=-2.

【教师活动】引导学生通过探究,领会平方差公式的真正意义.

【学生活动】分四人小组合作学习,互相交流.

五、课堂总结,发展潜能

提问式总结:

1.什么叫做平方差公式?它有什么特征?

2.你在应用过程中有什么感想?

3.在应用平方差公式时,应注意什么?举例说明.

六、布置作业,专题突破

选用补充作业.

14.2.1平方差公式(一)

教学目标

1.知识与技能

会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.

2.过程与方法

经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.

3.情感、态度与价值观

通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性,体验数学活动充满着探索性和创造性.

重、难点与关键

1.重点:平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的了解.

2.难点:平方差公式的应用.

3.关键:对于平方差公式的推导,我们可以通过教师引导,学生观察、?总结、猜想,然后得出结论来突破;抓住平方差公式的本质特征,是正确应用公式来计算的关键.

89

教学方法

采用“情境──探究”的教学方法,让学生在观察、猜想中总结出平方差公式.

教学过程

一、创设情境,故事引入

【情境设置】

教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事

【学生活动】1位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事,?其他学生认真听着,不时补充.

【教师归纳】听了这则故事之后,同学们应该懂得这么一个道理,学习千万不能像狗熊掰棒子一样,前面学,后面忘,那么,上节课我们学习了什么呢?还记得吗?

【学生回答】多项式乘以多项式.

【教师激发】大家是不是已经掌握呢?还是早扔掉了呢?和小狗熊犯了同样的错误呢?下面我们就来做这几道题,看看你是否掌握了以前的知识.

【问题牵引】计算:

(1)(x+2)(x-2); (2)(1+3a)(1-3a);

(3)(x+5y)(x-5y); (4)(y+3z)(y-3z).

做完之后,观察以上算式及运算结果,你能发现什么规律?再举两个例子验证你的发现.

【学生活动】分四人小组,合作学习,获得以下结果:

(1)(x+2)(x-2)=x2-4;

(2)(1+3a)(1-3a)=1-9a2;

(3)(x+5y)(x-5y)=x2-25y2;

(4)(y+3z)(y-3z)=y2-9z2.

【教师活动】请一位学生上台演示,然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果,寻找规律.

【学生活动】讨论

【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律,这些是一类特殊的多项式相乘,那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢?

【学生回答】可以用(a+b)(a-b)表示左边,那么右边就可以表示成a2-b2了,即(a+b)(a-b)=a2-b2.

用语言描述就是:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

【教师活动】表扬学生的探索精神,引出课题──平方差,并说明这是一

90

个平方差公式和公式中的字母含义.

二、范例学习,应用所学

【教师讲述】

平方差公式的运用,关键是正确寻找公式中的a和b,只有正确找到a和b,?一切就变得容易了.现在大家来看看下面几个例子,从中得到启发.

【例1】运用平方差公式计算:

(1)(2x+3)(2x-3);

(2)(b+3a)(3a-b);

(3)(-m+n)(-m-n).

填表:

【例2】计算:

(1)103〓97

(2)(3x-y)(3y-x)-(x-y)(x+y)

通过做题,应该总结出:在两个因式中,符号相同的一项作a,符号不同的一项作b.

三、随堂练习,巩固新知

课本P108练习第1、2题.

四、课堂总结,发展潜能

本节课的内容是两数和与这两数差的积,公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质.运用平方差公式应满足两点:一是找出公式中的第一个数a,?第二个数b;二是两数和乘以这两数差,这也是判断能否运用平方差公式的方法.

五、布置作业,专题突破

课本P112第1、2题.

91

14.2.2 完全平方公式(二)

教学目标

1.知识与技能

引导学生通过观察、分析使他们掌握每一个乘法公式的结构特征及公式的含义,会正确地运用这些公式.

2.过程与方法

通过探索和理解乘法公式,感受乘法公式从一般到特殊的认知过程,拓展思维空间.

3.情感、态度与价值观

培养良好的分析思想和与人合作的习惯,体会到数学算理的重要价值. 重、难点与关键

1.重点:正确应用乘法公式(平方差公式,完全平方公式).

2.难点:对乘法公式的结构特征以及内涵的理解.

3.关键:对公式的结构特征进行具体的分析,?从中感悟公式的特点并加以概括.

教学方法

采用“精讲.精练”的教学方法,增强教学的有效性.

教学过程

一、回顾交流,拓展延伸

【教师提问】

1.请同学们说一说平方差公式与完全平方公式的内容.

2.这两个公式有什么区别?如何使用?

【学生活动】踊跃发言.

平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方公式:(a〒b)2=a2〒2ab+b2

这里的字母a、b可以是数、单项式、多项式.

二、范例学习,拓展知识

【例1】计算(2a-3b-4)(2a+3b+4)

该题关键在于正确的分组,一般规律是:把完全相同的项分为一组,符合相反、绝对值相等的项分为另一组.

【例2】例a=-1,b=2时,求代数式[(

2b2)的值.

【例3】已知a+b=-2,ab=-15,求a2+b2的值.

解:∵(a+b)2=a2+2ab+b2,变形后可有a2+b2=(a+b)2-2ab.

92 111a+b)2+(a-b)2](a2-222

把a+b=-2,ab=-15代入上式,则

a2+b2=(-2)2-2〓(-15)=34.

三、随堂练习,巩固深化

【课堂演练】

演练题1:应用乘法公式计算:19952-1994〓1996.

演练题2:已知a+b=-6,ab=8,求(1)a2+b2;(2)(a-b)2.

四、课堂总结,发展潜能

1.本节课应理解乘法公式是一种特殊形式的乘法,?注意平方差公式与完全平方公式的区别.

2.在乘法计算中,能用公式简便计算的应该使用公式,?要注意公式的应用条件,记住公式的模样,在此前提下对具体题目进行细致观察,想办法将题目调整或变形,使之能使用公式,当然,有些不能使用公式的整式乘法计算就只能运用一般的多项式乘法来进行了.

五、布置作业,专题突破

课本P112第5、6、7题.

14.2.2 完全平方公式(一)

教学目标

1.知识与技能

会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算,形成推理能力.

2.过程与方法

利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式.掌握完全平方公式的计算方法.

3.情感、态度与价值观

培养学生观察、类比、发现的能力,体验数学活动充满着探索性和创造性. 重、难点与关键

1.重点:完全平方公式的推导和应用.

2.难点:完全平方公式的应用.

3.关键:从多项式与多项式相乘入手,推导出完全平方公式,?利用几何模和割补面积的方法来验证公式的正确性.

93

教具准备

制作边长为a和b的正方形以及长为a宽为b的纸板.

教学方法

采用“情境──探究”教学方法,让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵.

教学过程

一、创设情境,导入新知

【激趣辅垫】

寓言故事:请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事.

【学生活动】由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事,其他学生补充.

【教师活动】提出:你们从故事中学到了什么道理?(寓德于教)【学生发言】比喻没有真才实学的人,混在行家里充数,或以次货充好货.

【教师引导】对!所以我们在以后的学习和工作中,千万别滥竽充数,一定要有真才实学.好.今天同学们喊得很响亮,我要看看有没有南郭先生,请同学们完成下面的几道题:

(1)(2x-3)2; (2)(x+y)2; (3)(m+2n)2; (4)(2x-4)2.

【学生活动】先独立完成以上练习,再争取上讲台演练,

(1)(2x-3)2=4x2-12x+9; (2)(x+y)2=x2+2xy+y2;

(3)(m+2n)2=m2+4mn+4n2; (4)(2x-4)2=4x2-16x+16.

【教师活动】组织学生通过上面的运算结果中的每一项,观察、猜测它们的共同特点.

【学生活动】分四人小组,讨论.观察,探讨,发现规律如下:(1)?右边第一项是左边第一项的平方,右边最后一项是左边第二项的平方,中间一项是它们两个乘积的2倍.(2)左边如果为“+”号,右边全是“+”号,左边如果为“-”号,它们两个乘积的2?倍就为“-”号,其余都为“+”号.

【教师提问】那我们就利用简单的(a+b)2与(a-b)2进行验证,请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算.

【学生活动】计算出(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,完成后,?一位学生上讲台板演.

【教师活动】利用学生的板演内容,引出本节课的教学内容──完全平方公式.

归纳:完全平方公式:

(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a-b)2=a2-2ab+b2.

语言叙述:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.

94

为了让学生直观理解公式,可做下面的拼图游戏.

【拼图游戏】

解释:(1)现有图1所示的三种规格的硬纸片各若干张,?请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,?并探究所拼出的正方形的代数意义.

(2)你能根据图2,谈一谈(a-b)2=a2-2ab+b2吗?

【课堂活动】第(1)题由小组合作,在互动中完成拼图游戏,比一比,哪个四人小组快?第(2)题,可以借助多媒体课件,直观地演示面积的变化,帮助学生联想到

(a-b)2=a2-b2-2b(a-b)=a2-2ab+b2.

二、范例学习,应用所学

【例1】运用完全平方公式计算:

(1)(-x-y)2; (2)(2y-1

3)2

(1)解法一:(-x-y)2=[(-x)+(-y)] 2

=(-x)2+2(-x)(-y)+(-y)2

=x2+2xy+y2;

解法二:(-x-y)2=[-(x+y)] 2=(x+y)2=x2+2xy+y2.

(2)解法一:(2y-1)2=(2y)2-2〃2y〃1+(1

333)2

=4y2-41

3y+9.

解法二:(2y-1)2=[2y+(-1

33)] 2

=(2y)2+2〃2y〃(-1)+(-1

33)2

=4y2-4

3y+1

9.

【例2】运用乘法公式计算99992.

解:99992=(104-1)2=108-2〓104+1

=100000000-20000+1

95

=99980001.

三、随堂练习,巩固新知

【基础训练】

(1)(-)2; (2)(2xy+3)2;

(3)(-ab+)2; (4)(7ab+2)2.

【拓展训练】

(1)(-2x-3)2; (2)(2x+3)2;

(3)(2x-3)2; (4)(3-2x)2.

【教师活动】在学生完成“拓展训练”之后,让学生观察一下结果,看看有什么规律.

【学生活动】分四人小组合作交流,寻找规律如下:把以上所有的题目都看作两个数的和的完全平方(把减去一个数看作加上一个负数),如果两个数是相同的符号,则结果中的每一项都是正的,如果两个数具有不同的符号,?则它们乘积的2倍这一项就是负的.

【探研时空】

已知:x+y=-2,xy=3,求x2+y2.

四、课堂总结,发展潜能

本节课学习了(a〒b)2=a2〒2ab+b2,两个乘法公式,在应用时,(1)?要了解公式的结构和特征.让住每一个公式左右两边的形式特征,记准指数和系数的符号;(2)掌握公式的几何意义;(3)弄清公式的变化形式;(4)注意公式在应用中的条件;(5)应灵活地应用公式来解题.

五、布置作业,专题突破

课本P112习题14.2第3、4、8、9题.

14.3.1 同底数幂的除法

教学目标

1.知识与技能

了解同底数幂的除法的运算性质,并会用其解决实际问题.

2.过程与方法

96 a3b213

经历探究同底数幂的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条件的表达能力.

3.情感、态度与价值观

感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.

重、难点与关关键

1.重点:同底数幂的除法法则.

2.难点:同底数幂的除法法则的推导.

3.关键:采用数学类比的方法,引入幂的除法法则.

教学方法

采用“问题解决”教学方法.

教学过程

一、创设情境,导入新知

【情境引入】教科书P159问题:

一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?你是如何计算的?

【教师活动】组织学生独立思考完成,然后先组内交流(4人小组),?接着再全班交流,鼓励学生积极探索,应用数学转化的思想化陌生为熟悉,鼓励学生算法多样化,同样强调算理的叙述.

【学生活动】完成课本P159“问题”,踊跃发言,利用除法与乘法的互逆关系,求出216〔28=28=256.

【继续探究】 根据除法的意义填空,并观察计算结果,寻找规律:

(1)77〔72=7( );

(2)1012〔107=10( );

(3)x7〔x3=x( ).

【归纳法则】一般地,我们有am〔an=am-n

(a≠0,m,n都是正整数,m>n).

文字叙述:同底数的幂相除,底数不变,指数相减.

【教师活动】组织学生讨论为什么规定a≠0?

二、范例学习,应用所学

【例1】计算:

(1)x9〔x3; (2)m7〔m;

(3)(xy)7〔(xy)2; (4)(m-n)8〔(m-n)4.

【特殊性质】探究课本P160“探究”题.

根据除法的意义填空,并观察结果的规律:

(1)72〔72=( ); (2)1005〔1005=( )

(3)an〔an=( )(a≠0)

97

【课堂活动】在学生完成上面的填空题之后,教师引导学生观察结论:(1)72〔72=72-2=70; (2)1005〔1005=1005-5=1000;

(3)an〔an=an-n=a0(a≠0)

规定a0=1(a≠0),文字叙述如下:

任何不等于0的数的0次幂都等于1.

【法则拓展】一般,我们有am〔an=am-n

(a≠0,m,n都是正整数,并且m≥n),?即文字叙述为:

同底数幂相除,底数不变,指数相减.

三、随堂练习,巩固深化

课本P104练习第1、2、3题.

【探研时空】

下列计算是否正确?如果不正确,应如何改正?

(1)(-xy)6〔(-xy)2=-x4y4;

(2)62m+1〔6m=63=216;

(3)x10〔x2〔x=x10〔x=1010.

四、课堂总结,发展潜能

教师提问式总结:

1.同底数幂的除法法则?

2.a0=1(a≠0)意义?

3.到目前为止,我们学习了哪些幂的运算法则?谈谈它们的异同点.

五、布置作业,专题突破

课本P112第1题.

14.3.2 单项式除以单项式

教学目标

1.知识与技能

会进行单项式除以单项式运算,理解整式除法运算的算理,发展有条理的思考及语言表达能力.

2.过程与方法

经历整式乘法的逆运算或约分的思想推理出单项式除以单项式的运算法则

98

的过程,掌握整式除法运算.

3.情感、态度与价值观

培养学生探索的勇气和信念,增强挑战困难的勇气和信心.

重、难点与关键

1.重点:单项式除以单项式的运算法则.

2.难点:理解单项式除以单项式的法则并应用其法则计算.

3.?关键:运用类比数的运算方法切入到整式乘法的单项式乘以单项式运算法则的理解之中.

教学方法

采用“引导──发现”法进行教学.

教学过程

一、创设情境,导入新知

【激趣引入】

问题提出:林宁今年刚刚3岁,是幼儿园里最聪明的孩子,?李老师教他做算术,告诉他5〓6=30后,他马就知道30〔5=6,你说他是怎样计算的呢?

【学生活动】回答上述问题:林宁利用了除法是乘法的逆运算得出的结果.

【教师活动】提出话题:我们前几天学习了整式的乘法,现在,不用老师讲解,你们能开始解决整式的除法运算吗?谁可以告诉我单项式与单项式相除的法则?

【学生活动】思考回答:把它们的系数先相除,然后再把相同字母的幂相除,其他的字母连同它的指数不变,作为商的因式.

【教师活动】引入课题,引导学生运用单项式除以单项式的法则计算下列几道题目.

【课堂演练】计算:

(1)(x5y)〔x3; (2)(16m2n2)〔(2m2n);

(3)(x4y2z)〔(3x2y)

【学生活动】开始计算,然后总结归纳,上台演示,引入课题.

【归纳法则】

单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

二、范例学习,应用所学

【例】计算:

(1)63x7y3〔7x3y2; (2)-25a6b4c〔10a4b.

三、随堂练习,巩固深化

课本P109练习第1、2题.

【探研时空】

99

已知10m=5,10n=4,求102m-3n的值.

四、课堂总结,发展潜能

单项式除以单项式运算时,要注意:

1.系数相除与同底数的幂相除的区别:后者运算时是将指数相减,?然而前者是有理数的除法.

2.对于单项式除以单项式,仅仅考虑整除的情况.

五、布置作业,专题突破

课本P112习题14.3第2、4、7题.

14.3.3 多项式除以单项式

教学目标

1.知识与技能

要求学生能够进行多项式除以单项式的运算,并且理解除法运算的算理,发展思维能力和表达能力.

2.过程与方法

利用整式除法的逆运算或者约分的方法推理出多项式除以单项式的运算法则,掌握整式除法的运算.

3.情感、态度与价值观

通过分组讨论学习,体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性,培养学生的团结协作精神,使学生获得合作交流的学习方式.

重、难点与关键

1.重点:多项式除以单项式的运算法则的推导,以及法则的正确使用.

2.难点:多项式除以单项式的运算法则的熟练应用.

3.关键:从逆运算入手,?利用单项式与单项式相除的除法法则和分配律总结、归纳出多项式除以单项式的法则.

教学方法

采用“激趣──导学”的教学法.

教学过程

一、小组合作,激趣导学

【课堂演练】

100

1.(-4a2b)2〔(2ab2)

2.-16(x3y4)3〔(-

1

51452xy); 2 3.(2xy)2〃(-x5y3z2)〔(-2x3y2z)4;

4.18xy2〔(-3xy)-4x2y〔(-2xy).

【教师提问】 “(6xy+8y)〔(2y)”如何计算?

【学生活动】相互讨论,大多数学生没有找到计算思路.

【教师活动】铺垫一道题目:计算(ad+bd)〔d,

计算:

(1)(x3y2+4xy)〔x (2)(xy3-2xy)〔(xy)

【学生活动】分四人小组完成并讨论多项式除以单项式的法则:多项式与单项式相除可以用分配律将它转化为单项式与单项式相除,再利用单项式与单项式相除的法则进行计算.

【师生共识】多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.

二、范例学习,应用所学

【例】计算:

(1)(18x4-4x2-2x)〔2x

(2)(36x4y3-14x3y2-7x2y2)〔(-7x2y)

(3)[(m-n)2-n(2m+n)-8m]〔2m

三、随堂练习,巩固深化

课本P109练习题.

【探研时空】下列计算是否正确?如不正确,应怎样改正?

(1)-4ab2〔2ab=2b (2)(14a3-2a2+a)〔a=14a2-2a.

四、课堂总结,发展潜能

多项式除以单项式时应注意运算中的问题:一是所除的商要写成省略括号的代数和,二是除式与被除式不能交换,还要注意运算顺序,应灵活地运用有关运算公式.

五、布置作业,专题突破

课本P114第3、5、6、8题.

板书设计

101

14.4.1 因式分解

教学目标

1.知识与技能

了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系.

2.过程与方法

经历从分解因数到分解因式的类比过程,掌握因式分解的概念,感受因式分解在解决问题中的作用.

3.情感、态度与价值观

在探索因式分解的方法的活动中,培养学生有条理的思考、表达与交流的能力,培养积极的进取意识,体会数学知识的内在含义与价值.

重、难点与关键

1.重点:了解因式分解的意义,感受其作用.

2.难点:整式乘法与因式分解之间的关系.

3.关键:通过分解因数引入到分解因式,并进行类比,加深理解. 教学方法

采用“激趣导学”的教学方法.

教学过程

一、创设情境,激趣导入

【问题牵引】

请同学们探究下面的2个问题:

问题1:720能被哪些数整除?谈谈你的想法.

问题2:当a=102,b=98时,求a2-b2的值.

二、丰富联想,展示思维

探索:你会做下面的填空吗?

1.ma+mb+mc=( )( );

2.x2-4=( )( );

3.x2-2xy+y2=( )2.

【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.

三、小组活动,共同探究

102

【问题牵引】

(1)下列各式从左到右的变形是否为因式分解:

①(x+1)(x-1)=x2-1;

②a2-1+b2=(a+1)(a-1)+b2;

③7x-7=7(x-1).

(2)在下列括号里,填上适当的项,使等式成立.

①9x2(______)+y2=(3x+y)(_______);

②x2-4xy+(_______)=(x-_______)2.

四、随堂练习,巩固深化

课本练习.

【探研时空】计算:993-99能被100整除吗?

五、课堂总结,发展潜能

由学生自己进行小结,教师提出如下纲目:

1.什么叫因式分解?

2.因式分解与整式运算有何区别?

六、布置作业,专题突破

选用补充作业.

教学反思

在刚学多项式因式分解时,?非常重要的一点是能否正确理解因式分解与整式乘法的区别和联系.(2)判断多项式是否为因式分解,需要注意:①因式分解不是加、减、乘、除、乘方、开方的运算,而是把多项式由一种形式变成另一种形式;②一个多项式的变形是不是因式分解,关键要看变形后的多项式是否为几个整式的乘积.整式可以是单项式,也可以是多项式.(3)?因式分解是一种恒等变形,因式分解与整式乘法是互为相反的一种恒等变形,检验因式分解的结果是否正确,可以利用整式乘法运算看是否与原多项式相等,相同因式之积应写成幂的形式.

103

14.4.2 提公因式法

教学目标

1.知识与技能

能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.

2.过程与方法

使学生经历探索多项式各项公因式的过程,依据数学化归思想方法进行因式分解.

3.情感、态度与价值观

培养学生分析、类比以及化归的思想,增进学生的合作交流意识,主动积极地积累确定公因式的初步经验,体会其应用价值.

重、难点与关键

1.重点:掌握用提公因式法把多项式分解因式.

2.难点:正确地确定多项式的最大公因式.

3.关键:提公因式法关键是如何找公因式.方法是:一看系数、二看字母.?公因式的系数取各项系数的最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取最低次幂.

教学方法

采用“启发式”教学方法.

教学过程

一、回顾交流,导入新知

【复习交流】

下列从左到右的变形是否是因式分解,为什么?

1 (1)2x2+4=2(x2+2); (2)2t2-3t+1=(2t3-3t2+t); t (3)x2+4xy-y2=x(x+4y)-y2; (4)m(x+y)=mx+my;

(5)x2-2xy+y2=(x-y)2.

问题:

1.多项式mn+mb中各项含有相同因式吗?

2.多项式4x2-x和xy2-yz-y呢?

请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式,并说明理由.

【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式,如在mn+mb中的公因式是m,在4x2-x中的公因式是x,在xy2-yz-y中的公因式是y.

概念:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

二、小组合作,探究方法

104

【教师提问】 多项式4x2-8x6,16a3b2-4a3b2-8ab4各项的公因式是什么?

【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式,找公因式一看系数、二看字母,公因式的系数取各项系数的最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取最低次幂.

三、范例学习,应用所学

【例1】把-4x2yz-12xy2z+4xyz分解因式.

解:-4x2yz-12xy2z+4xyz

=-(4x2yz+12xy2z-4xyz)

=-4xyz(x+3y-1)

【例2】分解因式,3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式(y-x)2或(x-y)2,于是有两种变形,(x-y)3=-(y-x)3和(x-y)2=(y-x)2,从而得到下面两种分解方法.

解法1:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

=-3a2(y-x)3-4b2(y-x)2

=-[(y-x)2〃3a2(y-x)+4b2(y-x)2]

=-(y-x)2 [3a2(y-x)+4b2]

=-(y-x)2(3a2y-3a2x+4b2)

解法2:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

=(x-y)2〃3a2(x-y)-4b2(x-y)2

=(x-y)2 [3a2(x-y)-4b2]

=(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2)

【例3】用简便的方法计算:0.84〓12+12〓0.6-0.44〓12.

【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便.

解:0.84〓12+12〓0.6-0.44〓12

=12〓(0.84+0.6-0.44)

=12〓1=12.

【教师活动】在学生完全例3之后,指出例3是因式分解在计算中的应用,提出比较例1,例2,例3的公因式有什么不同?

四、随堂练习,巩固深化

课本P115练习第1、2、3题.

【探研时空】

利用提公因式法计算:

0.582〓8.69+1.236〓8.69+2.478〓8.69+5.704〓8.69

五、课堂总结,发展潜能

105

1.利用提公因式法因式分解,关键是找准最大公因式.?在找最大公因式时应注意:(1)系数要找最大公约数;(2)字母要找各项都有的;(3)指数要找最低次幂.

2.因式分解应注意分解彻底,也就是说,分解到不能再分解为止.

六、布置作业,专题突破

课本P119习题14.4第1、4(1)、6题.

14.4.3 公式法(二)

教学目标

1.知识与技能

领会运用完全平方公式进行因式分解的方法,发展推理能力.

2.过程与方法

经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.

3.情感、态度与价值观

培养良好的推理能力,体会“化归”与“换元”的思想方法,形成灵活的应用能力.

重、难点与关键

1.重点:理解完全平方公式因式分解,并学会应用.

2.难点:灵活地应用公式法进行因式分解.

3.关键:应用“化归”、“换元”的思想方法,把问题进行形式上的转化,?达到能应用公式法分解因式的目的.

教学方法

采用“自主探究”教学方法,在教师适当指导下完成本节课内容. 教学过程

一、回顾交流,导入新知

【问题牵引】

1.分解因式:

(1)-9x2+4y2; (2)(x+3y)2-(x-3y)2;

106

(3)92x-0.01y2. 49

【知识迁移】

2.计算下列各式:

(1)(m-4n)2; (2)(m+4n)2;

(3)(a+b)2; (4)(a-b)2.

【教师活动】引导学生完成下面两道题,并运用数学“互逆”的思想,寻找因式分解的规律.

3.分解因式:

(1)m2-8mn+16n2 (2)m2+8mn+16n2;

(3)a2+2ab+b2; (4)a2-2ab+b2.

【学生活动】从逆向思维的角度入手,很快得到下面答案:

解:(1)m2-8mn+16n2=(m-4n)2; (2)m2+8mn+16n2=(m+4n)2;

(3)a2+2ab+b2=(a+b)2; (4)a2-2ab+b2=(a-b)2.

【归纳公式】完全平方公式a2〒2ab+b2=(a〒b)2.

二、范例学习,应用所学

【例1】把下列各式分解因式:

(1)-4a2b+12ab2-9b3; (2)8a-4a2-4;

m2n22mn342? (3)(x+y)-14(x+y)+49; (4)+n. 9322 【例2】如果x+axy+16y是完全平方,求a的值.

【思路点拨】根据完全平方式的定义,解此题时应分两种情况,即两数和的平方或者两数差的平方,由此相应求出a的值,即可求出a3.

三、随堂练习,巩固深化

课本P170练习第1、2题.

【探研时空】

1.已知x+y=7,xy=10,求下列各式的值.

(1)x2+y2; (2)(x-y)2

2.已知x+=-3,求x4+1

x1的值. 4x

四、课堂总结,发展潜能

由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反,因此把整式乘法公式反过来写,就得到多项式因式分解的公式,主要的有以下三个:

a2-b2=(a+b)(a-b);

a2〒ab+b2=(a〒b)2.

在运用公式因式分解时,要注意:

(1)每个公式的形式与特点,通过对多项式的项数、?次数等的总体分析来确定,是否可以用公式分解以及用哪个公式分解,通常是,当多项式是二项

107

式时,考虑用平方差公式分解;当多项式是三项时,应考虑用完全平方公式分解;(2)?在有些情况下,多项式不一定能直接用公式,需要进行适当的组合、变形、代换后,再使用公式法分解;(3)当多项式各项有公因式时,应该首先考虑提公因式,?然后再运用公式分解.

五、布置作业,专题突破

课本P171习题15.4第3、5、7、8题.

14.4.3 公式法(一)

教学目标

1.知识与技能

会应用平方差公式进行因式分解,发展学生推理能力.

2.过程与方法

经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,感受数学知识的完整性.

3.情感、态度与价值观

培养学生良好的互动交流的习惯,体会数学在实际问题中的应用价值. 重、难点与关键

1.重点:利用平方差公式分解因式.

2.难点:领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.

3.关键:应用逆向思维的方向,演绎出平方差公式,?对公式的应用首先要注意其特征,其次要做好式的变形,把问题转化成能够应用公式的方面上来. 教学方法

采用“问题解决”的教学方法,让学生在问题的牵引下,推进自己的思维. 教学过程

一、观察探讨,体验新知

【问题牵引】

请同学们计算下列各式.

(1)(a+5)(a-5); (2)(4m+3n)(4m-3n).

【学生活动】动笔计算出上面的两道题,并踊跃上台板演.

(1)(a+5)(a-5)=a2-52=a2-25;

108

(2)(4m+3n)(4m-3n)=(4m)2-(3n)2=16m2-9n2.

【教师活动】引导学生完成下面的两道题目,并运用数学“互逆”的思想,寻找因式分解的规律.

1.分解因式:a2-25; 2.分解因式16m2-9n.

【学生活动】从逆向思维入手,很快得到下面答案:

(1)a2-25=a2-52=(a+5)(a-5).

(2)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2=(4m+3n)(4m-3n).

【教师活动】引导学生完成a2-b2=(a+b)(a-b)的同时,导出课题:用平方差公式因式分解.

平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).

评析:平方差公式中的字母a、b,教学中还要强调一下,可以表示数、含字母的代数式(单项式、多项式).

二、范例学习,应用所学

【例1】把下列各式分解因式:(投影显示或板书)

(1)x2-9y2; (2)16x4-y4;

(3)12a2x2-27b2y2; (4)(x+2y)2-(x-3y)2;

(5)m2(16x-y)+n2(y-16x).

【思路点拨】在观察中发现1~5题均满足平方差公式的特征,可以使用平方差公式因式分解.

【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解,请5位学生上讲台板演.

【学生活动】分四人小组,合作探究.

解:(1)x2-9y2=(x+3y)(x-3y);

(2)16x4-y4=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+y)(2x-y);

(3)12a2x2-27b2y2=3(4a2x2-9b2y2)=3(2ax+3by)(2ax-3by);

(4)(x+2y)2-(x-3y)2=[(x+2y)+(x-3y)][(x+2y)-(x-3y)] =5y(2x-y);

(5)m2(16x-y)+n2(y-16x)

=(16x-y)(m2-n2)=(16x-y)(m+n)(m-n).

三、随堂练习,巩固深化

课本P168练习第1、2题.

【探研时空】

1.求证:当n是正整数时,n3-n的值一定是6的倍数.

2.试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除.连续偶数的平方差能被一个奇数整除.

四、课堂总结,发展潜能

109

运用平方差公式因式分解,首先应注意每个公式的特征.分析多项式的次数和项数,然后再确定公式.如果多项式是二项式,通常考虑应用平方差公式;如果多项式中有公因式可提,应先提取公因式,而且还要“提”得彻底,最后应注意两点:一是每个因式要化简,二是分解因式时,每个因式都要分解彻底.

五、布置作业,专题突破

课本P171习题15.4第2、4(2)、11题.

第十四章 整式的乘除与因式分解复习

教学目标

1.知识与技能

能熟练掌握整式的概念、运算性质和因式分解的概念、分解方法,逐步形成知识结构.

2.过程与方法

通过图形的变化,从直观认识的角度领会整式运算及因式分解的知识,渗透数形结合的思想.

3.情感、态度与价值观

提高学生解决问题的能力,发展推理思维,体会数学的应用价值,增强自信心.

重、难点与关键

1.重点:熟练掌握整式,因式分解的解题方法.

2.难点:灵活地应用乘法公式进行运算或因式分解.

3.关键:系统把握知识点,从互逆的思想弄清整式运算与因式分解的关系. 教学方法

采取对知识系统“演绎”、“提升”的教学方法.

教学过程

一、数形结合,直观演绎

【解释与比较】

观察下列图形,写出相关的整式乘法公式:

(1)如图1所示.

110

(2)如图2所示.

(3)如图3所示.

(4)如下图在宽为a的正方形空

修两条互相垂直宽度为b的水泥路,?

的部分种植草坪,你能计算出草坪的面

吗?

【教师提问】a2-2ab+b2=(a-b)2,请你用图形反映

b)2的结果,由图5?可得等式(a+b)2=(a-b)2+______.

【辨析与理解】

(1)(x-y)2=x2-y2;

(2)(x+y)(y-x)=x2-y2;

(3)(x+3y)(x-3y)=x2-3y2;

(4)(x-3y)2=x2-3xy-3y2.

(5)分解因式:x2-4=(x-2)2;

(6)分解因式:a2〒2ab+b2=(a〒b)(a?b)

【运算与方法】

1.把图6左框里的等式分别乘以

(x+3y),所得的积分别写在右框相应的位

2.利用乘法公式计算:

(1)102 (2)301〓299 (3)(m+n)2(m-n)2

3.已知:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,利用这个等式计算:

(x-3)(x+7)=_______.

(x+5)(x+9)=_______.

【运用与探究】

1.一个正方体的边长为3cm,则它的体积为多少?表面积为多少?

2.一块长方形花坛的面积为2a2x-4ax3m2,长为2axm,求它的宽.

3.长方形花坛的宽为m米,长比宽多4米,若将长和宽分别增加3米,则

111 地上其余积(a-置上.

增加后长方形的面积为多少?如果已知增加后面积增加了15平方米,请计算出原来的长和宽来.

4.有一个正方形的边长为正整数,现将它的边长逐次增加

(如图7所示)

探索面积的增加量,有怎样的规律?请你应用所学知识解释你的发现.

5.设a表示一个两位数,b表示一个三位数,把a放在b的左边,组成一个五位数m,?把b放在a左边组成一个五位数n,试问m-n能被9整除吗?试说明理由.

二、逆向思维,合作学习

做一做:

1.说出下列各式由左到右的变形是否是因式分解,为什么?

(1)a2-81=(a+9)(a-9);( )

(2)x2-9+14x=(x+3)(x-3)+14x;( ) 1 (3)a+a2b=a2(+b);( ) a (4)p(m-n)=pm-pn;( )

(5)m2+2mn+4=(m+2)2;( )

(6)a2+4ab+a=a(a+4b).( )

【课堂演练】

演练题1:把49(m+n)2-(3m-n)2分解因式.

演练题2:分解因式:a3x4-12a3x2y+36a3y2.

三、随堂练习,系统跃进

课本P175复习题15第1(4)、2(3)、4(4)、11题.

【探研时空】

无论x、y取何值,多项式x2+y2-4x+6y+13的值都是非负数,你相信吗?请你谈谈其中的原因.

四、课堂总结,发展潜能

由学生分四人小组进行总结.

五、布置作业,专题突破

课本P176复习题第1(3)(5)、2(4)(6)、3.4(3)、5(3)(4)、6、7、12题.

板书设计

112

第十五章分式

15.1.1从分数到分式

一、 教学目标 1. 了解分式概念.

2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.

二、重点、难点

重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件.

难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.

三、教学过程

1.让学生填写[思考],学生自己依次填出:10,s,200,v.

7a33s

2.问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?

设江水的流速为x千米/时.

轮船顺流航行100千米所用的时间为

60

20?v10020?v小时,逆流航行60千米所用时间小时,所以10020?v=6020?v.

60

20?v3. 以上的式子

点和不同点? 10020?v,,s,v,有什么共同点?它们与分数有什么相同as

可以发现,这些式子都像分数一样都是 (即A〔B)的形式.分数的分子A与分母B都是整数,而这些式子中的A、B都是整式,并且B中都含有字母.

[思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件,分式才有意义?由分数的分母不能为零,用类比的方法归纳出:分式的分母也不能为零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件,分式才有意义.即当B≠0时,分式

A 才有意义. B113

3、例题讲解

P5例1. 当xx2?1为何值时,分式3x?2有意义.

[分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x的取值范围.

(补充)例2. 当m为何值时,分式的值为0?

mm?2(1)(2)m?1m?3m2?1m?1

1分母不能为零;○2分[分析] 分式的值为0时,必须同时满足两个条件:○..

子为零,这样求出的m的解集中的公共部分,就是这类题目的解.

4、随堂练习

1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, 7 , 9?y, m?4, 8y?3,1

x205y2x?9

2. 当x取何值时,下列分式有意义?

(1)3(2x?52x?5

x?23?2x(3) x2?4

3. 当x为何值时,分式的值为0?

x?77xx2?1

(1)5x(2)21?3xx?x

5、小结:

谈谈你的收获

6、布置作业

7、板书设计

15.1.2分式的基本性质(一)

一、教学目标

1.理解分式的基本性质.

2.会用分式的基本性质将分式约分。

3.渗透类比转化的数学思想方法.

114

二、重点、难点

重点: 理解分式的基本性质. 掌握约分。

难点: 灵活应用分式的基本性质将分式约分。 三、教学过程 第一步:课堂引入

1与相等吗?与相等吗?为什么? 2.说出与之间变形的过程,与之间变形的过程,并说出变3

4

1520

38

34

1520

924924

38

形依据?

3.提问分数的基本性质,让学生类比猜想出分式的基本性质.

分式的基本性质:分式的分子、分母同乘以(或除以)同一个整式,使分式的值不变.可用式子表示为:A=A?CB

B?C AB

=A?C

B?C(C≠0)

第二步:例题讲解

例2.填空:(1) b?1??x2?y2xa?c=an?cn (2) ?y

x?y2

= 例3.约分: (1)?4x2yz3

16xyz

5

(2)2(x?y)3y?x 第三步:随堂练习 1.填空:

(1) 2x2??6a3b23a3

x2?3x= x?3 (2) 8b3=

2.约分:

(1)3a2b6ab2

c

(2)8m2n

2mn2 第四步:小结

谈谈你的收获 第五步:布置作业 第六步:板书设计

115

15.1.2分式的基本性质(二)

一、教学目标

1.理解分式的基本性质.

2.会用分式的基本性质将分式通分。

3.渗透类比转化的数学思想方法.

二、重点、难点

重点: 理解分式的基本性质. 掌握通分。

难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形。

三、教学过程

第一步:复习引入

1.判断下列约分是否正确:

(1)a?cax?1m?n

b?c=b (2)y

x2?y2=x?y (3)m?n=0

2.通分

3和51、3和2

461283

第二步:例题讲解

例4.通分:(1)3c2ab2和?a8bc2 (2)11y?1和y?1

[分析] 通分要想确定各分式的公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母.

第三步:随堂练习

1.通分:

(1)12b

2ab3和5a2b2c (2)a

2xy和3x2

第四步:小结

谈谈你的收获

第五步:布置作业

116

15.2.1分式的乘除(一)

一、教学目标:

1、理解分式乘除法的法则

2、会进行分式乘除运算.

3.渗透类比转化的数学思想方法.

二、重点、难点

1.重点:会用分式乘除的法则进行运算.

2.难点:灵活运用分式乘除的法则进行运算 .

三、教学过程

1、课堂引入

1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高

作效率是小拖拉机的工作效率的??ab???倍. mn??vm?,问题2求大拖拉机的工abn

[引入]从上面的问题可知,有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手,类比出分式的乘除法法则.

1、 P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.

2.[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则?

类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.

2、例题讲解

P14例1. (1)?n4m2

?2m5n32 (2)y?2? ????7x?x?

[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简,还应注意在计算时跟整式运算一样,先判断运算符号,在计算结果.

P15例22a?4a?1 (2)y2?6y?92. (1)2?2?(3?y) a?2a?1a?4a?4y?2

[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式,再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式,而是多个多项式相乘是不必把它们展开.

P15例.

[分析]这道应用题有两问,第一问是:哪一种小麦的单位面积产量最高?

117

先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积,再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量,分别是500、500

a2?1a?12,还要判断

出以上两个分式的值,哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1<a2-2+1,即(a-1)2<a2-1,可得出“丰收2号”单位面积产量高.

3、随堂练习

计算

(1)c2a2b2

ab?c (2)-8xy?2y (3)a2?4b2ab

5x3ab2?a?2b

4、小结

谈谈你的收获

5、布置作业

6、板书设计

15.2.1分式的乘除(二)

一、教学目标: 1、掌握分式乘除法的法则

2、熟练地进行分式乘除法的混合运算.

3.渗透类比转化的数学思想方法.

二、重点、难点

1.重点:熟练地进行分式乘除法的混合运算.

2.难点:熟练地进行分式乘除法的混合运算.

三、教学过程

1、课堂引入

计算(1)y?x?(?y

xyx) (2) 3x

4y?(?3x

y)?(?1

2x) 2、例题讲解

例4.计算(1)3b2bc

16a2a2?(?2ab) (2)a2?6a?93?aa2

?4?b2?2?b?3a?9

118

[分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的计算结果要是最简的.

(补充)例.计算 (1)3ab2

2xy?(?8xy3x

39a2b)?(?4b) =3ab28xy?4

2xy?b

3?(9a2b)?3x (先把除法统一成乘法运算) =3ab28xy4b

2x3y?9a2b?3x (判断运算的符号) =16b2

9ax3 (约分到最简分式) (2) 2x?6

4?4x?4x2?(x?3)?(x?3)(x?2)3?x =2x?61(x?3)(x?

4?4x?4x2?x?3?2)

3?x (先把除法统一成乘法运算) =2(x?3)

(2?x)2?1(x?3)(x?2)x?3?3?x (分子、分母中的多项式分解因式) =2(x?3)1(x?3)(x?2)

(x?2)2?x?3??(x?3) =?2

x?2

3、随堂练习

计算(1)243xx2

?8xy?y2x2?2xy?y2x?y

4y6?(?6z) (4)(xy?x)?xy?x2

4、小结

谈谈你的收获

5、布置作业

6、板书设计

119

15.2.1分式的乘除(三)

一、教学目标:

1、理解分式乘方的运算法则

2、熟练地进行分式乘方的运算

3.渗透类比转化的数学思想方法.

二、重点、难点

1.重点:熟练地进行分式乘方的运算.

2.难点:熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.

三、教学过程

1、课堂引入

计算下列各题:

(1)()2=?=( ) (2) ()3=??=( )

(3)()4=??abaaaa?=( ) bbbbabaabbabaaabbb

[提问]由以上计算的结果你能推出()n(n为正整数)的结果吗?

2、例题讲解

2b2

3例5.计算(1) (?3) ac32c4

2a(2)(2)?(3)?()4 cababab

[分析]第(1)题是分式的乘方运算,它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号,再分别把分子、分母乘方.第(2)题是分式的乘除与乘方的混合运算,应对学生强调运算顺序:先做乘方,再做乘除.

3、随堂练习

1.判断下列各式是否成立,并改正.

?3b2?9b2b3

2b5

)=(1)()=2 (2)( 2a2a2a4a2

2y38y33x29x2

)=3 (4)()=2(3)( ?3xx?bx?b29x

2.计算 3a2b35x2

2a3

2ay3)(1) () (2)( (2)()?(?) 322?2c3y3xy2x

x2y3?x3

2x2y2

) (4)(?)?(?)?(?xy4) (3)(2)?(z?zyx

120

(5)(?

4、小结 y23x3x2)?(?)3?(?) 2x2y2ay

谈谈你的收获

5、布置作业

6、板书设计

15.2.2分式的加减(一)

一、教学目标:

(1)熟练地进行同分母的分式加减法的运算.

(2)会把异分母的分式通分,转化成同分母的分式相加减.

(3)渗透类比转化的数学思想方法.

二、重点、难点

1.重点:熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2.难点:熟练地进行异分母的分式加减法的运算.

三、教学过程

1、课堂引入

1.出示问题3、问题4,教师引导学生列出答案.

引语:从上面两个问题可知,在讨论实际问题的数量关系时,需要进行分式的加减法运算.

2.下面我们先观察分数的加减法运算,请你说出分数的加减法运算的法则吗?

3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同,你能说出分式的加减法法则?

4.请同学们说出

分母的确定方法吗?

2、例题讲解

121 111,,的最简公分母是什么?你能说出最简公2x2y33x4y29xy2

例6.计算(1)3a?2ba?bb?a16??? (2) a?3a2?95a2b5a2b5a2b

[分析] 第(1)题是同分母的分式减法的运算,分母不变,只把分子相减,第二个分式的分子式个单项式,不涉及到分子是多项式时,第二个多项式要变号的问题,比较简单;

(补充)例.计算

(1)x?3yx?2y

x2?y2?x2?y2?2x?3yx2?y2 (2)11?x6

x?3?6?2x?x2?9 解:1

x?3?1?x

6?2x?611?x6

x2?9=x?3?2(x?3)?(x?3)(x?3) =2(x?3)?(1?x)(x?3)?12

2(x?3)(x?3)=?(x2?6x?9)

2(x?3)(x?3)=?(x?3)2

2(x?3)(x?3)=?x?3

2x?6

3、随堂练习

计算(1)m?2nn2m3a?6b5a?6b4a?5b7a?8b

n?m?m?n?n?m (2)a?b?a?b?a?b?a?b

4、小结

谈谈你的收获

5、布置作业

6、板书设计

15.2.2分式的加减(二)

一、教学目标:

1、明确分式混合运算的顺序

2、熟练地进行分式的混合运算.

3、渗透类比转化的数学思想方法.

二、重点、难点

1.重点:熟练地进行分式的混合运算.

122

2.难点:熟练地进行分式的混合运算.

三、教学过程

1、课堂引入

1.说出分数混合运算的顺序.

2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.

2、例题讲解

例8.计算(1) (1?a?2a?1a?24?ayx?2)??2 )(1?) (2) (2aa?2aa?4a?4ax?yx?y

[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.

(补充)计算

(1)(x?2x?14?x?)? 22xx?2xx?4x?4

2xyx4yx2(2) ???x?yx?yx4?y4x2?y2

[分析] 这道题先做乘除,再做减法,把分子的“-”号提到分式本身的前边. xyx4yx2解: ??4?242x?yx?yx?yx?y

xyx4yx2?y2= ???x?yx?y(x2?y2)(x2?y2)x2

xy2x2y= ??(x?y)(x?y)x2?y222

=xy(y?x) (x?y)(x?y)

xy x?y=?

3、随堂练习

计算 ab11x24x?2?)?(?) ?)?(1) ( (2)(a?bb?aabx?22?x2x

(3)(31221?2)?(?) a?2a?4a?2a?2

123

(4)计算(1

a?2?1

a?2)?4

a2,并求出当a?-1的值.

4、小结

谈谈你的收获

5、布置作业

6、板书设计

15.2.3整数指数幂(2课时)

一、教学目标:

1.知道负整数指数幂a?n=1

an(a≠0,n是正整数).

2.掌握整数指数幂的运算性质.

3.会用科学计数法表示小于1的数.

4、渗透类比转化的数学思想方法,提高学生的运算能力.

二、重点、难点

1.重点:掌握整数指数幂的运算性质.

2.难点:会用科学计数法表示小于1的数.

三、教学过程

1、课堂引入

1.回忆正整数指数幂的运算性质:

(1)同底数的幂的乘法:am?an?am?n(m,n是正整数);

(2)幂的乘方:(am)n?amn(m,n是正整数);

(3)积的乘方:(ab)n?anbn(n是正整数); (4)同底数的幂的除法:am?an?am?n( a≠0,m,n是正整数,m>n);

(5)商的乘方:(an

b)?an

bn(n是正整数);

2.回忆0指数幂的规定,即当a≠0时,a0?1.

3.你还记得1纳米=10-9米,即1纳米=1

109米吗?

124

1a3a34.计算当a≠0时,a?a=5=32=2,再假设正整数指数幂的运算性aaa?a35

质am?an?am?n(a≠0,m,n是正整数,m>n)中的m>n这个条件去掉,那么a3?a5=a3?5=a?2.于是得到a?2=1(a≠0),就规定负整数指数幂的运算性质:当2a

n是正整数时,a?n=1

an(a≠0).

2、例题讲解

例9.计算(1)20= ( 2)2 -3= (3)(-2) -3= 例10. 计算

(1)x2y-2 〃(x-2y)3 (2) (2〓10-3)2〔(10-3)3

例11. 用科学计数法表示下列各数:

0. 003 009 -0. 0000000307

3、随堂练习

1.填空(1)-22= (2)(-2)2= (3)(-2) 0=

2.计算

(1) (x3y-2)2 (2)x2y-2 〃(x-2y)3 (3)(3x2y-2) 2 〔(x-2y)3

3. 用科学计数法表示下列各数:

0.000 04, -0. 034, 0.000 000 45,

4.计算(3〓10-8)〓(4〓103)

4、小结

谈谈你的收获

5、布置作业

6、板书设计

125

15.3 分式方程(1)

一、教学目标

1.使学生理解分式方程的意义.

2.使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法.

3.了解解分式方程解的检验方法.从而渗透数学的转化思想.

二、教学重点和难点

1.教学重点:可化为一元一次方程的分式方程的解法.

2.教学难点:检验分式方程解的原因

三、教学过程

(一)复习及引入新课

提问:什么叫方程?什么叫方程的解?

(二)新课

板书:分式方程的定义.

分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程.练习:判断下列各式哪个是分式方程.

解:两边同乘以最简公分母2(x+5)得

2(x+1)=5+x 2x+2=5+x x=3.

检验:把x=3代入原方程

左边=右边 ∴x=3是原方程的解.

126

例2:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?

分析:设江水的流速为v千米/时, 10060

可列方程20+v=20-v解方程得:v=5

检验:v=5为方程的解。所以水流速度为5千米/时。

(三)课堂练习:

(四)小结:谈谈你的收获

(五)布置作业

(六)板书设计

16.3 分式方程(2)

一、教学目标:

1、使学生会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.

2、使学生检验解的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法

3、培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力和分析能力

二、重点难点:

1. 重点:会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程;

2. 难点:了解分式方程必须验根的原因

三、教学过程:

127

1.复习引入

解方程:

(1)1?x?51x?216x?2??2?4?xx?4 (2)x?2x?4x?2

思考:上面两个分式方程中,为什么(1)去分母后所得整式方程的解就是(1)的解,而(2)去分母后所得整式的解却不是(2)的解呢?

2.讨论

(1)为什么要检验根?

(2)验根的方法

3.应用

23

例1 解方程x-3?x

4、课堂练习

x

解方程 x-1-1?3

(x?1)(x?2)

5、小结:谈谈你的收获

6、布置作业

7、板书设计

15.3 分式方程(3)

一、教学目标:

1.会分析题意找出等量关系.

128

2.会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.

3、培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力和分析能力。

二、重点、难点

1.重点:利用分式方程组解决实际问题.

2.难点:列分式方程表示实际问题中的等量关系.

三、教学过程

(一)复习提问

1.解分式方程的步骤

2.列方程应用题的步骤是什么?(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.

3.由学生讨论,我们现在所学过的应用题有几种类型?

在学生讨论的基础上,教师归纳总结基本上有五种:

(1)行程问题:基本公式:路程=速度〓时间

而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

(2)数字问题

在数字问题中要掌握十进制数的表示法.

(3)工程问题

基本公式:工作量=工时〓工效.

(4)顺水逆水问题

v顺水=v静水+v水. v逆水=v静水-v水.

(二)新课

例3.两个工程队共同参加一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成。哪个队的施工速度快?

129

例4:从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时。用相同的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度是多少?

(三)课堂练习

乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行.甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地,立即返回,取过东西后又立即从A向B行进,这样二人恰好在AB中点处相遇,又知甲比乙每小时多走0.5千米,求二人速度.

(四)小结:谈谈你的收获

(五)布置作业

(六)板书设计

分式全章小结(2课时)

第一课时 综合复习

一、知识结构

二、重要知识与规律总结

130

(一)概念

1、分式:A

B(A、B为整式,B≠0)

2、最简公分母:各分母所有因式的最高次幂的积。

3、分式方程:分母中含有未知数的方程。

(二)性质

1、分式基本性质:A

B?A?M

B?M?A?M

B?M(M是不等于零的整式)

2、幂的性质:

零指数幂:a0=1(a ≠0) 负整指数幂:a?n?1

an(a≠0,n为正整数)

科学记数法:a 〓10n,1≤| a |<10,n是一个整数。

(三)分式运算法则 分式乘法:将分子、分母分别相乘,即a

bc

d?ac

bd

分式除法:将除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,a

b?cadad

d?b?c?bc

分式的加减:(1)同分母分式相加减:a

b?c

b?a?c

b ;

(2)异分母分式相加减:a

b?c

d?adbcad?bc

bd?bd?bd 分式乘方:(an

b)n?a

bn(b≠0)

?(a≥0,b>0)

(四)分式方程解法

1、解题思想:分式方程转化为整式方程。

2、转化方法:去分母(特殊的用换元法)。

3、转化关键:正确找出最简公分母。

4、注意点:注意验根。

三、学习方法点拨

131 即

1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,两个分式不能整除时,就出现了分式。因此,整式的除法是引入分式概念的基础。

2、分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似,因而在学习过程中,要注意不断地与分数的情形进行类比,以加深对新知识的理解。

3、解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉,从而将分式方程转化为整式方程来解,这时可能会出现增根,必须进行检验。学习时,要理解增根产生的原因,认识到检验的必要性,并会进行检验。

4、由于引进了零指数幂和负整指数幂,绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示。

四、布置作业:课本第16章复习题。

第二课时 专题讲解

一、分式运算中的常用技巧

分式的运算以分式的概念、分式的基本性质、运算法则为基础,其中分式的加减运算是难点,解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当的通分,并以整式变形、因式分解为工具进行计算。分式运算既突出了代数式的运算、变换的基础知识和基本技能,又注重了数学的思想方法,在历年考试中是必考的重点内容之一,若能根据特点灵活选择解法,将会收到事半功倍的效果。

1、约分求值:分母或分子是多项式时,先把分子、分母因式分解后约分求值。 x2?6xx2?4?计算:2 x?2xx2?4x?4

x(x?6)(x?2)(x?2)x?6x?2解:原式=x(x?2)?(x?2)2?x?2?x?2?2

2、分步通分,逐步计算:以下题的解法加以说明,该题采用“分步通分法”,先将前两个分式通分,所得结果再与后面的分式通分,达到化繁为简。若一次性全面通分,计算量将非常大。我们在解题时既要看到局部特征,又要有全面考虑。

132

计算:1124??? 1?x1?x1?x21?x4

224448????? 1?x21?x21?x41?x41?x41?x8解:原式=

3、合理搭配,分组通分:分组通分,可以降低难度,见下题。

已知x=1

111?2?=________________。 x?2x?4x?2

解析:先将第一、三项通分,然后再与第二项计算,最后代入求值。

二、分式求值中的常用技巧

分式求值在中考中出现频率较高且方法灵活,有时出现条件或所求代数式不易化简变形,当把代数式的分子、分母颠倒后,变形就容易了,这样的问题通常采用倒数法(把分子、分母倒过来)求值,见例1。

xx2

?7,求4例1、已知2的值。 x?x?1x?x2?1

x18x2?x?11?7x??。 ?解:∵2,∴x≠0,∴,即x?x?1x7x7

49x4?x2?111215x2

2?x??1?(x?)?1?∴,∴=。 224215xxx49x?x?1

2、活用公式变形求值:若能对公式进行熟练地变形运用,可给解题带来极大方便,见例2。

例2、已知x2-5x+1=0,求x4?1的值。 x4

1

x解:由x2-5x+1=0,知x≠0,由此得x??5。 ∴x4?112122?(x?)?2?[(x?)?2]2?2?(52?2)2?2?527 42xxx

3、设k求值法(也可叫参数法):当已知条件以连等式出现时,可用设k法解题较简便,见例3。

例3、已知:

解:设b?cc?aa?babc??,求的值。 abc(a?b)(b?c)(c?a)b?cc?aa?b??=k,∴b+c=ak,c+a=bk,a+b=ck。 abc

133

∴b+c+c+a+a+b=ak+bk+ck,

∴2(a+b+c)= k (a+b+c),(a+b+c)(2-k) =0

即k=2或a+b+c=0,代入到

∴原式=b?cc?aa?b??=k中。 abcabc11?。即原式=或原式=-1。 abck3k38

4、整体代换法:在计算代数式求值问题时,有时可采用整体代入法——即将条件等式(或变形后的条件式)整体代入求值,见例4、例5。

例4、已知1?1?1,1?1?1,1?1?1

ab6bc9ac15,求abc

ab?ac?bc的值。 解:∵1?1?1,1?1?1,1?11

ab6bc9ac?15, ∴(1?1?1)?2?111111

abc6?9?15,∴a?b?c=31

180。 ∴abc

ab?bc?ac?abc?abc

(ab?bc?ac)?abc?1

?180

31。

c?a?b

例5、已知a+b=-8,ab=6

,化简?_________________。

解:∵a+b=-8,ab=6,∴a<0且b<0。

∴原式

=a2

(???b2

ab?

??三、布置作业

课本第15章复习题。

134

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